第二講三角恒等變換與解三角形(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若cos =-45,是第三象限的角,則1+tan21-tan2=()A.3B. -12C.13D.12【解析】選B.因為cos =-45,是第三象限的角,所以sin =-35,則1+tan21-tan2=cos2+sin2cos2-sin2=1+sincos=-12.2.設(shè)a=2sin5cos5,b=cos25-sin25,c=tan301-tan230,則()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b 【解析】選C.因為a=sin25=sin 72,b=cos 10=sin 80,c=12tan 60=32,函數(shù)y=sin x在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以c=32<a<b.3.已知A是ABC的內(nèi)角且sin A+2cos A=-1,則tan A=()A.-34B.-43C.34D.43【解析】選A.因為sin A+2cos A=-1,所以代入sin2A+cos2A=1中,整理得5cos2A+4cos A=0,所以cos A=0或cos A=-45,當(dāng)cos A=0時,sin A=-1,矛盾,所以cos A=-45,sin A=35,所以tan A=-34.4.在ABC中,已知tan A=14,tan B=35,且ABC最大邊的長為17,則ABC的最小邊為()A.1B.5C.2D.3【解析】選C.設(shè)ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c.在ABC中, tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=14+351-1435=1,即tan C=-1,所以C=135,所以c=17,因為tan B>tan A,則角A所對的邊最小.由tan A=14可知sin A=1717,由正弦定理asinA=csinC,得a=sin AcsinC=17171722=2.5.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若ABC的面積S=312c,則ab的最小值為()A.12B.13C.16D.3【解析】選B.由題意得2sin Ccos B=2sin A+sin B2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin Bcos C=-12,所以S=12absin C=34ab=312cc=3ab.因為cos C=a2+b2-c22ab,所以-12=a2+b2-9a2b22ab2ab-9a2b22ab,解得ab13,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=33時,等號成立,即ab的最小值為13.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知tan =4,則sin-2cos3cos+2sin=_.【解析】sin-2cos3cos+2sin=tan-23+2tan=4-23+24=211.答案:2117.若tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的兩個根,且,-2,2,則+=_.【解析】因為tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的兩個根,所以tan +tan =-5,tan tan =6,所以tan <0,tan <0,所以tan(+)= tan+tan1-tantan=-51-6=1,又因為,-2,2,所以+=-34.答案:-348.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為ABC的面積,若c=2acos B, S=12a2-14c2,則C的大小為_.【解析】因為c=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所以tan A=tan B,所以A=B,又因為S=12a2-14c2,所以a22sin C=a22-c24,由正弦定理得sin C=1-12sinCsinA2,因為A=B,所以sin A=cosC2,所以sin C=cos C,所以C=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共30分)9.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ABC的面積為S,已知a=2,b2+c2-4=43S,B>A,2sin Bsin C=cos A.(1)求A的值.(2)判斷ABC的形狀并求ABC的面積.【解析】(1)因為b2+c2-4=43S,所以b2+c2-a2=4312bcsin A,由余弦定理得,cos A=3sin A,所以tan A=33,因為A(0,),所以A=6.(2)因為2sin Bsin C=cos A,A+B+C=,所以2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以B-C=2或C-B=2.()當(dāng)B-C=2時,由第(1)問知A=6,所以B=23,C=6,所以ABC是等腰三角形, S=12acsin B=3;()當(dāng)C-B=2時,由第(1)問知A=6,所以C=23,B=6,又因為B>A,矛盾,舍去.綜上,ABC是等腰三角形,其面積為3.10.已知在ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求sinBsinC.(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長.【解析】(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD,因為SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC,在ABC中,由正弦定理得:ACsinB=ABsinC,所以sinBsinC=ACAB=12.(2)設(shè)ADB=,則ADC=-.由(1)知ACAB=bc=12,所以c=2b,因為CD=22,所以BD=2,在ACD中,由余弦定理得,b2=1+222-2122cos(-),即b2=32+2cos ,在ABD中,由余弦定理,c2=1+2-212cos ,即c2=3-22cos ,由得b=1,故AC=1.11.在銳角ABC中,2sinB-C2cosB-C2+2cos Bsin C=32.(1)求角A.(2)若BC=7,AC=2,求ABC的面積.