第五部分?jǐn)?shù)列與極限35、等差數(shù)列中，通項(xiàng)，前項(xiàng)和（為公差，）.證明某數(shù)列是等差（比）數(shù)列，通常利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證：是常數(shù)(=常數(shù)，也可以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差（比）數(shù)列.即對(duì)于任意的自然數(shù)有：（）.舉例數(shù)列滿(mǎn)足：.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.分析：注意是到證明數(shù)列是等差數(shù)列，則要證明是常數(shù).而，所以.即數(shù)列是等差數(shù)列.又，則，所以.36、等差數(shù)列前n項(xiàng)和、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和（即連續(xù)相等項(xiàng)的和）仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列前n項(xiàng)和（和不為0）、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和仍成等比數(shù)列.類(lèi)比還可以得出：等比數(shù)列的前n項(xiàng)的積、次n項(xiàng)的積、再后n項(xiàng)的積仍成等比數(shù)列.舉例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，則；分析：注意到是等差數(shù)列的連續(xù)4項(xiàng)的和，它們成等差數(shù)列.可以得到，所以.舉例2已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的積，則.分析：由成等比，則，所以.37、在等差數(shù)列中，若，則；在等比數(shù)列中，若，則等差（等比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì).舉例數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為整數(shù)，則的值為.分析：由得或，又此數(shù)列的公比為整數(shù)，所以公比，則.38、等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)且公差，前n項(xiàng)和存在最大值.當(dāng)首項(xiàng)且公差，前n項(xiàng)和存在最小值.求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值可以利用不等式組來(lái)確定的值；也可以利用等差數(shù)列的前項(xiàng)的和是的二次函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0）轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.舉例1若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則（1）使前項(xiàng)和最大的自然數(shù)是；（2）使前項(xiàng)和的最大自然數(shù) ；分析：由條件可以看出，可知最大，則使最大的自然數(shù)為2006；由知，所以，則使的最大自然數(shù)為4012.舉例2在等差數(shù)列中，滿(mǎn)足且是數(shù)列前項(xiàng)的和.若取得最大值，則.分析：首項(xiàng)、公差（比）是解決等差（比）數(shù)列的最基本出發(fā)點(diǎn).等差（比）數(shù)列的運(yùn)算多可以通過(guò)首項(xiàng)與公差（比）來(lái)解決.由知，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.39、數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和是關(guān)于的分段函數(shù)，在求和過(guò)程中若公比不是具體數(shù)值時(shí)，則要進(jìn)行討論.舉例1數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，求的取值范圍.分析：注意到等比數(shù)列的公比是不為零的常數(shù)，前項(xiàng)和存在的前提條件是，且，知，則，有，則.舉例2數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，求的值.分析：涉及到等比數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題不能直接的應(yīng)用公式，要考慮到公比的取值情況.當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則=.40、等差數(shù)列、等比數(shù)列的“基本元”是首項(xiàng)、公差（比），當(dāng)覺(jué)得不知如何用性質(zhì)求解時(shí)，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“基本元”解決.學(xué)會(huì)用任意兩項(xiàng)關(guān)系：若是等差數(shù)列，則對(duì)于任意自然數(shù)有；若是等比數(shù)列，則對(duì)于任意的自然數(shù)，有.在這兩關(guān)系式中若取，這就是等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式.舉例1已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，且.若此數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在最值？若存在，為何值？若不存在，說(shuō)明理由.分析：對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，等差數(shù)列的基本性質(zhì)用不上，可以化歸為首項(xiàng)與公差來(lái)解決.設(shè)此數(shù)列的公差為，則，即，由知，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故有最大值而無(wú)最小值.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以最大.綜上知，當(dāng)時(shí)，最大，不存在最小值.舉例2已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，首項(xiàng)，且.若此數(shù)列的前項(xiàng)積為，問(wèn)是否存在最值？說(shuō)明理由.分析：與舉例1聯(lián)系起來(lái)，這是數(shù)列中的“類(lèi)比”問(wèn)題.其解決的思想方法是一樣的.對(duì)于單調(diào)正項(xiàng)數(shù)列，前項(xiàng)積最大（?。?