小結(jié)學習目標1.通過知識點與相應(yīng)題目相結(jié)合,進一步鞏固本章知識點.2.體會反比例函數(shù)的意義,會根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)表達式.3.會畫反比例函數(shù)的圖象,理解反比例函數(shù)的性質(zhì).4.能用反比例函數(shù)解決某些實際問題.學習過程第一層學習:復(fù)習知識1.什么是反比例函數(shù)?常見的三種表達形式是什么?2.你能回顧與總結(jié)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎?圖象形狀位置增減性變化趨勢對稱性面積不變性第二層學習:典例剖析1.反比例函數(shù)的概念【例1】下列函數(shù)中是反比例函數(shù)的有(填序號).y=x3;y=2x;y=-32x;xy=12;y=x-1;yx=2;y=kx(k為常數(shù),k0).點評:本題考查了反比例函數(shù)的定義,判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù),首先看兩個變量是否具有反比例關(guān)系,然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷,其形式為y=kx(k為常數(shù),k0)或y=kx-1(k為常數(shù),k0).【例2】m為何值時,下列函數(shù)是反比例函數(shù)?(1)y=(m-1)xm2-2;(2)y=m+2x|m|-1.點評:掌握反比例函數(shù)解析式的兩種形式:y=kx(k0)和y=kx-1(k0)的特點,據(jù)此列出關(guān)于字母參數(shù)的方程或不等式是關(guān)鍵.2.反比例函數(shù)的性質(zhì)【例3】在函數(shù)y=-a2-1x(a為常數(shù))的圖象上有三點(1,y1),12,y2,(-3,y3),則函數(shù)值y1,y2,y3的大小關(guān)系是()A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2點評:本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì):反比例函數(shù)y=kx(k0)的圖象為雙曲線,當k>0時,圖象分布在第一、三象限,在每一象限,y隨x的增大而減小;當k<0時,圖象分布在第二、四象限,在每一象限,y隨x的增大而增大.3.反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義【例4】如圖所示,兩個反比例函數(shù)y=k1x和y=k2x在第一象限內(nèi)的圖象依次是C1和C2,設(shè)點P在C1上,PCx軸于點C,交C2于點A,PDy軸于點D,交C2于點B,則四邊形PAOB的面積為()A.k1+k2B.k1-k2C.k1k2D.k1k2-k2點評:本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y=kx圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.4.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【例5】為了預(yù)防“流感”,某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例,藥物燃燒完后,y與x成反比例(如圖所示).現(xiàn)測得藥物8 min燃畢,此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg.研究表明,當空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg才有效,那么此次消毒的有效時間是多少?點評:本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量,解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.5.反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用【例6】如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于第一象限C,D兩點,與坐標軸交于A,B兩點,連接OC,OD(O是坐標原點).(1)利用圖中條件,求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和m的值;(2)雙曲線上是否存在一點P,使得POC和POD的面積相等?若存在,給出證明并求出點P的坐標;若不存在,說明理由.點評:本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點的應(yīng)用,用了數(shù)形結(jié)合思想.評價作業(yè)1.(10分)下列函數(shù):xy=1,y=x3,y=kx,y=1x-2,y=2x2中,是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.(10分)反比例函數(shù)y=kx(k0)的圖象經(jīng)過點(2,5),若點(-5,n)在反比例函數(shù)的圖象上,則n等于()A.-10B.-5C.-2D.-1103.(10分)對于函數(shù)y=3x+kx(k>0)有以下四個結(jié)論:這是y關(guān)于x的反比例函數(shù);當x>0時,y的值隨著x的增大而減小;函數(shù)圖象與x軸有且只有一個交點;函數(shù)圖象關(guān)于點(0,3)成中心對稱.其中正確的是()A.B.C.D.4.(10分)在函數(shù)y=-2x的圖象上有三點(-1,y1),(-0.25,y2),(3,y3),則函數(shù)值y1,y2,y3的大小關(guān)系是.5.(10分)小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1 200 N和0.5 m,當撬動石頭的動力F至少需要400 N時,則動力臂l的最大值為 m.6.