18.2.3正 方 形【教學目標】知識與技能:1.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形概念之間的聯(lián)系和區(qū)別.2.能用正方形的定義、性質和判定進行推理與計算.過程與方法:經(jīng)歷探索正方形有關性質、判定重要條件的過程.在觀察中尋求新知,在探索中發(fā)展推理能力,逐步掌握說理的基本方法.情感態(tài)度與價值觀:通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的學習,滲透了辯證唯物主義教育,提高了邏輯思維能力.【重點難點】重點:理解正方形與矩形、菱形的關系.掌握正方形的性質和判定.會用正方形的性質和判定進行計算或證明. 難點:會用正方形的性質和判定進行計算或證明.【教學過程】一、創(chuàng)設情境,導入新課:做一做:用一張長方形的紙片(如圖所示)折出一個正方形.學生在動手操做中對正方形產(chǎn)生感性認識,并感知正方形與矩形的關系.問題:什么樣的四邊形是正方形?你能說出正方形的定義嗎?正方形具有什么性質,怎樣判定一個四邊形或平行四邊形是正方形呢?這一節(jié)課我們就來探究.二、探究歸納活動1:正方形的定義:1.復習:(1)什么是四邊形?它有什么性質?(2)什么是平行四邊形?它有什么性質?如何判定?(3)什么是矩形?它有什么性質?如何判定?(4)什么是菱形?它有什么性質?如何判定?2.正方形定義:有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.教師引導學生明確:正方形是在平行四邊形這個大前提下定義的,其定義包括了兩層意思: 正方形既是矩形又是菱形.活動2:正方形的性質:1.探索:由正方形的定義可以得知,正方形既是有一組鄰邊相等的矩形,又是有一個角是直角的菱形.所以,正方形具有矩形的性質,同時又具有菱形的性質.2.歸納、總結: 因為正方形是特殊的平行四邊形,還是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有這些圖形性質的綜合,(從角、邊、對角線上歸納總結)(1)正方形性質定理1:正方形的四個角都是直角,四條邊都相等.(2)正方形性質定理2:正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角.3.正方形的性質也可表示為:(1)邊:正方形的對邊平行,四條邊都相等.(2)角:正方形的四個角都是直角.(3)對角線:正方形的對角線相等且互相垂直平分.(4)正方形是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.活動3:正方形的判定:1.正方形的判定方法:方法1:定義:是平行四邊形有一組鄰邊相等有一個角是直角,是正方形.方法2:是矩形是菱形,是正方形.2.正方形的判定方法也可細分為:(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.(2)有一個角是直角的菱形是正方形.(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.(4)四條邊相等、四個角都是直角的四邊形是正方形.(5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.活動4:例題講解:【例1】如圖,正方形ABCD中,E,F分別為BC,CD上的點,且AEBF,垂足為點G.求證:AE=BF.分析:根據(jù)正方形的性質,可得ABC與C的關系,AB與BC的關系,根據(jù)兩直線垂直,可得AGB的度數(shù),根據(jù)直角三角形銳角的關系,可得ABG與BAG的關系,根據(jù)同角的余角相等,可得BAG與CBF的關系,根據(jù)ASA,可得三角形全等,根據(jù)全等三角形的性質,可得答案.解:正方形ABCD,ABC=C,AB=BC.AEBF,AGB=90,ABG+BAG=90,ABG+CBF=90,BAG=CBF.在ABE和BCF中,BAE=CBFAB=BCABE=BCF,ABEBCF(ASA),AE=BF.總結:正方形的性質的應用:正方形的四個角都是直角,四條邊都相等,對角線相等且互相垂直平分.正方形的對邊平行且相等.利用這些性質可證明邊角相等.【例2】如圖,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分線,點O為AB的中點,連接DO并延長到點E,使OE=OD,連接AE,BE,(1)求證:四邊形AEBD是矩形.(2)當ABC滿足什么條件時,矩形AEBD是正方形,并說明理由.