2.2.2 對數函數及其性質【雙向目標】課程目標學科素養(yǎng)A掌握對數函數的概念,并能根據定義判斷一個函數是否為對數函數B)能根據對數函數的解析式作出函數圖象,并根據圖象給出對數函數的性質C. 能根據對數函數的性質解決和對數函數有關的問題a數學抽象：對數函數概念的理解，會根據定義判斷一個函數是否為對數函數b邏輯推理：通過觀察圖象，總結出對數函數當底分別是，的性質c數學運算：根據單調性等性質計算參數的值d 直觀想象：做出對數函數圖像并能識別圖像e 數學建模：能用對數函數的思想解決生活中的實際問題【課標知識】知識提煉基礎過關知識點1：.對數函數定義一般地，我們把函數叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是.知識點2：對數函數圖像及其性質函數圖象定義域值域RR定點（1,0）（1,0）單調性在上是減函數在上是增函數取值情況當x1時，y0；當0x1時,y0當x1時，y0；當0x1時，y01.函數ylog2x在1，2上的值域是( )AR B0，)C (，1 D0，12.已知對數函數的圖象過點M(9，2)，則此對數函數的解析式為( )Aylog2x Bylog3xCD3.下列函數中，定義域相同的一組是( )Ayax與ylogax(a>0，且a1)Byx與yCylg x與ylg Dyx2與ylg x24.函數y的定義域是()AR B(2，)C(，2) D(2，1)(1，)5.函數f(x)(a2a1)log(a1)x是對數函數，則實數a_6.已知函數yloga(x3)(a>0，a1)的圖象恒過定點A，若點A也在函數f(x)3xb的圖象上，則b_ 基礎過關參考答案：1.【解析】由題可知，因為1x2，所以log21log2xlog22，即0y1，故選D.【答案】D2.【解析】由題可知，設函數的解析式為ylogax(a>0，且a1)，將M(9，2)代入，得2loga9，所以a29，所以a3，即函數的解析式為ylog3x，故選B.【答案】B 【答案】C4.【解析】由題可知,要使函數有意義，x的取值需滿足解得x>2，且x1.故選D.【答案】D5.【解析】由題可知,a2a11，解得a0或1.又a1>0，且a11所以a1. 【答案】16.【解析】由題可知,當x31，即x2時，對任意的a>0，且a1都有yloga10，所以函數yloga(x3)的圖象恒過定點A(2，)，若點A也在函數f(x)3xb的圖象上，則32b，所以b1【答案】-1【能力素養(yǎng)】探究一 對數函數的圖象例1函數與函數的圖像關于直線對稱，則函數與二次函數在同一坐標系內的圖像可能是（ ）A B C D 【分析】利用對數函數的性質求解. 綜上，圖象可能是A.【答案】A【點評】本題考查了函數圖象的識別，解答中涉及到對數函數與二次函數的圖象與性質的應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.【變式訓練】1.已知函數，且函數有且只有一個零點，則實數a的取值范圍是A1，) B(1，)C(，1) D(，1 【答案】B2.【山東省日照實驗高級中學2017-2018學年高一上學期第二次階段考試數學試題】當時，在同一坐標系中，函數與的圖象為（ ）A B C D 【解析】當時，根據函數在R上是減函數，故排除A、B；而在上是增函數，故排除D.【答案】C探究二 利用對數函數單調性比較大小 或解對數不等式例2：【山東省臨沂市沂水縣第一中學2018屆高三第三輪考試數學（文）試題】已知實數，則的大小關系為（ ）A B C D 【分析】先比較a,b的大小，最后比較它們和c的大小.【解析】因為,所以ab.因為,所以c>b，【答案】D【點評】對數函數值大小的比較一般有三種方法：單調性法，在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底中間值過渡法，即尋找中間數聯系要比較的兩個數，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”圖象法，根據圖象觀察得出大小關系本題主要考查對數函數的單調性和對數的運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.【變式訓練】1. 求不等式的解集. 【答案】2.設，則 （ ）A B C D 【解析】，的大小關系是：.【答案】A3.【內蒙古自治區(qū)北京八中烏蘭察布分校2017-2018學年高二下學期期末考試數學（文）試題】已知函數是定義在上的偶函數，且在上是減函數，若， ， ，則， ，的大小關系為（ ）A B C D 【解析】因為函數為偶函數且在(,0)上單調遞減，所以函數在(0,+)上單調遞增，由于，所以.【答案】B探究三 與對數函數有關的定義域、值域問題、單調性問題例3：【四川省眉山第一中學2017-2018學年高一12月月考數學試題】函數的單調增區(qū)間是_.【分析】先求得函數的定義域，然后根據復合函數單調性的判斷方法可求得答案 【答案】【點評】1.對復合函數的值域問題，先求出函數的定義域，根據定義域求出內函數的值域，將內函數的值域作為外函數的定義域，利用外函數的圖像與性質求出外函數的值域，即為復合函數的值域. 2.與對數函數有關的單調性問題，求出內函數的單調區(qū)間結合外函數的單調性，結合復合函數的單調性確定其單調性.【變式訓練】1.函數定義域為（ ）A B C D 【解析】根據對數函數的真數一定要大于0，可以得；又有偶次開方的被開方數非負且分式分母不為0，得到：，進而求出的取值范圍【答案】C2.【東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）2018屆高三第二次模擬考試數學（文）試題】函數的值域為_.