三角形一、選擇題1.在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（ ） A.5B.6C.7D.8【答案】A 【解析】 ：在直角三角形中，勾為3，股為4，弦為 故答案為：A【分析】根據(jù)在直角三角形中，勾是最短的直角邊，股是長(zhǎng)的直角邊，弦是斜邊，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。2.在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范圍是（ ） A.8<BC<10 B.2<BC<18 C.1<BC<8 D.1<BC<9【答案】D 【解析】 ：如圖ABCD，AC=8，BD=10，OB=BD=5，OC=AC=45-4BC5+4，即1BC9故答案為：D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OB、OC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，建立不等式組，求解即可。3.如圖所示,A=50,B=20,D=30,則BCD的度數(shù)為（ ）A.80B.100C.120D.140【答案】B 【解析】 如圖，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，BCD=D+DEC，DEC=A+B，BCD=A+B+D，A=50，B=20，D=30，BCD=50+20+30=100，故答案為：B.【分析】延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得BCD=D+DEC，DEC=A+B，所以BCD=A+B+D，由已知可得BCD=50+20+30=100。4.如圖，BEAF，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且DCBE于點(diǎn)C，若A=35，則ADC的度數(shù)（ ）A.105B.115C.125D.135【答案】C 【解析】 ：BEAF，B=A=35DCBE，DCB=90，ADC=90+35=125故答案為：C【分析】由平行線的性質(zhì)可得B=A=35，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得ADC=90+35=125。5.如圖，在Rt ABC中，ACB=900，BC=2將 ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 ，使點(diǎn)B落在AC邊上設(shè)M是 的中點(diǎn)，連接BM，CM， BCM的面積為（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】 ：過(guò)點(diǎn)M作MDAB于點(diǎn)DMDA=90M是 BC 的中點(diǎn)AM=AB ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到A B C BC=BC=2，ACB=ACB=90=MDAMDACMD=1SBCM=BCMD=21=1故答案為;A【分析】過(guò)點(diǎn)M作MDA B于點(diǎn)D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證得BC=B C=2，ACB=A CB =90=MDA ，再根據(jù)平行線分線段成比例及線段中點(diǎn)的定義，可得線段成比例，求出MD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式，求解即可。6.如圖， ABC中，正方形DEFG的頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上若ADG、BED、CFG的面積分別是1、3、1，則正方形的邊長(zhǎng)為（ ）A.B.C.2D.2 【答案】C 【解析】 ：過(guò)A作AMBC于M，交DG于N，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)是a，AN=b，四邊形DEFG是正方形，DG=GF=EF=DE=MN=a，DGBC，SADG=1，SBDE=3，SFCG=1，SADG=ab=1，即a=SBDE=BEa=3，SFCG=CFa=1，BE=3b，CF=b，BC=3b+a+b=4b+a，AM=a+bBCAM=（4b+a）（a+b）=4b2+5ab+a2SADG+SBED+SCFG=1+3+1=5ab=2，S正方形DEFG=SABC(SADG+SBDE+SCFG)=a2BCAM-5=a2（4b2+5ab+a2）-5=a2ab=2（4b2+10+a2）-5=a2a=2b（取正），2b2=2解之：b=1（取正）a=21=2即正方形的邊長(zhǎng)是2，【分析】過(guò)A作AMBC于M，交DG于N，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)是a，AN=b，根據(jù)已知及三角形的面積公式，可得出ab=2，用含b的代數(shù)式分別表示出BE、CF、AM、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)S正方形DEFG=SABC(SADG+SBDE+SCFG)=a2 ， 得出a=2b，結(jié)合ab=2，求出a、b的值即可求解。7.如圖，點(diǎn)P為O外一點(diǎn),PA為0的切線,A為切點(diǎn),PO交0于點(diǎn)B，P=30,OB=3,則線段BP的長(zhǎng)為（ ）.A.3B.C.6D.9【答案】A 【解析】 ：連接OAPA為0的切線OAAPOAP=90P=30OP=OB+BP=2OA=2OB=6BP=3故答案為：A【分析】已知圓的切線。因此連半徑OA，可證得OAP是直角三角形，利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，就可求出BP的長(zhǎng)。8.