分析:(1)利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形,再利用等腰三角形的性質得出ADB=90,即可得出答案.(2)利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD,進而利用正方形的判定得出即可.【證明】(1)點O為AB的中點,OE=OD,四邊形AEBD是平行四邊形,AB=AC,AD是ABC的角平分線,ADBC,四邊形AEBD是矩形.(2)當ABC是等腰直角三角形時,矩形AEBD是正方形,ABC是等腰直角三角形,BAD=CAD=DBA=45,BD=AD.由(1)知四邊形AEBD是矩形,四邊形AEBD是正方形.總結:判定正方形的一般思路:要證明一個四邊形是正方形,只要證明這個四邊形既是矩形又是菱形即可,搞清矩形、菱形、正方形之間的關系,有助于尋找證明思路.它們之間的關系可以用下圖表示.三、交流反思這節(jié)課我們學習了正方形的定義、性質和判定,注意弄清正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間有什么聯(lián)系與區(qū)別?它有什么性質?怎樣判定?四、檢測反饋1.正方形是軸對稱圖形,它的對稱軸共有()A.1條B.2條C.3條D.4條2.下列說法不正確的是()A.有一個角是直角的菱形是正方形B.兩條對角線相等的菱形是正方形C.對角線互相垂直的矩形是正方形D.四條邊都相等的四邊形是正方形3.如圖,正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,則圖中的等腰直角三角形有()A.4個B.6個C.8個D.10個4.如圖,在ABC中,ACB=90,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF.添加一個條件,仍不能證明四邊形BECF為正方形的是()A.BC=ACB.CFBFC.BD=DFD.AC=BF5.如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,對角線AC與BD相交于點O,若不增加任何字母與輔助線,要使四邊形ABCD是正方形,則還需增加一個條件是_.6.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,請你添加一個條件:_ ,使得該菱形為正方形.7.如圖,在正方形ABCD中,點M是對角線BD上的一點,過點M作MECD交BC于點E,作MFBC交CD于點F.求證:AM=EF.8.如圖,在正方形ABCD中,G是DC上的任意一點,(G與D,C兩點不重合),E,F是AG上的兩點(E,F與A,G兩點不重合),若AF=DF+EF,1=2,請判斷線段DF與BE有怎樣的位置關系,并證明你的結論.9.平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于O點,分別過頂點B,C作兩對角線的平行線交于點E,得平行四邊形OBEC.(1)如果四邊形ABCD為矩形(如圖),四邊形OBEC為何種四邊形?請證明你的結論.(2)如果四邊形ABCD是正方形,四邊形OBEC也是正方形嗎?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.五、布置作業(yè)教科書第62頁習題18.2第13,15題六、板書設計18.2.3正方形一、正方形的定義二、正方形的性質(1)邊:正方形的對邊平行,四條邊都相等.(2)角:正方形的四個角都是直角.(3)對角線:正方形的對角線相等且互相垂直平分.(4)正方形是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.三、正方形的判定方法四、例題講解五、板演練習七、教學反思本節(jié)課的認識起點是:已積累了幾何中平行四邊形、矩形、菱形等知識,在取得一定的經(jīng)驗的基礎上,認識正方形. 本節(jié)課采用了學生自導自主的學習方法,流程為“合作探究,導入新課實踐應用,探究新知繼續(xù)探究,學習新知隨堂練習,鞏固深化課堂總結,發(fā)展?jié)撃懿贾米鳂I(yè),專題突破”.學習過程中學生采用合作交流、發(fā)現(xiàn)、歸納的方式來解決重點問題,突破難點,特別是在交流中體現(xiàn)出了“兵教兵、兵練兵”,這樣充分地調動了學生的學習積極性,體現(xiàn)了自主意識,討論交流比較熱烈,大大提高了學生的學習興趣.本節(jié)小結時,采用表格形式把平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質讓學生進行了對比,在對比中學生更能清楚的認識到他們之間的區(qū)別與聯(lián)系,加深了印象.