第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.1作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)；2在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；3要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系試一試1.(2013蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))如圖，在OAC中，B為AC的中點(diǎn)，若xy(x，yR)，則xy_.解析：法一：(直接法)根據(jù)圖形有所以2()，所以2，而xy，所以故xy3.法二：(間接法)由B為AC的中點(diǎn)得2，所以2，而xy，所以故xy3.答案：32若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|_.解析：|2.答案：21向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則()2三點(diǎn)共線等價(jià)關(guān)系A(chǔ)，P，B三點(diǎn)共線 (0) (1t)t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，tR)xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，xR，yR，xy1)練一練1D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，若xy，則xy_.解析：，則x，y1xy.答案：2已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.解析：由題意知abk(b3a)，所以解得答案：考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念1.給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是_解析：不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號(hào)是.答案：.2設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是_解析：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.答案：3備課札記 類題通法平面向量中常用的幾個(gè)結(jié)論(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)不要把它與函數(shù)圖像的平移混為一談(3)是與a同向的單位向量，是與a反向的單位向量考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算典例(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)解析由題意()，所以1，2，即12.答案?jìng)湔n札記 若條件變?yōu)椋喝?，則_.解析：，2.又2，2().，即.答案：類題通法在向量線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解針對(duì)訓(xùn)練若A，B，C，D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：；.其中正確的有_個(gè)解析：式的等價(jià)式是，左邊，右邊，不一定相等；式的等價(jià)式是，成立；式的等價(jià)式是，成立答案：2考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用典例設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k210.k1.備課札記 類題通法1共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點(diǎn)共線的方法若，則A、B、C三點(diǎn)共線針對(duì)訓(xùn)練已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有，解之得t.故存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上課堂練通考點(diǎn)1給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的有_個(gè)解析：錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab0，此時(shí)，a與b可以是任意向量答案：32.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則_.解析：ab，又3，(ab)，b(ab)ab.答案：ab3(2013蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知點(diǎn)P在ABC 所在的平面內(nèi)，若2343，則PAB與PBC的面積的比值為_(kāi)解析：因?yàn)?343，所以23433，即540，所以PAB與PBC的面積的比為PAPC45.答案：4.(2014“江南十校”聯(lián)考)如圖，在ABC中，A60，A的平分線交BC于D，若AB4，且 (R)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)解析：因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以有1，解得，如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則，經(jīng)計(jì)算得ANAM3，AD3.答案：35在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab6設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216，|，則|_.解析：由|可知，則AM為RtABC斜邊BC上的中線，因此，|2.答案：2課下提升考能第組：全員必做題1設(shè)a、b是兩個(gè)非零向量，下列結(jié)論正確的有_(填寫序號(hào))若|ab|a|b|，則ab若ab，則|ab|a|b|若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得ba若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|解析：對(duì)于，可得cosa，b1，因此ab不成立；對(duì)于，滿足ab時(shí)|ab|a|b|不成立；對(duì)于，可得cosa，b1，因此成立，而顯然不一定成立答案：2(2013徐州期中)設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，則AOB與AOC的面積之比為_(kāi)解析：設(shè)M為邊AC的中點(diǎn)因?yàn)?，所以點(diǎn)O是ABC的中線BM的中點(diǎn)，從而所求面積之比為12.答案：123在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)解析：如圖，因?yàn)?，所以，mm，因?yàn)锽、P、N三點(diǎn)共線，所以m1，所以m.答案：4(2013南通期中)設(shè)D，P為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足()，則_.解析：設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)由()可知，點(diǎn)D在ABC的中線AE上，且ADAE，由，得，利用平面幾何知識(shí)知.答案：5(2014南通期末)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且3a4b5c0，則abc_.解析：在ABC中有0，又3a4b5c0，消去得(3a5c) (4b5c) 0，從而3a5c0,4b5c0，故abc201512.答案：2015126(2014淮陰模擬)已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m_.解析：由題目條件可知，M為ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于D，則，因?yàn)锳D為中線，則23，所以m3.答案：37(2014蘇北四市質(zhì)檢)已知a，b是非零向量，且a，b的夾角為，若向量p，則|p|_.解析：和分別表示與a，b同向的單位向量，所以長(zhǎng)度均為1.又二者的夾角為，故|p| .答案：8已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析：a，b，ab，故錯(cuò)；ab，故錯(cuò)；()(ab)ab，故正確；baabba0.正確命題為.答案：39.(2013蘇北四市三調(diào))如圖，在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若m，n，其中m，n(0,1)設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N.(1)若A，M，N三點(diǎn)共線，求證：mn；(2)若mn1，求|的最小值解：(1)證明：由A，M，N三點(diǎn)共線，得.設(shè) (R)，即()()，所以mn()因?yàn)榕c不共線，所以mn.(2)因?yàn)?)()(1m)(1n) ，又mn1，所以(1m) m，所以|2(1m)2m2(1m)m(1m)2m2(1m)m2，故當(dāng)m時(shí)，|min.10.