，則應(yīng)滿(mǎn)足.設(shè)此數(shù)列公比為，則，則.由知：時(shí)，時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，最大，沒(méi)有最小值.特別注意等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列之間存在的類(lèi)比關(guān)系實(shí)際上是運(yùn)算上的變化，這種變化可以由等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)來(lái)揭示.我們知道：若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，記，則數(shù)列是等差數(shù)列.反之若數(shù)列是等差數(shù)列，記，則數(shù)列是等比數(shù)列.41、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意分段.當(dāng)滿(mǎn)足時(shí)，才能用一個(gè)公式表示.舉例已知數(shù)列的前項(xiàng)和.若是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式.分析：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或是等比數(shù)列，要從等差、等比數(shù)列的定義出發(fā).等差、等比數(shù)列的性質(zhì)不能作為證明的理由.由知，時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，而.若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以.則.42、形如：+的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用疊加（消項(xiàng)）法；形如：的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用連乘（約項(xiàng)）法.舉例數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：解決這種遞推數(shù)列的思想方法實(shí)質(zhì)上是等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式的思想方法.等差數(shù)列的基本遞推關(guān)系：，等比數(shù)列的遞推關(guān)系：.由題知：相加得：，又，所以，而滿(mǎn)足此式，則.43、一次線(xiàn)性遞推關(guān)系：數(shù)列滿(mǎn)足：是常數(shù)）是最重要的遞推關(guān)系式，可以看出當(dāng)時(shí)，此數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)（時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列.解決此遞推的方法是通過(guò)代換（令化成等比數(shù)列求解.舉例已知數(shù)列滿(mǎn)足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：由得：知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，所以，知.44、在解以數(shù)列為模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，要選擇好研究對(duì)象，即選擇好以“哪一個(gè)量”作為數(shù)列的“項(xiàng)”，并確定好以哪一時(shí)刻的量為第一項(xiàng)；對(duì)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題可直接尋找“項(xiàng)”與“項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題可先研究前后項(xiàng)之間的關(guān)系（即數(shù)列的遞推公式），然后再求通項(xiàng).舉例某企業(yè)去年底有資金積累萬(wàn)元，根據(jù)預(yù)測(cè)，從今年開(kāi)始以后每年的資金積累會(huì)在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)20%，但每年底要留出萬(wàn)元作為獎(jiǎng)勵(lì)金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使資金積累翻一番，求的最大值.分析：與年數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題在解答過(guò)程中要注意項(xiàng)數(shù)與年數(shù)之間的關(guān)系，在設(shè)數(shù)列時(shí)就要指明.特別注意年底、年初的不同.設(shè)從今年開(kāi)始每年底該企業(yè)的資金積累為萬(wàn)元，則（萬(wàn)元），則.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，.由題知，則，求得：.即的最大值大約為8%.45、常見(jiàn)的極限要記牢：，注意存在與是不相同的；，特別注意此式的結(jié)構(gòu)形式；若是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)，要會(huì)求.舉例1求下列各式的值：（1）；（2）.分析：對(duì)于指數(shù)型的分式型極限，一般是分子、分母同除以?xún)绲讛?shù)絕對(duì)值較大的冪，這樣可以求出極限.（1）當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式.（2）與相關(guān)的極限問(wèn)題要注意其結(jié)構(gòu)形式，注意到括號(hào)內(nèi)是號(hào)相連，且分子為1，冪的指數(shù)與括號(hào)內(nèi)的分母相同.當(dāng)形式不同時(shí)，要向此轉(zhuǎn)化.舉例2若，則；.分析：對(duì)于分子分母是關(guān)于的整式的分式型極限，若分子的最高的冪指數(shù)大于分母的最高的冪指數(shù)，則此式極限不存在；當(dāng)分子的最高的冪指數(shù)與分母的最高的冪指數(shù)相同時(shí)，極限是分子、分母的最高次冪的系數(shù)比；當(dāng)分子的最高的冪指數(shù)小于分母的最高的冪指數(shù)時(shí)，極限是零.注意到此式極限為1是存在的，由上分析知，所以.46、理解極限是“無(wú)限運(yùn)動(dòng)的歸宿”.舉例已知ABC的頂點(diǎn)分別是，記ABC的外接圓面積為，則.分析：本題若要先求出三角形ABC的面積后再求極限則是“漫長(zhǎng)”的工作，注意到當(dāng)時(shí)A、B、C點(diǎn)的變化，不難看出ABC被“壓扁”成一條長(zhǎng)為4的線(xiàn)段，而此線(xiàn)段就是此三角形外接圓的直徑.從而有.