2.3 一元二次方程學(xué)用P17過(guò)關(guān)演練(30分鐘70分)1.(xx山東臨沂)一元二次方程y2-y-34=0配方后可化為(B)A.y+122=1B.y-122=1C.y+122=34D.y-122=34【解析】將一元二次方程y2-y-34=0配方后可化為y-122=1.2.若1-3是方程x2-2x+c=0的一個(gè)根,則c的值為(A)A.-2B.43-2C.3-3D.1+3【解析】關(guān)于x的方程x2-2x+c=0的一個(gè)根是1-3,(1-3)2-2(1-3)+c=0,解得c=-2.3.(xx山東泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情況是(D)A.無(wú)實(shí)數(shù)根B.有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根C.有兩個(gè)正根,且都小于3D.有兩個(gè)正根,且有一根大于3【解析】(x+1)(x-3)=2x-5,整理得x2-4x+2=0,即(x-2)2=2,解得x1=2+2>3,x2=2-2,故有兩個(gè)正根,且有一根大于3.4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為(B)A.6B.5C.4D.3【解析】a=1,b=2,c=m-2,關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有實(shí)數(shù)根,=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m0,m3.m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),m=2或3.2+3=5.5.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,則a2+b2的值為(B)A.4或-2B.4C.-2D.-4【解析】設(shè)a2+b2=x,可得x(x-2)=8,解得x1=4,x2=-2,因?yàn)閍2+b2的值為非負(fù)數(shù),所以a2+b2的值為4.6.(xx遼寧大連)如圖,有一張矩形紙片,長(zhǎng)10 cm,寬6 cm,在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正方形,然后折疊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是32 cm2,求剪去的小正方形的邊長(zhǎng).設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是x cm,根據(jù)題意可列方程為(B)A.106-46x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.106-4x2=32【解析】設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是x cm,則紙盒底面的長(zhǎng)為(10-2x)cm,寬為(6-2x)cm,根據(jù)題意得(10-2x)(6-2x)=32.7.(xx四川眉山)我市某樓盤(pán)準(zhǔn)備以每平方6000元的均價(jià)對(duì)外銷(xiāo)售,由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后,購(gòu)房者持幣觀望,為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次下調(diào)后,決定以每平方4860元的均價(jià)開(kāi)盤(pán)銷(xiāo)售,則平均每次下調(diào)的百分率是(C)A.8%B.9%C.10%D.11%【解析】設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,由題意得6000(1-x)2=4860,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).即平均每次下調(diào)的百分率為10%.8.(xx浙江嘉興)歐幾里得的原本記載,形如x2+ax=b2的方程的圖解法:畫(huà)RtABC,使ACB=90,BC=a2,AC=b,再在斜邊AB上截取BD=a2.則該方程的一個(gè)正根是(B)A.AC的長(zhǎng)B.AD的長(zhǎng)C.BC的長(zhǎng)D.CD的長(zhǎng)【解析】設(shè)AD=x,根據(jù)勾股定理得x+a22=b2+a22,整理得x2+ax=b2,則該方程的一個(gè)正根是AD的長(zhǎng).9.(xx湖南常德)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則b的值可能是6(本題答案不唯一).(只寫(xiě)一個(gè))【解析】關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,=b2-423>0,解得b<-26或b>26.10.已知m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn1,則mn+n+1n的值為3.【解析】由n2+2n-1=0可知n0.1+2n-1n2=0.1n2-2n-1=0,又m2-2m-1=0且mn1,即m1n.m,1n是方程x2-2x-1=0的兩根.m+1n=2.mn+n+1n=m+1+1n=2+1=3.11.(xx四川內(nèi)江)已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1,x2=2,則方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根之和為1.【解析】設(shè)x+1=t,方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根分別是x3,x4,at2+bt+1=0,由題意可知t1=1,t2=2,t1+t2=3,x3+x4+2=3,即x3+x4=1.12.(6分)解方程:2(x-3)=3x(x-3).解:2(x-3)=3x(x-3),移項(xiàng)得2(x-3)-3x(x-3)=0,整理得(x-3)(2-3x)=0,x-3=0或2-3x=0,解得x1=3,x2=23.13.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,請(qǐng)用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件,并推導(dǎo)出求根公式,證明x1x2=ca.解:ax2+bx+c=0(a0),x2+bax=-ca,x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2,4a2>0,當(dāng)b2-4ac0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根,x+b2a=b2-4ac2a,當(dāng)b2-4ac>0時(shí),x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),x1=x2=-b2a.x1x2=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=b2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca,或x1x2=-b2a2=b24a2=4ac4a2=ca,x1x2=ca.14.(9分)某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元,由于改進(jìn)技術(shù),生產(chǎn)成本逐月下降,3月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元.假設(shè)該公司2,3,4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同.