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線第組：重點(diǎn)選做題1A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且a，b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R，用a、b表示，則_.解析：()()222(ba)答案：2(ba)2已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，滿足等式，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)解析：由得，.所以四邊形ABCD為平行四邊形答案：平行四邊形第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1若a、b為非零向量，當(dāng)ab時(shí)，a，b的夾角為0或180，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)；2要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x2y10.試一試1(2014南京、鹽城一模)若向量a(2,3)，b(x，6)，且ab，則實(shí)數(shù)x_.解析：由ab得2(6)3x，解得x4.答案：42已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值是_解析：u(12x,4)，v(2x,3)，uv，84x36x，x.答案：用基向量表示所求向量時(shí)，注意方程思想的運(yùn)用練一練設(shè)e1、e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.解析：由題意，設(shè)e1e2manb.因?yàn)閍e12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.(2014蘇中三市、宿遷調(diào)研(一)在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量(2,1)，(3,5)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)解析：(1,4)答案：(1,4)2(2013北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_.解析：設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根據(jù)平面向量基本定理得2，所以4.答案：43已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得備課札記 類題通法1向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，從而可使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算2兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相同此時(shí)注意方程(組)思想的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用典例如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)設(shè)a，b，試用a，b為基底表示向量，.解析 babba，bba，bab.備課札記 類題通法用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理針對(duì)訓(xùn)練(2014濟(jì)南調(diào)研)如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)解析：因?yàn)閗k()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案：考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示典例平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0.k.備課札記 在本例條件下，若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得得或d(3，1)或(5,3)類題通法1向量共線的兩種表示形式設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用.2兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值針對(duì)訓(xùn)練已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)課堂練通考點(diǎn)1(2013南京二模)若平面向量a，b滿足|ab|1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b_.解析：設(shè)b(x，y)，則ab(2x，y1)，由條件知2x0，|y1|1，解得x2，y0或x2，y2，故b(2,0)或(2,2)答案：(2,2)或(2,0)2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于_解析：由題意得manb(2mn,3m2n)a2b(4，1)，由于(manb)(a2b)，可得(2mn)4(3m2n)0，可得.答案：3(2014蘇北四市質(zhì)檢)已知向量a(sin ，cos )，b(3，4)，若ab，則tan 2_.解析：由題意，得4sin 3cos 0，所以tan ，所以tan 2.答案：4已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論：直線OC與直線BA平行；2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_解析：由題意得kOC，kBA，OCBA，正確；，錯(cuò)誤；(0,2)，正確；2(4,0)，(4,0)，正確答案：35已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC135，設(shè)(R)，則的值為_(kāi)解析：由AOC135知，點(diǎn)C在射線yx(x<0)上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，a)，a<0，則有(a，a)(1，)，得a1，a，消掉a得.答案：6在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為_(kāi)解析：M為邊BC上任意一點(diǎn)，可設(shè)xy(xy1)N為AM中點(diǎn)，xy.(xy).答案：課下提升考能第組：全員必做題1(2013遼寧高考改編)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為_(kāi)解析：(3，4)，則與其同方向的單位向量e(3，4).答案：2已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是_解析：2，()，AC，又rs，r，s，rs0.答案：03已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，則x的值為_(kāi)解析：a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，顯然2ab0，故有(16x，x1)，R，x4(x>0)答案：44.若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐標(biāo)為(2,2)，則a在另一組基底m(1,1)，n(1,2)下的坐標(biāo)為_(kāi)解析：a在基底p，q下的坐標(biāo)為(2,2)，即a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，即a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)答案：(0,2)5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是_(填寫序號(hào))解析：由向量減法的三角形法則知，排除；由向量加法的平行四邊形法則知，排除、.答案：6在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)7Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個(gè)向量集合，則PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)則得此時(shí)ab(13，23)答案：8已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k19已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？解：(1)因?yàn)閍(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時(shí)kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時(shí)向量a3b與kab方向相反10已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t2<0且t12t20.(2)證明：當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，A，B，M三點(diǎn)共線第組：重點(diǎn)選做題1.