18.2.1矩形(第1課時)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解矩形的概念,明確矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.2.探索并證明矩形的性質(zhì),會用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題.3.探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個定理.學(xué)習(xí)過程一、合作探究【問題探究一】矩形的定義閱讀教材本節(jié)中的第一個“思考”前面內(nèi)容,解決下列問題:1.有一個角是的叫矩形.2.你能舉出一些生活中矩形的實例嗎?【問題探究二】矩形的性質(zhì)區(qū)別閱讀教材本節(jié)中的第1個“思考”,思考、討論、合作交流后解決下列問題:1.結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)的探求過程,你認(rèn)為應(yīng)該從哪幾個方面探求矩形的性質(zhì)?2.畫一個矩形,連接對角線,度量它的四個角和對角線,你有什么發(fā)現(xiàn)?3.你能證明你的猜想嗎?歸納總結(jié):矩形的四個角都是,矩形的對交線且.幾何語言表述【問題探究三】直角三角形斜邊上中線的特性.閱讀教材本節(jié)中的第2個“思考”,思考、討論、合作交流后解決下列問題:1.觀察圖所示的矩形,尋找圖形中的相等線段,在RtABC中,有哪些相等線段,你能得到什么結(jié)果?2.你能證明上述猜想嗎?寫出證明過程:歸納總結(jié):直角三角形斜邊上中線等于.二、自主練習(xí)【例1】已知:如圖,矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,AOB=60,AB=4,求矩形對角線的長.【例2】(補充)已知:如圖,矩形ABCD,AB長8 cm,對角線比AD邊長4 cm.求AD的長及點A到BD的距離AE的長.三、跟蹤練習(xí)1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A.對角線相等B.對邊相等C.對角相等D.對角線互相平分2.在RtABC中,ABC=90,AC=10,BO是斜邊上的中線,則BO的長為.3.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AB=5,BC=12,則ABO的周長為.4.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AOB=60,AB=4.求矩形對角線的長.5.如圖,在矩形ABCD中,AE平分BAD,交BC于點E,ED=5,EC=3,求矩形的周長及對角線的長.四、變式演練1.如圖,在長方形ABCD中,AB=6,BC=8,將長方形ABCD沿CE折疊后,使點D恰好落在對角線AC上的點F處.(1)求EF的長.(2)求四邊形ABCE的面積.2.如圖所示,在矩形ABCD中,E為AD上一點,EFCE交AB于點F,若DE=2,矩形的周長為16,且CE=EF,則AE的長為多少?五、達(dá)標(biāo)檢測1.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊,點D落在點E處,且CE與AB交于F,那么SACF為()A.12B.15C.6D.102.如圖,在矩形ABCD中,AC,BD相交于點O,AE平分BAD交BC于E.若EAO=15,則BOE的度數(shù)為()A.85B.80C.75D.703.如圖,矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O.若AOB=60,BD=8,則AB的長為()A.4B.43C.3D.54.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可求陰影部分的面積和為()A.12B.10C.8D.75.如圖,延長矩形ABCD的邊BC至點E,使CE=BD,連接AE,如果ADB=30,則E=度.6.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別是AO,AD的中點,若AB=6 cm,BC=8 cm,則AEF的周長cm.7.RtABC中,BAC=90,AB=3,AC=4,P為邊BC上一動點,PEAB于E,PFAC于F,M為EF中點,則AM的最小值為.8.如圖,將ABCD的邊DC延長到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于點F.(1)求證:四邊形ABEC是平行四邊形;(2)連接AC,BE,若四邊形ABEC是矩形,則AFC與D應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系?并說明理由.9.如圖,長方形OABC中,O為原點,A(4,0),C(0,6),點B在第一象限點P從原點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿O-A-B-C-O的路線移動.