(10分)如圖,點D為矩形OABC的AB邊的中點,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點D,交BC邊于點E.若BDE的面積為1,則k=.7.(20分)如圖,直線y=3x-5與反比例函數(shù)y=k-1x的圖象相交A(2,m),B(n,-6)兩點,連接OA,OB.(1)求k和n的值;(2)求AOB的面積.8.(20分)喝綠茶前需要燒水和泡茶兩個工序,即需要將電熱水壺中的水燒到100 ,然后停止燒水,等水溫降低到適合的溫度時再泡茶,燒水時水溫y()與時間x(min)成一次函數(shù)關(guān)系;停止加熱過了1分鐘后,水壺中水的溫度y()與時間x(min)近似于反比例函數(shù)關(guān)系(如圖).已知水壺中水的初始溫度是20 ,降溫過程中水溫不低于20 .(1)分別求出圖中所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,并且寫出自變量x的取值范圍;(2)從水壺中的水燒開(100 )降到80 就可以進行泡制綠茶,問從水燒開到泡茶需要等待多長時間?參考答案第一層學習:復(fù)習知識1.一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k 0 )的函數(shù)叫做反比例函數(shù).解析式有三種常見的表達形式:y=kx(k是常數(shù),k0),xy=k(k是常數(shù),k0),y=kx-1(k是常數(shù),k0).2.圖象k>0k<0形狀圖象是雙曲線位置當k>0時,雙曲線分別位于第一,三象限內(nèi)當k<0時,雙曲線分別位于第二,四象限內(nèi)增減性當k>0時,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減小當k<0時,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大變化趨勢雙曲線無限接近于x,y軸,但永遠不會與坐標軸相交對稱性雙曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.面積不變性任意一組變量的乘積是一個定值,即xy=k;長方形面積|mn|=|k|第二層學習:典例剖析1.反比例函數(shù)的概念【例1】解析:由題意可得是一次函數(shù);是反比例函數(shù).答案:【例2】解:(1)由題意得m2-2=-1,且m-10,解得m=-1;(2)由題意得m+20,|m|-1=1,解得m=2.2.反比例函數(shù)的性質(zhì)【例3】解析:-a2-1<0,函數(shù)y=-a2-1x(a為常數(shù))的圖象分布在第二、四象限,y3為正數(shù),最大;y1>y2,y2<y1<y3.答案:C3.反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義【例4】解析:PCx軸,PDy軸,S矩形PCOD=k1,SAOC=SBOD=12k2,四邊形PAOB的面積=S矩形PCOD-SAOC-SBOD=k1-12k2-12k2=k1-k2.答案:B4.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【例5】解:設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x(k1>0),將(8,6)代入,得6=8k1,解得k1=34;設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x(k2>0),將(8,6)代入,得6=k28,解得k2=48,所以藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=34x(0x8),藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=48x(x>8);把y=3代入y=34x,得x=4,把y=3代入y=48x,得x=16.16-4=12(分鐘).故此次消毒的有效時間是12分鐘.5.反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用【例6】解:(1)把C(1,4)代入y=kx,得k=4,把(4,m)代入y=4x,得m=1;反比例函數(shù)的解析式為y=4x,m=1;把C(1,4),D(4,1)代入y=ax+b得出4=k+b,1=4k+b,解得k=-1,b=5,一次函數(shù)的解析式為y=-x+5;(2)雙曲線上存在點P(2,2),使得SPOC=SPOD,理由如下:C點坐標為(1,4),D點坐標為(4,1),OD=OC=17,當點P在COD的平分線上時,COP=POD,又OP=OP,POCPOD,SPOC=SPOD.C點坐標為(1,4),D點坐標為(4,1),可得COB=DOA,又這個點是COD的平分線與雙曲線的y=4x交點,BOP=POA,P點橫縱坐標相等,即xy=4,x2=4,x=2,x>0,x=2,y=2,故P點坐標為(2,2),使得POC和POD的面積相等.利用點CD關(guān)于直線y=x對稱,P(2,2)或P(-2,-2).評價作業(yè)1.A2.C3.D4.y3<y1<y25.1.56.47.解:(1)點B(n,-6)在直線y=3x-5上,-6=3n-5,解得n=-13,B-13,-6,反比例函數(shù)y=k-1x的圖象過點B,k-1=-13(-6),解得k=3;(2)設(shè)直線y=3x-5分別與x軸、y軸交于C,D,當y=0時,3x-5=0,x=53,即OC=53,當x=0時,y=-5,即OD=5,A(2,m)在直線y=3x-5上,m=32-5=1,即A(2,1),AOB的面積S=SBOD+SCOD+SAOC=12135+12535+12531=356.8.解:(1)停止加熱時,設(shè)y=kx,由題意得50=k18,解得k=900,y=900x,當y=100時,解得x=9,C點坐標為(9,100),B點坐標為(8,100),當加熱燒水時,設(shè)y=ax+20,由題意得100=8a+20,解得a=10,當加熱燒水時,函數(shù)關(guān)系式為y=10x+20(0x8);當停止加熱時,得y與x的函數(shù)關(guān)系式為(1)y=100(8<x9);y=900x(9<x45);(2)把y=80代入y=900x,得x=11.25,因此從水燒開到泡茶需要等待3.25分鐘.