第1課時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P118P120，回答下列問題(1)圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？提示：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑圓心和半徑圓心：確定圓的位置；半徑：確定圓的大小(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用哪些幾何性質(zhì)？提示：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑，為此常用到圓的以下幾何性質(zhì)：弦的垂直平分線必過圓心圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心圓心與切點(diǎn)的連線長(zhǎng)是半徑長(zhǎng)圓心與切點(diǎn)的連線必與切線垂直2歸納總結(jié)，核心必記(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.當(dāng)ab0時(shí)，方程為x2y2r2，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為M(x0，y0)，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上MAr點(diǎn)M在圓A上點(diǎn)M(x0，y0)在圓上(x0a)2(y0b)2點(diǎn)在圓內(nèi)MA<r點(diǎn)M在圓A內(nèi)點(diǎn)M(x0，y0)在圓內(nèi)(x0a)2(y0b)2點(diǎn)在圓外MA>r點(diǎn)M在圓A外點(diǎn)M(x0，y0)在圓外(x0a)2(y0b)2問題思考方程(xa)2(yb)2r2(a，b，rR)表示一個(gè)圓嗎？為什么？提示：未必表示圓當(dāng)r0時(shí)，表示圓心為(a，b)，半徑為|r|的圓；當(dāng)r0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)(a，b)課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？怎樣求解？；(2)點(diǎn)與圓有哪些位置關(guān)系？.“南昌之星”摩天輪2006年建成時(shí)是世界上最高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標(biāo)志性建筑該摩天輪總高度為160米，轉(zhuǎn)盤直徑為153米思考1游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？提示：一樣圓上的點(diǎn)到圓心的距離都是相等的，都是圓的半徑思考2若以摩天輪中心所在位置為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，游客在任一點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？提示：.思考3以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足什么關(guān)系？提示： 3.思考4確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需具備哪些條件？名師指津：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2中有三個(gè)參數(shù)，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定這三個(gè)參數(shù)，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件講一講1求過點(diǎn)A(1，1)，B(1,1)且圓心在直線xy20上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(鏈接教材P120例3)嘗試解答法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，由已知條件知解此方程組，得故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)24.法二：設(shè)點(diǎn)C為圓心，點(diǎn)C在直線xy20上，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2a)又該圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，|CA|CB|.，解得a1.圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長(zhǎng)r|CA|2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)24.法三：由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，kAB1，弦AB的垂直平分線的斜率為k1，AB的垂直平分線的方程為y01(x0)，即yx.則圓心是直線yx與xy20的交點(diǎn)，由得即圓心為(1,1)，圓的半徑為2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)24.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：(1)待定系數(shù)法，如法一，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；(2)借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑，如法二、三一般地，在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷練一練1求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4,0)，且過點(diǎn)(2,2)；(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)(3，4)；(3)過點(diǎn)P(2，1)和直線xy1相切，并且圓心在直線y2x上解：(1)r2(24)2(20)28，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y28.(2)設(shè)圓心為C(0，b)，則(30)2(4b)252，b0或b8，圓心為(0,0)或(0，8)，又r5，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y225或x2(y8)225.(3)圓心在y2x上，設(shè)圓心為(a，2a)，則圓心到直線xy10的距離為r.r， 又圓過點(diǎn)P(2，1)，r2(2a)2(12a)2，由得或圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338.愛好運(yùn)動(dòng)的小華，小強(qiáng)，小兵三人相邀搞一場(chǎng)擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰的飛鏢離靶心O越近，誰獲勝，如圖A，B，C分別是他們擲一輪飛鏢的落點(diǎn)看圖回答下列問題：思考1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？提示：三種點(diǎn)在圓外、圓上、圓內(nèi)思考2如何判斷他們的勝負(fù)？提示：利用點(diǎn)與圓心的距離講一講2已知圓心在點(diǎn)C(3，4)，且經(jīng)過原點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圓的位置關(guān)系(鏈接教材P119例1)嘗試解答因?yàn)閳A心是C(3，4)，且經(jīng)過原點(diǎn)，所以圓的半徑r5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y4)225.因?yàn)閨P1C|2<5，所以P1(1,0)在圓內(nèi)；因?yàn)閨P2C|5，所以P2(1，1)在圓上；因?yàn)閨P3C|6>5，所以P3(3，4)在圓外(1)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷(2)靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍練一練2已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(xa)2(ya)22a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范圍是(0，)講一講3已知x和y滿足(x1)2y2，試求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值思路點(diǎn)撥首先觀察x、y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，最后結(jié)合圖形求出其最值嘗試解答(1)據(jù)題意知x2y2表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值原點(diǎn)O(0,0)到圓心C(1,0)的距離d1，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1，最小距離為1.因此x2y2的最大值和最小值分別為和.(2)令yxb并將其變形為yxb.