如圖，等腰ABC中，AB=AC，B=40，AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，連接AE，則BAE的度數(shù)是（ ）A.45B.50C.55D.60【答案】D 【解析】 AB=AC，B=40，B=C=40，BAC=180BC=100，又AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AE=CE，CAE=C=40，BAE=BACCAE=60故答案為：D【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得B=C=40，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得BAC=180BC=100，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE，所以由等腰三角形的性質(zhì)可得CAE=C=40，所以BAE=BACCAE=609.在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AEBD于E，OFAD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，則BD的長(zhǎng)是（ ）cm A.6B.8C.10D.12【答案】D 【解析】 ABCD是矩形，BO=OD=OABE：ED=1：3，BE=EO又AEBD，OB=OA=ABABD=60FDO=30OFAD，OF=3，OD=6BD=2OD=12故答案為：D【分析】先證得三角形ABO為等邊三角形，從而解得BAO=60，即ODA=OAD=30，進(jìn)而解直角三角形OFD求得OD=6，即可求得BD=12.10.如圖，點(diǎn)D在ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上，DEBC，若A35,C24,則D的度數(shù)是（ ）。A.24B.59C.60D.69【答案】B 【解析】 ：A=35，C=24，DBC=A+C=35+24=59，又DEBC，D=DBC=59.故答案為：B.【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得DBC=A+C，再由平行線性質(zhì)得D=DBC.11.如圖，等邊三角形 邊長(zhǎng)是定值，點(diǎn) 是它的外心，過(guò)點(diǎn) 任意作一條直線分別交 ， 于點(diǎn) ， ，將 沿直線 折疊，得到 ，若 ， 分別交 于點(diǎn) ， ，連接 ， ，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）A.B.的周長(zhǎng)是一個(gè)定值C.四邊形 的面積是一個(gè)定值D.四邊形 的面積是一個(gè)定值【答案】D 【解析】 ：A、連結(jié)OA、OC，點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心，AO平分BAC，點(diǎn)O到AB、AC的距離相等，由折疊得：DO平分BDB，點(diǎn)O到AB、DB的距離相等，點(diǎn)O到DB、AC的距離相等，F(xiàn)O平分DFG，DFO=OFG=（FAD+ADF），由折疊得：BDE=ODF=（DAF+AFD），OFD+ODF=（FAD+ADF+DAF+AFD）=120，DOF=60，同理可得EOG=60，F(xiàn)OG=60=DOF=EOG,DOFGOFGOEOD=OG,OE=OF,OGF=ODF=ODB,OFG=OEG=OEB，OADOCG,OAFOCE,AD=CG,AF=CE,ADFCGE.故A不符合題意；B、DOFGOFGOE,DF=GF=GE,ADFBGFCGE,BG=AD,BFG的周長(zhǎng)-FG+BF+BG=FG+AF+CG=AC（定值），故B不符合題意；C、S四邊形FOEC=SOCF+SOCE=SOCF+SOAF=SAOC=SABC（定值），故C不符合題意；D、S四邊形OGBF=SOFG+SBGF=SOFD+SADF=S四邊形OFAD=SOAD+SOAF=SOCG+SOAF=SOAC-SOFG,過(guò)點(diǎn)O作OHAC于H，SOFG=,由于OH是定值，F(xiàn)G變化，故OFG的面積變化，從而四邊形OGBF的面積也變化。故D符合題意。故答案為：D【分析】A、根據(jù)等邊三角形ABC的外心的性質(zhì)可知，AO平分BAC，根據(jù)角平分線的定理和逆定理得：FO平分DFG，由外角的性質(zhì)可證明DOF=60，同理可得EOG=60，F(xiàn)OG=60=DOF=EOG，可證明DOFGOFGOE，OADOCG,OAFOCE,可得AD=CG,AF=CE,從而得ADFCGE；B、根據(jù)DOFGOFGOE，得DF=GF=GE,所以ADFBGFCGE,可得結(jié)論；C、根據(jù)S四邊形FOEC=SOCF+SOCE ， 依次換成面積相等的三角形，可得結(jié)論為：SAOC=SABC（定值），據(jù)此判斷；D、方法同C，將S四邊形OGBF=SOAC-SOFG,根據(jù)SOFG=FGOH,FG變化，故OFG的面積變化，從而四邊形OGBF的面積也變化，據(jù)此判斷；12.如圖，在 中， ， .以點(diǎn) 為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，再分別以點(diǎn) ， 為圓心，大于 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn) ，射線 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，則 的長(zhǎng)是（ ）A.B.1C.D.【答案】B 【解析】 ：由射線CN的尺規(guī)作圖的方法可知CN是BCD的平分線，則BCN=DCN在ABCD中，ABCD，E=DCN=BCN，BE=BC=3，AE=BE-AB=3-2=1.故答案為：B.【分析】首先由尺規(guī)作圖的步驟可知這是作BCD的角平分線CN；由平行四邊形的性質(zhì)可得ABCD，則E=DCN=BCN，由“等角對(duì)等邊”可知BCE是等腰三角形即可求得AE的長(zhǎng)度二、填空題 13.若一個(gè)等腰三角形的頂角等于50，則它的底角等于_ 【答案】65 【解析】 ：等腰三角形的頂角等于50，它的底角為：（180-50）2=65.故答案為：65.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出答案.14.