【解析】由指數函數的性質可知：，據此可知：，函數的值域為.【答案】.3【寧夏石嘴山市第三中學2017-2018學年高二下學期期末考試數學（理）試題】已知在區(qū)間2，)上為減函數，則實數的取值范圍是_. 【答案】4a4探究四 對數函數的綜合運用例4：【黑龍江省林口林業(yè)局中學2017-2018學年高二下學期期末考試理數試卷】函數f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1). (1)求方程f(x)=0的解.(2)若函數f(x)的最小值為-1,求a的值.【分析】（1）先求出函數定義域，利用對數的計算公式將函數式化簡，令函數等于0，解對數方程，參考定義域得出結果；（2）由對數函數與二次函數的單調性，結合定義域求出最小值點，令最小值為-1，代入求解.【解析】（1）由對數函數的性質可知：，解得定義域為，解方程：，解得或.（2），因為函數定義域為，所以，因為，所以當，即時，函數取最小值，所以，解得.【答案】(1) .（2）【點評】本題考查對數函數的有關性質，在解不等式或解方程時要注意定義域的限制，要注意區(qū)分的不同對函數單調性的影響，必要時要對其進行分類討論求解.【變式訓練】1【北京市西城區(qū)北京師范大學第二附屬中學2017-2018學年高一上學期期中考試數學試題】已知設函數（）求的定義域（）判斷的奇偶性并予以證明（）求使的的取值范圍【解析】（）要使函數（且）有意義， 當時，原不等式等價為，解得當，原不等式等價為，記得又的定義域為，當時，使的的取值范圍是當時，使的的取值范圍是【答案】(1) .(2) 為奇函數；證明見解析.(3) .2已知函數f(x)lg|x|.(1)判斷函數f(x)的奇偶性；(2)畫出函數f(x)的圖象；(3)求函數f(x)的單調減區(qū)間【解析】(1)要使函數f(x)有意義，x的取值需滿足|x|0，解得x0，即函數的定義域是(，0)(0，)f(x)lg|x|lg|x|f(x)，函數f(x)是偶函數(2)由于函數f(x)是偶函數，則其圖象關于y軸對稱，將函數ylgx的圖象對稱到y(tǒng)軸的左側，與函數ylgx的圖象合起來可得函數f(x)的圖象，如下圖所示 (3)解法一：由圖象得函數f(x)的單調減區(qū)間是(，0)設x1，x2(，0)，且x1x2，f(x1)f(x2)lg|x1|lg|x2|lglg|， 【答案】(1)函數f(x)是偶函數；（2）如下圖；（3）單調減區(qū)間是(，0)； 【課時作業(yè)】課標 素養(yǎng)數學抽象邏輯推理數學運算直觀想象數學建模數據分析A1,92B3,7118,10C45,6，1412,13，15一、選擇題1.若，則x的值為 （ ）A、 B、C、 D、【解析】由題可知，由于，所以，故；【答案】B2. 如果方程的兩根為，那么的值為（ ）A、 B、C、 D、-6 【答案】C3.當時，在同一個坐標系中，函數與的圖象是（ ） 【解析】由題可知，由于底數，故對數函數為單調遞增的，又因為，因此此函數為單調遞減，故選A；【答案】A4. 函數的定義域是（ ）A B C D 【解析】由題可知，解得；【答案】D5.設，函數在區(qū)間上的最大值與最小值之和為4，則a等于（ ）A B C D 【解析】由題可知，當底數時，對數函數為單調遞增的，因此最小值為，最大值為，即，解得；【答案】A6.設alg e，b(lg e)2，clg ，則( )Aa>b>c Ba>c>bCc>a>b Dc>b>a 【答案】B7.如圖所示是對數函數C1：ylogax，C2：ylogbx，C3：ylogcx，C4：ylogdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是( ) Aa>b>1>c>d Bb>a>1>d>cC1>a>b>c>d Da>b>1>d>c【解析】由題可知，作直線y1，依次與C3，C4，C1，C2的交點，橫坐標為c，d，a，b，故c<d<1<a<b.【答案】B8.函數y|log2x|的圖象是圖中的( ) 【解析】由題可知，函數定義域為(0，)，排除B.|log2x|0排除C，結合ylog2x的圖象知D錯【答案】A9.已知對數函數f(x)的反函數的圖象過(2，9)，且f(b)，則b的值為_【解析】由題可知，設f(x)logax(a>0，且a1)，則它的反函數為yax，由條件有a2932，從而a3.于是f(x)log3x，則f(b)log3b，解得b3.【答案】10.函數與的圖像有兩個公共點，則的取值范圍是 【解析】由題可知，若想要兩個函數有兩個交點，則指數函數一定是單調遞增的，因此；【答案】11.函數ylogax當x>2時恒有|y|>1，則a的取值范圍是_【解析】由題可知，a>1時，ylogax在(2，)上是增函數，由loga21，得1<a2；當0<a<1時，ylogax在(2，)上是減函數，且loga21，得a<1.【答案】，1)(1,212.若，則滿足的的值為 【答案】313.已知函數f(x)，那么f(ln 2)的值是_【解析】由題可知，ln 2<ln e1.所以f(ln 2)eln 21211.【答案】114.已知f(x)log3x.(1)作出這個函數的圖象；(2)若f(a)>f(2)，利用圖象求a的取值范圍 【解析】(1)作出函數f(x)log3x的圖象如下圖， (2)觀察函數f(x)log3x的圖象可知：若f(a)>f(2)，則a>2，所以a的取值范圍是(2，)【答案】(1)如圖；（2）a的取值范圍是(2，)；15.求函數ylg2x6lg x的定義域和值域 【答案】定義域是(0，)，值域是(，9