(1)求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率;(2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本.解:(1)設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x,根據(jù)題意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合題意,舍去).答:每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%.(2)361(1-5%)=342.95(萬(wàn)元).答:預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元.名師預(yù)測(cè)1.方程x-2=x(x-2)的解為(D)A.x=0B.x1=0,x2=2C.x=2D.x1=1,x2=2【解析】原方程變形為x-2-x(x-2)=0,(x-2)(1-x)=0,x-2=0或1-x=0,解得x1=1,x2=2.2.若x=0是關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的一個(gè)根,則m的值為(B)A.1B.2C.1或2D.0【解析】把x=0直接代入方程得m2-3m+2=0,解得m=1或2,又由已知可得m1,故m=2.3.某商店今年1月份的銷(xiāo)售額是2萬(wàn)元,3月份的銷(xiāo)售額是4.5萬(wàn)元,從1月份到3月份,該店銷(xiāo)售額平均每月的增長(zhǎng)率是(C)A.20%B.25%C.50%D.62.5%【解析】設(shè)該店銷(xiāo)售額平均每月的增長(zhǎng)率為x,則2月份銷(xiāo)售額為2(1+x)萬(wàn)元,3月份銷(xiāo)售額為2(1+x)2萬(wàn)元,由題意可得2(1+x)2=4.5,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合題意,舍去).4.某中學(xué)組織初三學(xué)生籃球比賽,以班為單位,每?jī)砂嘀g都比賽一場(chǎng),計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽,則共有多少個(gè)班級(jí)參賽?(C)A.4B.5C.6D.7【解析】設(shè)共有x個(gè)班級(jí)參賽,根據(jù)題意得x(x-1)2=15,解得x1=6,x2=-5(不合題意,舍去),則共有6個(gè)班級(jí)參賽.5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”,其規(guī)則為a*b=a2-b,根據(jù)這個(gè)規(guī)則,方程(x-1)*9=0的解為x1=-2,x2=4.【解析】由已知可得(x-1)*9=(x-1)2-9=0,即x-1=3,解得x1=-2,x2=4.6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(n+3)x+3n=0.(1)求證:此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若此方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根,請(qǐng)選擇一個(gè)合適的n值,寫(xiě)出這個(gè)方程并求出此時(shí)方程的根.解:(1)=(n+3)2-12n=(n-3)2,又(n-3)20,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,n3,取n=0,則方程化為x2-3x=0,因式分解為x(x-3)=0,x1=0,x2=3.7.閱讀下列材料,解答問(wèn)題.(2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2.解:設(shè)m=2x-5,n=3x+7,則m+n=5x+2,則原方程可化為m2+n2=(m+n)2,所以mn=0,即(2x-5)(3x+7)=0,解得x1=52,x2=-73.請(qǐng)利用上述方法解方程(4x-5)2+(3x-2)2=(x-3)2.解:設(shè)m=4x-5,n=3x-2,則m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3,原方程化為m2+n2=(m-n)2,整理得mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0,4x-5=0,3x-2=0,解得x1=54,x2=23.8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)當(dāng)m=52時(shí),方程的兩根分別是矩形的長(zhǎng)和寬,求該矩形外接圓的直徑.解:(1)方程有實(shí)數(shù)根,=(-5)2-412m0,解得m258,m的取值范圍為m258.(2)當(dāng)m=52時(shí),原方程可化為x2-5x+5=0,設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1,x2,則x1+x2=5,x1x2=5,該矩形外接圓的直徑是矩形的對(duì)角線AC,如圖所示,AC=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=52-25=15,該矩形外接圓的直徑是15.9.為積極響應(yīng)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換,提高公司經(jīng)濟(jì)效益,某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬(wàn)元,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),每臺(tái)售價(jià)為40萬(wàn)元時(shí),年銷(xiāo)售量為600臺(tái);每臺(tái)售價(jià)為45萬(wàn)元時(shí),年銷(xiāo)售量為550臺(tái).假定該設(shè)備的年銷(xiāo)售量y(單位:臺(tái))和銷(xiāo)售單價(jià)x(單位:萬(wàn)元)成一次函數(shù)關(guān)系.(1)求年銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)相關(guān)規(guī)定,此設(shè)備的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元,如果該公司想獲得10000萬(wàn)元的年利潤(rùn),則該設(shè)備的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)是多少萬(wàn)元?解:(1)設(shè)年銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k0),將(40,600),(45,550)代入y=kx+b,得40k+b=600,45k+b=550,解得k=-10,b=1000,年銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+1000.(2)設(shè)此設(shè)備的銷(xiāo)售單價(jià)為x萬(wàn)元,則每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為(x-30)萬(wàn)元,銷(xiāo)售數(shù)量為(-10x+1000)臺(tái),根據(jù)題意得(x-30)(-10x+1000)=10000,整理得x2-130x+4000=0,解得x1=50,x2=80.此設(shè)備的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元,x=50.答:該設(shè)備的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)是50萬(wàn)元.