在ABC中, AB=AC,BAC=100,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,若ABD為直角三角形,則ADC的度數(shù)為_(kāi). 【答案】90或130 【解析】 ：AB=AC，BAC=100C=B=（180-100）2=40如圖1，當(dāng)RtABD的CAD=90時(shí)ADB=C+CAD=40+90=130；如圖2，RtABD中ADB=90故答案為：90或130【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理，可求出C的度數(shù)，再分情況討論：當(dāng)RtABD的CAD=90時(shí)，利用三角形外角的性質(zhì)可求出ADB的度數(shù)；RtABD中ADB=90；即可求解。15.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊 中， ， 分別為 ， 的中點(diǎn)， 于點(diǎn) ， 為 的中點(diǎn)，連接 ，則 的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】 連接DE，D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，DEAC，DE= ACABC是等邊三角形，且BC=4DEB=60,DE=2EFAC，C=60,EC=2FEC=30，EF= DEG=180-60-30=90G是EF的中點(diǎn)，EG= .在RtDEG中，DG= 故答案為： .【分析】連接DE，根據(jù)三角形的中位線定理得出DEAC，DE=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由ABC是等邊三角形得出DEB=60,DE=2，根據(jù)含30直角三角形的邊之間的關(guān)系，及中點(diǎn)定義得出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷出DEG是直角三角形，根據(jù)勾股定理得出DG的長(zhǎng)。16.如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD4，DE1，BAE45，則AB長(zhǎng)為 _【答案】【解析】 ：連接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于NBAE=45，BMA=90，MAB=MBA=45，AM=BM，四邊形ABCD是菱形，ACBD，AOE=90，設(shè)AM=BM=b，ME=a，E=E，AOE=BME=90，AOEBME， = ， = ，a2+ab=15 又a2+b2=25 53得到：2a2+5ab3b2=0，（a+3b）（2ab）=0，b=2a代入得到a= ，b=2 ，AB= AM=2 故答案為2 【分析】連接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于N根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷出MAB=MBA=45，根據(jù)等邊對(duì)等角得出AM=BM，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACBD，AOE=90，設(shè)AM=BM=b，ME=a，然后判斷出AOEBME，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 O E E M = A E B E，從而得出關(guān)于a,b的方程，a2+ab=15 ，根據(jù)勾股定理得出a2+b2=25 ，53得到：2a2+5ab3b2=0，求解得出，a,b的值，根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系由AB=AM得出答案。17.如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AB=8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)?！敬鸢浮? 【解析】 ：點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)DE是ABC的中位線DE=AB=8=4故答案為：4【分析】根據(jù)已知可得出DE是ABC的中位線，再根據(jù)中位線定理，可求出DE的長(zhǎng)。18.如圖，RtABC中，B90，AB3cm，AC5cm，將ABC折疊，使點(diǎn)C與A重合，得折痕DE，則ABE的周長(zhǎng)等于_cm.【答案】7 【解析】 ：依題可得：AE=CE,在RtABC中，AB3cm，AC5cm，BC=4,CABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7，故答案為：7.【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AE=CE,在RtABC中，根據(jù)勾股定理可求得BC長(zhǎng)，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)即可求得答案.19.如圖，在正方形 中， ，點(diǎn) ， 分別在 ， 上， ， ， 相交于點(diǎn) .若圖中陰影部分的面積與正方形 的面積之比為 ，則 的周長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】 ：陰影部分的面積與正方形 的面積之比為 ，空白部分的面積= 在BCE和CDF中，BCECDF（SAS）， ，BEC=CFD， ，即 ， ，BEC=CFD，CFD+DCF=90，BEC+DCF=90，則BGC=90，在RtBCG中，設(shè)BG=x，CG=y，則 可得 ， ，BCG的周長(zhǎng)為BC+BG+CG= 故答案為： .【分析】陰影部分的面積與正方形 的面積之比可求得空白部分的面積，由CE=DF，不難證得BCECDF，則可得 ，求得 ；由BCECDF，全等三角形的性質(zhì)可證明BGC=90；問(wèn)題是求BCE的周長(zhǎng)，BC已知，所以只需要求出BG+CG的即可，由三角形面積公式及勾股定理，根據(jù)代數(shù)式的運(yùn)算求出BG+CG值即可20.