(1)直接寫出點B的坐標(biāo);(2)當(dāng)點P移動了4秒時,點P的坐標(biāo)是;(3)移動過程中,當(dāng)點P到x軸距離為5個單位長度時,求點P移動的時間及此時點P到O點的距離.參考答案一、合作探究【問題探究一】1.直角;平行四邊形2.略【問題探究二】1.內(nèi)角、對角線.2.(1)矩形的四個角都是直角.(2)矩形的對角線相等.3.猜想1:矩形的四個角都是直角.求證:矩形的四個角都是直角.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形,求證:A=B=C=D=90,證明:四邊形ABCD是矩形,A=90,又矩形ABCD是平行四邊形,A=C,B=D,A+B=180.A=B=C=D=90.即矩形的四個角都是直角.猜想2:矩形的對角線相等.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形求證:AC=BD,證明:在矩形ABCD中,ABC=DCB=90,AB=DC,BC=CB,ABCDCB,AC=BD,即矩形的對角線相等.結(jié)論:矩形的對角線相等.數(shù)學(xué)語言:四邊形ABCD是矩形,AC=BD.歸納總結(jié):矩形的四個角都是直角,矩形的對交線相等且互相平分.幾何語言表述:四邊形ABCD是矩形,A=B=C=D=90.AC=BD.【問題探究三】1.OA=OB=OC2.如圖,在矩形ABCD中,AC,BD相交于點O,由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可以得到直角三角形的一個性質(zhì):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.歸納總結(jié):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.二、自主學(xué)習(xí)1.解:四邊形ABCD是矩形,AC與BD相等且互相平分.OA=OB.又AOB=60,OAB是等邊三角形.矩形的對角線長AC=BD=2OA=24=8.2.解:設(shè)AD=x cm,則對角線長(x+4) cm,在RtABD中,由勾股定理:x2+82=(x+4)2,解得x=6.則AD=6 cm,AB=10 cm.(2)SABD=12AEDB=12ADAB,解得AE=4.8 cm.三、跟蹤練習(xí)1.A2.53.184.解:四邊形ABCD是矩形,OA=12AC,OB=12BD,AC=BD,OA=OB,AOB=60,AOB是等邊三角形,OA=AB=4,AC=2OA=8.即矩形的對角線長為8.5.解:如圖,連接BD.四邊形ABCD是矩形,C=90,AB=CD,ADBC.ED=5,EC=3,DC2=DE2-CE2=25-9=16,DC=4,AB=4.ADBC,AEB=DAE.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE=AEB,BE=AB=4,矩形的周長=2(4+3+4)=22.由勾股定理得:BD2=42+72,BD=65.答:矩形的周長為22,對角線的長為65.四、變式演練1.解:(1)四邊形ABCD為矩形,CD=AB=6,AD=BC=8,BAD=D=90,在RtABC中,AC=62+82=10,長方形ABCD沿CE折疊后,使點D恰好落在對角線AC上的點F處,CF=CD=6,ED=EF,EFC=D=90,AF=10-6=4,設(shè)EF=x,則ED=x,AE=8-x,在RtAEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,即EF的長為3.(2)四邊形ABCE的面積=SABC+SEAC=1268+12310=39.2.解:在矩形ABCD中,A=D=90.CEEF,AEF+DEC=90.又AFE+AEF=90,AFE=DECEF=CE,AEFDCE(AAS).AE=DC.又矩形的周長為16,2(AE+DE+DC)=16,即2AE+2=8.AE=3.五、達(dá)標(biāo)檢測1.D2.C3.A4.C5.156.97.658.(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,AB=CD,CE=DC,AB=EC,ABEC,四邊形ABEC是平行四邊形;(2)解:AFC=2D.理由如下:四邊形ABEC是矩形,AE=BC,FC=FE,AD=BC.AD=AE,AED=D,FC=FE.AED=FCE=D,AFC=AED+FCE.AFC=2D.9.解:(1)根據(jù)長方形的性質(zhì),可得AB與y軸平行,BC與x軸平行;且A(4,0),C(0,6),即AB=OC=6,BC=OA=4,故B的坐標(biāo)為(4,6);(2)根據(jù)題意,P的運動速度為每秒2個單位長度,當(dāng)點P移動了4秒時,則其運動了24=8個長度單位,此時點P在AB上,且PA=4,故P的坐標(biāo)為(4,4);(3)根據(jù)題意,點P到x軸距離為5個單位長度時,有兩種情況:P在AB上時,P運動了4+5=9個長度單位,此時P運動了92=4.5(秒);此時點P到O的距離為OA2+AP2=42+52=41個單位長度;P在OC上時,P運動了4+6+4+1=15個長度單位,此時P運動了152=7.5(秒);此時點P到O的距離為5個單位長度.