【解析】(1)因為2sinB-C2cosB-C2+2cos Bsin C=32,所以sin(B-C)+2cos Bsin C=32,則sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=32,即sin A=32,由ABC為銳角三角形得A=3.(2)在ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-22c12,化簡得c2-2c-3=0,解得c=3(負(fù)根舍去),所以SABC=12bcsin A=332.【提分備選】1.如圖所示,某鎮(zhèn)有一塊空地OAB,其中OA=3 km,OB=33 km,AOB=90.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點,擬在中間挖一個人工湖OMN,其中M,N都在邊AB上,且MON=30,挖出的泥土堆放在OAM地帶上形成假山,剩下的OBN地帶開設(shè)兒童游樂場. 為安全起見,需在OAN的周圍安裝防護網(wǎng).(1)當(dāng)AM=32km時,求防護網(wǎng)的總長度.(2)若要求挖人工湖用地OMN的面積是堆假山用地OAM的面積的3倍,試確定AOM的大小.(3)為節(jié)省投入資金,人工湖OMN的面積要盡可能小,問如何設(shè)計施工方案,可使OMN的面積最小?最小面積是多少?【解析】(1)因為在OAB中,OA=3,OB=33,AOB=90,所以O(shè)AB=60,在AOM中,OA=3,AM=32,OAM=60,由余弦定理,得OM=332,所以O(shè)M2+AM2=OA2,即OMAN,所以AOM=30,所以O(shè)AN為正三角形,所以O(shè)AN的周長為9,即防護網(wǎng)的總長度為9 km.(2)設(shè)AOM=(0<<60),因為SOMN=3SOAM,所以12ONOMsin 30=312OAOMsin ,即ON=63sin ,在OAN中,由ONsin60=OAsin(+60+30)=3cos,得ON=332cos,從而63sin =332cos,所以sin 2=12,所以=15,即AOM=15.(3)設(shè)AOM=(0<<60),由(2)知ON=332cos,又在AOM中,由OMsin60=OAsin(+60),得OM=332sin(+60),所以SOMN=12OMONsin 30=2716sin(+60)cos=27812sin2+32cos2+32=278sin(2+60)+43,所以當(dāng)且僅當(dāng)2+60=90,即=15時,OMN的面積取最小值為27(2-3)4 km2.2.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B的大小.(2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點D,使得AD=2CD=4.當(dāng)角D為何值時,四邊形ABCD的面積最大?【解析】(1)因為(2a-c)cos B=bcos C,所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,因為sin A0,所以cos B=12,所以B=3.(2)因為AB=AC,B=3,所以ABC為等邊三角形,若四邊形ABCD面積最大,則ADC的面積最大,設(shè)AC=x,在ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CDADcos D=4+16-224cos D,所以cos D=20-x216,所以sin D=162-(20-x2)216,當(dāng)x2=20,即x=25時,-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大為1,因為SADC=12CDADsin D=4sin D,所以當(dāng)D=2時,SADC最大,所以當(dāng)D=2時,四邊形ABCD的面積最大.3.已知ABC為銳角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)與向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共線向量.(1)求角A.(2)求函數(shù)y=2sin2B+cosC-3B2的最大值.【解析】(1)因為p,q共線,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),則sin2A=34.又A為銳角,所以sin A=32,則A=3.(2)y=2sin2B+cosC-3B2=2sin2B+cos-3-B-3B2=2sin2B+cos3-2B=1-cos 2B +12cos 2B+32sin 2B=32sin 2B-12cos 2B+1=sin2B-6+1.因為B0,2,所以2B-6-6,56,所以當(dāng)2B-6=2即B=3時,函數(shù)y取得最大值,ymax=2.(20分鐘20分)1.(10分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan4+A=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值.(2)若B=4,a=3,求ABC的面積.【解析】(1)由tan4+A=2,得tan A=13.所以sin2Asin2A+cos2A=2tanA2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A(0,),得sin A=1010,cos A=31010.又由a=3,B=4及正弦定理asinA=bsinB,得b=35.由sin C=sin(A+B)=sinA+4,得sin C=255,設(shè)ABC的面積為S,則S=12absin C=9.2.(10分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)證明:sin AsinB=sin C.(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.【解析】(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,可知原式可以化解為cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,因為A和B為三角形內(nèi)角,所以sin Asin B0,則兩邊同時乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(-C)=sin C,原式得證.(2)由題b2+c2-a2=65bc,根據(jù)余弦定理可知,cos A=b2+c2-a22bc=35.因為A為三角形內(nèi)角,A(0,),sin A>0,則sin A=1-352=45,即cosAsinA=34,由(1)可知cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,所以cosBsinB=1tanB=14,所以tan B=4.