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分別為AD、CD的中點(diǎn)，沿BE將ABE折疊，若點(diǎn)A恰好落在BH上的F處，則AD_【答案】【解析】 ：連接EH點(diǎn)E、點(diǎn)H是AD、DC的中點(diǎn)，AE=ED，CH=DH= CD= AB=3，由折疊的性質(zhì)可得AE=FE，F(xiàn)E=DE在RtEFH和RtEDH中， ，RtEFHRtEDH（HL），F(xiàn)H=DH=3，BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9在RtBCH中，BC= = = ，AD=BC= 故答案為： 【分析】連接EH根據(jù)三角形的中位線定理可得，AE=ED，CH=DH=CD=AB=3，由折疊的性質(zhì)可得AE=FE，所以FE=DE用斜邊直角邊定理可證得RtEFHRtEDH，所以FH=DH=3，由線段的構(gòu)成可得BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9，在RtBCH中，由勾股定理可求得BC=6=AD.三、解答題 21.如圖， ， ， 、 相交于點(diǎn) .求證： .【答案】解：A=D=90在RtABC和RtDCB中BC=CB AC=DBRtABCRtDCB（HL）ACB=DBCOB=OC 【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的全等判定定理，可證得RtABCRtDCB，得出ACB=DBC，再根據(jù)等角對(duì)等邊，可證得結(jié)論。22.如圖，點(diǎn)D，C在BF上，ABEF，A=E，BD=CF求證：AB=EF【答案】證明：ABEF，B=F又BD=CF，BC=FD在ABC與EFD中 ，ABCEFD（AAS），AB=EF 【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得B=F用角角邊可證得ABCEFD，所以AB=EF。23.如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC90，DAE90，B，C，D在同一條直線上求證：BDCE.【答案】證明：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ADAE，ABAC又EAC90CAD，DAB90CAD，DABEAC.在ADB和AEC中，ADBAEC(SAS)，BDCE. 【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得ADAE，ABAC，再證明DABEAC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，證明ADBAEC，從而可證得結(jié)論。24.已知：如圖，ABAE，12，BE.求證：BCED.【答案】證明：12，1BAD2BAD，即：EADBAC.在EAD和BAC中，ABCAED(ASA)，BCED 【解析】【分析】根據(jù)12，證得EADBAC，再利用全等三角形的判定證明ABCAED，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。25.已知，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)D在線段BC上，且PDE是等邊三角形（1）初步嘗試：若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），BD+BE=_ （2）類比探究：將點(diǎn)P沿AB方向移動(dòng)，使AP=1，其余條件不變（如圖2），試計(jì)算BD+BE的值是多少？ （3）拓展遷移：如圖3，在ABC中，AB=AC，BAC=70，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，在PDE中，PD=PE，DPE=70，設(shè)BP=a，請(qǐng)直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示） 【答案】（1）5（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PFAC交BC于F，F(xiàn)PB是等邊三角形，BF=PF=PB=ABAP=4，BPF=60，PDE是等邊三角形，PD=PE，DPE=60，BPE=FPD，PBEPFD，BE=DF，BD+BE=BD+DF=BF=4；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PFAC交BC于F，BPF=BAC=70，PFB=C，AB=AC，BAC=70，ABC=C=55，PFB=C=PBF=55，PF=PB=a，BPF=DPE=70，DPF=EPB，PD=PE，PBEPFD，BE=DF，過(guò)點(diǎn)P作PGBC于G，BF=2BG，在RtBPG中，PBD=55，BG=BPcosPBD=acos55，BF=2BG=2acos55，BDBE=BDDF=BF=2acos55 【解析】 ：（1）ABC和PDE是等邊三角形，PE=PD，AB=AC，DPE=CAB=60，BPE=CAD，PBEACD，BE=CD，BD+BE=BD+CD=BC=5，故答案為5；【分析】（1）由已知條件用邊角邊易證得PBEACD，所以可得BE=CD，所以BE+BD=BD+CD=BC ;（2）由（1）的方法可作輔助線，過(guò)點(diǎn)P作PFAC交BC于F，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1）的形式，同理可證PBEPFD，則BE=DF，所以BE+BD=BD+FD=BF;由題意得BF=BC-1=4，問(wèn)題得解；（3）由（1）和（2）的思路可作輔助線，過(guò)點(diǎn)P作PFAC交BC于F，過(guò)點(diǎn)P作PGBC于G，根據(jù)已知條件易證得PBEPFD，BE=DF，則BF=2BG，在RtBPG中，解直角三角形即可用含a的代數(shù)式表示BG，則BF=2BG也可用含a的代數(shù)式表示，所以BDBE=BDDF=BF可得結(jié)論。