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2019版九年級數(shù)學下冊 24.2 圓的基本性質 24.2.2 圓 的基本性質教案 （新版）滬科版 課 題 24.2.2　圓的基本性質 教 學 目 標 1．利用圓的軸對稱性，通過觀察使學生能歸納出垂徑定理的主要內容。 2．要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題。 3．運用垂徑定理及其推論進行有關的計算和證明． 4．經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程，進一步體會研究幾何圖形的各種方法． 5．培養(yǎng)學生獨立探索、相互合作交流的精神． 6．通過例題（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；并向學生滲透數(shù)學來源于實踐，又反過來服務于實踐的辯證唯物主義思想。 教 材 分析 重 點 圓的軸對稱性，及相關概念。 難 點 圓的相關概念的理解。 教 具 電腦、投影儀 教 學 過 程 （一）、復習提問： 1.你還記得我們學過圖形中軸對稱圖形有哪些嗎 ？分別有幾條對稱軸？ （等腰三角形，等邊三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形。） 2.圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？ 3.你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流． （可以利用折疊的方法，解決上述問題．把一個圓對折以后，圓的兩半部分重合，折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數(shù)條直線，這樣便可知圓有無數(shù)條對稱軸．） 教師板書：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線． （二）、探究新知 問題1：作⊙O的直徑CD，然后沿著CD對折⊙O，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象，說明了什么？ （說明圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是任意一條過圓心的直線.） 問題2：在⊙O上取一點A，作AB⊥CD，垂足為E，在圖中，你猜想一下會有那些等量關系。 （AE=BE， =，=．） 這些等量關系如果用語言來敘述的話，我們可以說成什么？ 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。 首先我們分析一下這個定理的題設和結論。 題設：垂直于弦的直徑。結論：平分弦和弦所對的弧。（學生完成）根據(jù)題設和結論，結合圖形，我們找出已知、求證，并進行證明。 已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E。求證：AE=BE，=，= 分析：我們知道等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是底邊垂線所在的直線，那么我們如何把等腰三角形和圓聯(lián)系起來呢？ 連結OA，OB后我們可以得到一個等腰三角形，CD所在的直線既是等腰三角形的對稱軸又是⊙O的對稱軸，那么當把圓沿直徑CD折疊時，會發(fā)現(xiàn)哪些部分重合 （連結OA，OB, 并且有OA=OB。兩個半圓重合Aaa ；A點 、B點重合；弧 AC、弧 BC重合；弧AD、弧BD重合） 既然AE，BE重合，我們就可以得到 AE=BE； 弧 AC、弧 BC重合，我們就可以得到=；弧AD、弧BD重合，我們就可以得到=。 同樣的方法可證明定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。 垂徑定理及其推論：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何兩個，那么也具有其他三個：（1） 直線過圓心 ；（2） 垂直于弦 ；（3） 平分弦 ；（4） 平分弦所對的優(yōu)弧 ；（5） 平分弦所對的劣弧.可簡記為：“知2推3” （三）、例題講解 例2 已知：如圖，在⊙O中，⊙O的半徑為5cm,弦AB的長為6cm。 求：圓心 O 到AB的距離。 思路分析：在利用垂徑定理及其推論解題時，通常作輔助線構造直角三角形利用勾股定理解題。 講完例1后，我們考慮一下：半徑、弦心距及弦長三者有何關系？ r2=d2+（）2 根據(jù)此公式，在l，r，d三個量中，知道任何兩個量就可以求出第三個量。 例3 1400 多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫拱形高）為7.2米，求橋拱的半徑（精確到0.1米） 說明：①對學生進行愛國主義的教育；②應用題的解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數(shù)學問題。根據(jù)題意作出幾何圖形AB表示橋拱，AB的圓心為O，半徑為R米。經過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與AB相交于點C，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高。 涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h 關系：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2 補充例題：已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離. （讓學生畫圖） 解：分兩種情況： （1）當弦AB、CD在圓心O的兩側 過點O作EF⊥AB于E，連結OA、OC， 又∵AB∥CD，∴EF⊥CD． （作輔助線是難點，學生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論） 由EF過圓心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3， 在Rt△OEA中，由勾股定理，得 ，∴ 同理可得：OF=3 ∴EF=OE+OF=4+3=7。 （2）當弦AB、CD在圓心O的同側 同（1）的方法可得：OE=4，OF=3。 ∴。 說明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結合——解決問題；②培養(yǎng)學生作輔助線的方法和能力。 （四）、鞏固練習 課本第17頁練習1、2、3、4. 做練習2可提示：在圓中，解決弦的有關問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只須從圓心作一條與弦垂直的線段。 （五）、課堂小結 1.圓是軸對稱圖形；2.垂徑定理及其推論 。如果我們把這5個條件的位置換一下，就是說 如果把2）、3）作為題設能得出1）、4）、5）； 如果把1）、3）作為題設能得出2）、4）、5） 如果把2）、4）作為題設能得出1）、3）、5）；如果把2）、5）作為題設能得出1）、3）、4） （六）作業(yè)布置 （必做題）1.習題24.2第3、4、5； 2．《基訓》同步； （選做題）1.已知：在以圓O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于F、G兩點，PQ是小圓的直徑，PC⊥AB于C, QD⊥AB于D。 求證：AC = BD 2.在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后．若油面寬AB=600mm， 求油的最大度。 分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決。 布置作業(yè) 《練習冊》習題 教后記 本節(jié)課內容較為簡單，學生掌握良好，課上反應熱烈。