(2013南通二模)如圖，正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)設(shè)(，R)，則的取值范圍是_解析：法一：分別延長(zhǎng)DC，AB交于點(diǎn)G，則 CGAF，且CGAF，從而2，同理可得2，22，因?yàn)辄c(diǎn)P在CDE內(nèi)部(包括邊界)，所以3,4法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(2,2)，E(0,2)，F(xiàn)(1，)，從而點(diǎn)P位于區(qū)域中又(2，)，代入可行域得于是3,4答案：3,42.(2014蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則的最小值為_(kāi)解析：以A為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則(1,1)，.設(shè)(cos ，sin )，.由得所以，故sin 131.設(shè)f()，則f().因?yàn)閒()0恒成立，故f()在上單調(diào)增所以當(dāng)0時(shí)，f()minf(0)，所以()min.答案：第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例1平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab|a|b|cos ，規(guī)定0a0.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c，若滿足abac(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量2數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等試一試1(2014蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為120，若向量ae12e2，b4e1，則ab_.解析：ab(e12e2)4e14e8e1e248110.答案：02(2013鎮(zhèn)江期末)在菱形ABCD中，AB2，B，3，3，則_.解析：如圖，依題意向量，所成角為，|2，EF，()|2|212.答案：121明確兩個(gè)結(jié)論：(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有ab>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有ab<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為時(shí)不成立)2利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧練一練1已知向量a，b均為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則a，b的夾角為_(kāi)解析：(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cosa，b0，可得cosa，b，又因?yàn)?a，b，所以a，b.答案：2(2013南通三模)已知向量a與b的夾角為60，且|a|1，|b|2，那么(ab)2的值為_(kāi)解析：(ab)214212cos 607.答案：7考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算1.(2014南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，則ab_.解析：法一：由a5，得a2ab5，即5ab5，所以ab0.法二：由a(1,2)，ab(3,1)，得b(4,2)，所以ab0答案：02已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.則的值為_(kāi)解析：由已知得，向量a(x1，y1)與b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.答案：3.(2012江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是_解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則(，0)，(，1)，(0,2)設(shè)(x,2)，x0，則x，解得x1.所以F(1,2)，(1，2)，于是.答案：4在ABC中，若A120，1，則|BC|的最小值是_解析：1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.答案：備課札記 類題通法向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解.考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(2014南京一模)已知平面向量a，b滿足|a|1，|b|2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條的長(zhǎng)度為_(kāi)解析：設(shè)a，b，如圖所示，|214212cos3，所以BD.答案：角度二平面向量的夾角2(1)(2013鹽城二模)已知向量a的模為2，向量e為單位向量，e(ae)，則向量a與e的夾角大小為_(kāi)解析：由條件得e(ae)0，從而ea1.所以cosa，e，故a，e.答案：(2)(2014蘇北四市一調(diào))設(shè)a，b，c是單位向量，且abc，則向量a，b的夾角等于_解析：a，b，c是單位向量，模都為1，由abc得abc，所以(ab)2c2，即a2b22abc2，得ab，所以|a|b|cos ，即cos ，故.答案：角度三平面向量的垂直3(1)(2013鹽城二模)已知向量a(3,2)，b(1,0)，且向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析：由條件知|a|，|b|1，ab3，又ab與a2b垂直，所以(ab)(a2b)0，即a22b2(12)ab0，于是132(12)30，解得.答案：(2)在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，則k的值為_(kāi)解析：當(dāng)A90時(shí)，0.213k0，解得k.當(dāng)B90時(shí)，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.當(dāng)C90時(shí)，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.備課札記 類題通法1求兩非零向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角就是鈍角2利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，則|a|.考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合典例(2013江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值解(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0<<，得0<<.又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而>，所以，.備課札記 類題通法平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等針對(duì)訓(xùn)練已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0<<，求的值解：(1)因?yàn)閍b，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|，知sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0<<，知<2<，所以2或2.因此或.課堂練通考點(diǎn)1(2011江蘇高考)已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2.若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)解析：由題得|e1|e2|1，e1e2|e1|e2|cos，所以ab(e12e2)(ke1e2)k|e1|2(12k)e1e22|e2|2k20，解得k.答案：2在ABC中，若2，則邊AB的長(zhǎng)等于_解析：由題意得()|24，所以AB2.答案：23已知向量a(2,2)，b(5，k)若|ab|不超過(guò)5，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：因?yàn)閍(2,2)，b(5，k)，所以ab(3，k2)，所以|ab|5，解得6k2答案：6,24(2013淮安二模)在ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，BDAC，D為垂足，則BC的值為_(kāi)解析：()|cosABD|2.在ABC中，由余弦定理得AC，又SABCABBCsinABC23sin 60，所以ACBD，所以BD，所以|2.答案：5若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(kāi)解析：由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.答案：6在ABC中，AB10，AC6，O為BC的垂直平分線上一點(diǎn)，則_.解析：取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則()()()(22)(62102)32.答案：32課下提升考能第組：全員必做題1(2013鹽城二模)若e1，e2是兩個(gè)單位向量，ae12e2，b5e14e2，且ab，則e1，e2的夾角為_(kāi)解析：因?yàn)閍b，所以ab0，從而56e1e280，所以e1e2