問題轉(zhuǎn)化為斜率為1的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時(shí)在y軸上的截距的最值當(dāng)直線和圓相切時(shí)在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時(shí)有，解得b1，即最大值為1，最小值為1.數(shù)形結(jié)合思想能有效地找到解題的捷徑，解題時(shí)找到圓心和半徑，分析待求數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何意義，將“數(shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合起來是求解與圓有關(guān)的最值問題的關(guān)鍵練一練3已知圓C：(x3)2(y4)21，點(diǎn)A(0，1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值解：設(shè)P(x，y)，則d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值為216234.最大值為236274.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系難點(diǎn)是根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，見講1.(2)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法，見講2.(3)求與圓有關(guān)的最值的方法，見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中易漏解，如練1.課下能力提升(二十二)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1圓(x2)2(y3)22的圓心和半徑分別是()A(2,3)，1 B(2，3)，3C(2,3)， D(2，3)，解析：選D由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑為.2(2016洛陽高一檢測(cè))圓心為(0,4)，且過點(diǎn)(3,0)的圓的方程為()Ax2(y4)225 Bx2(y4)225C(x4)2y225 D(x4)2y225解析：選A由題意，圓的半徑r5，則圓的方程為x2(y4)225.3(2016達(dá)州高一檢測(cè))ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，則ABC的外接圓方程是()A(x2)2(y2)220B(x2)2(y2)210C(x2)2(y2)25D(x2)2(y2)2解析：選C易知ABC是直角三角形，B90，所以圓心是斜邊AC的中點(diǎn)(2,2)，半徑是斜邊長(zhǎng)的一半，即r，所以外接圓的方程為(x2)2(y2)25.4經(jīng)過原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑為2的圓的方程是_解析：圓心是(2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x2)2y24.答案：(x2)2y245求過點(diǎn)A(1,2)和B(1,10)且與直線x2y10相切的圓的方程解：圓心在線段AB的垂直平分線y6上，設(shè)圓心為(a,6)，半徑為r，則圓的方程為(xa)2(y6)2r2.將點(diǎn)(1,10)代入得(1a)2(106)2r2，而r，代入，得(a1)216，解得a3，r2或a7，r4.故所求圓的方程為(x3)2(y6)220或(x7)2(y6)280.題組2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系6點(diǎn)P(m2,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A在圓外 B在圓內(nèi) C在圓上 D不確定解析：選A把點(diǎn)P(m2,5)代入圓的方程x2y224得m425>24，故點(diǎn)P在圓外7點(diǎn)(51，)在圓(x1)2y226的內(nèi)部，則a的取值范圍是_解析：由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a1.答案：0,1)8已知圓M的圓心坐標(biāo)為(3,4)，且A(1,1)，B(1,0)，C(2,3)三點(diǎn)一個(gè)在圓M內(nèi)，一個(gè)在圓M上，一個(gè)在圓M外，則圓M的方程為_解析：|MA|5，|MB|2，|MC|，|MB|MA|MC|，點(diǎn)B在圓M內(nèi)，點(diǎn)A在圓M上，點(diǎn)C在圓M外，圓的半徑r|MA|5，圓M的方程為(x3)2(y4)225.答案：(x3)2(y4)225題組3與圓有關(guān)的最值問題9設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A6B4C3 D2解析：選B由題意，知|PQ|的最小值即為圓心到直線x3的距離減去半徑長(zhǎng)，即|PQ|的最小值為624.10已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2y21上，則的最大值為_解析：的幾何意義是圓上的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(1,1)的距離，因此最大值為1.答案：1能力提升綜合練1與圓(x3)2(y2)24關(guān)于直線x1對(duì)稱的圓的方程為()A(x5)2(y2)24B(x3)2(y2)24C(x5)2(y2)24D(x3)2y24解析：選A已知圓的圓心(3，2)關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)為(5，2)，所求圓的方程為(x5)2(y2)24.2圓心為C(1,2)，且一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)落在兩坐標(biāo)軸上的圓的方程是()A(x1)2(y2)25 B(x1)2(y2)220C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)220解析：選C因?yàn)橹睆降膬蓚€(gè)端點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上，所以該圓一定過原點(diǎn)，所以半徑r，又圓心為C(1,2)，故圓的方程為(x1)2(y2)25，故選C.3方程y表示的曲線是()A一條射線 B一個(gè)圓C兩條射線 D半個(gè)圓解析：選Dy可化為x2y29(y0)，故表示的曲線為圓x2y29位于x軸及其上方的半個(gè)圓4當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a1)xya10恒過定點(diǎn)C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)25C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)25解析：選C直線方程變?yōu)?x1)axy10.由得C(1,2)，所求圓的方程為(x1)2(y2)25.5(2016合肥高一檢測(cè))圓心為直線xy20與直線2xy80的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：由可得x2，y4，即圓心為(2,4)，從而r2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)220.答案：(x2)2(y4)2206若圓心在x軸上，半徑為的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x2y0相切，則圓C的方程是_解析：如圖所示，設(shè)圓心C(a,0)，則圓心C到直線x2y0的距離為，解得a5，a5(舍去)，圓心是(5,0)故圓的方程是(x5)2y25.答案：(x5)2y257已知某圓圓心在x軸上，半徑長(zhǎng)為5，且截y軸所得線段長(zhǎng)為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：法一：如圖所示，由題設(shè)|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC| 3.設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(a,0)，則|OC|a|3，a3.所求圓的方程為(x3)2y225或(x3)2y225.法二：由題意設(shè)所求圓的方程為(xa)2y225.圓截y軸線段長(zhǎng)為8，圓過點(diǎn)A(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圓的方程為(x3)2y225或(x3)2y225.8(1)如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23，求的最大值和最小值；(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2(y1)2，求的取值范圍解：(1)法一：如圖，當(dāng)過原點(diǎn)的直線l與圓(x2)2y23相切于上方時(shí)最大，過圓心A(2,0)作切線l的垂線交于B，在RtABO中，OA2，AB.切線l的傾斜角為60，的最大值為.同理可得的最小值為.法二：令n，則ynx與(x2)2y23聯(lián)立，消去y得(1n2)x24x10，(4)24(1n2)0，即n23，n，即的最大值、最小值分別為、.(2)可以看成圓上的點(diǎn)P(x，y)到A(2,3)的距離圓心C(0,1)到A(2,3)的距離為d2.由圖可知，圓上的點(diǎn)P(x，y)到A(2,3)的距離的范圍是.即 的取值范圍是2，2.