1.1.2 集合間的基本關(guān)系教學(xué)目標(biāo)三維目標(biāo)1理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力2在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力，樹立數(shù)形結(jié)合的思想教學(xué)重點(diǎn)：理解集合間包含與相等的含義教學(xué)難點(diǎn)：理解空集的含義授課過程導(dǎo)入新課思路1.實(shí)數(shù)有相等、大小關(guān)系，如55,57,53等等，類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會(huì)想到集合之間有什么關(guān)系呢？(讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生)欲知誰正確，讓我們一起來觀察、研探思路2.復(fù)習(xí)元素與集合的關(guān)系屬于與不屬于的關(guān)系，填空：(1)0_N；(2)_Q；(3)1.5_R.類比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，如57,22，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？(答案：(1)；(2)；(3)(1)觀察下面幾個(gè)例子：A1，2，3，B1，2，3，4，5；設(shè)A為國(guó)興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合；設(shè)Cx|x是兩條邊相等的三角形，Dx|x是等腰三角形；E2,4,6，F(xiàn)6,4,2你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系嗎？(2)例子中集合A是集合B的子集，例子中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū)別？(3)結(jié)合例子，類比實(shí)數(shù)中的結(jié)論：“若ab，且ba，則ab”，在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？(4)升國(guó)旗時(shí)，每個(gè)班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學(xué)是哪個(gè)班的，一目了然試想一下，根據(jù)從樓頂向下看到的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能用什么表示？(5)試用Venn圖表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB，試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系(7)任何方程的解都能組成集合，那么x210的實(shí)數(shù)根也能組成集合，你能用Venn圖表示這個(gè)集合嗎？(8)一座房子內(nèi)沒有任何東西，我們稱為這座房子是空房子，那么一個(gè)集合沒有任何元素，應(yīng)該如何命名呢？(9)與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若ab，且bc，則ac”相類比，在集合中，你能得出什么結(jié)論？活動(dòng)：教師從以下方面引導(dǎo)學(xué)生：(1)觀察兩個(gè)集合間元素的特點(diǎn)(2)從它們含有的元素間的關(guān)系來考慮規(guī)定：如果AB，但存在xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)(3)實(shí)數(shù)中的“”類比集合中的.(4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學(xué)生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi)教師指出：為了直觀地表示集合間的關(guān)系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖(5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒有限制(6)分類討論：當(dāng)AB時(shí)，AB或AB.(7)方程x210沒有實(shí)數(shù)解(8)空集記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A)(9)類比子集討論結(jié)果：(1)集合A中的元素都在集合B中；集合A中的元素都在集合B中；集合C中的元素都在集合D中；集合E中的元素都在集合F中(2)例子中AB，但有一個(gè)元素4B，且4A；而例子中集合E和集合F中的元素完全相同(3)若AB，且BA，則AB.(4)可以把集合中元素寫在一個(gè)封閉曲線的內(nèi)部來表示集合(5)如圖1所示表示集合A，如圖2所示表示集合B.圖1圖2(6)如圖3和圖4所示圖3圖4(7)不能因?yàn)榉匠蘹210沒有實(shí)數(shù)解(8)空集(9)若AB，BC，則AC；若AB，BC，則AC.思路1例1 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長(zhǎng)度上都合格時(shí)，該產(chǎn)品才合格若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品的集合已知集合A，B，C均不是空集(1)則下列包含關(guān)系哪些成立？AB，BA，AC，CA.(2)試用Venn圖表示集合A，B，C間的關(guān)系活動(dòng)：學(xué)生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，則AB成立，否則AB不成立用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立教師提示學(xué)生注意以下兩點(diǎn)：(1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格；長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長(zhǎng)度合格(2)根據(jù)集合A，B，C間的關(guān)系來畫出Venn圖解：(1)包含關(guān)系成立的有：AB，AC.(2)集合A，B，C間的關(guān)系用Venn圖表示，如圖5所示圖5變式訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)3.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合間的包含關(guān)系其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么判斷兩個(gè)集合A，B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之間的關(guān)系，得：集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有AB；當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素也都屬于集合A時(shí)，有AB；當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B，并且集合B中至少有一個(gè)元素也不屬于集合A時(shí)，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.例2 寫出集合a，b的所有子集，并指出哪些是它的真子集活動(dòng)：學(xué)生思考子集和真子集的定義，教師提示學(xué)生空集是任何集合的子集，一個(gè)集合不是其本身的真子集按集合a，b的子集所含元素的個(gè)數(shù)分類討論解：集合a，b的所有子集為，a，b，a，b真子集為，a，b.變式訓(xùn)練已知集合P1,2，那么滿足QP的集合Q的個(gè)數(shù)是()A4B3C2D1解析：集合P1,2含有2個(gè)元素，其子集有224個(gè)，又集合QP，所以集合Q有4個(gè)答案：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類討論的思想通常按子集中所含元素的個(gè)數(shù)來寫出一個(gè)集合的所有子集，這樣可以避免重復(fù)和遺漏思考：集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有多少個(gè)子集？多少個(gè)真子集？解：當(dāng)n0時(shí)，即空集的子集為，即子集的個(gè)數(shù)是120；當(dāng)n1時(shí)，即含有一個(gè)元素的集合如a的子集為，a，即子集的個(gè)數(shù)是221；當(dāng)n2時(shí)，即含有兩個(gè)元素的集合如a，b的子集為，a，b，a，b，即子集的個(gè)數(shù)是422.集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有2n個(gè)子集，由于一個(gè)集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n1)個(gè)真子集.思路2例1 已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2若BA，則實(shí)數(shù)m_.活動(dòng)：先讓學(xué)生思考BA的含義，根據(jù)BA，知集合B中的元素都屬于集合A，由集合元素的互異性，列出方程求實(shí)數(shù)m的值因?yàn)锽A，所以3A，m2A.對(duì)m2的值分類討論解析：BA，3A，m2A.m21(舍去)或m22m1.解得m1.m1.答案：1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性本題容易出現(xiàn)m23，其原因是忽視了集合元素的互異性避免此類錯(cuò)誤的方法是解得m的值后，再代入驗(yàn)證討論兩集合之間的關(guān)系時(shí)，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個(gè)集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式.變式訓(xùn)練已知集合Mx|2x0，集合Nx|ax1，若NM，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：集合N是關(guān)于x的方程ax1的解集，集合Mx|x2，由于NM，則N或N，要對(duì)集合N是否為空集分類討論解：由題意得Mx|x2，則N或N.當(dāng)N時(shí)，關(guān)于x的方程ax1無解，則有a0；當(dāng)N時(shí)，關(guān)于x的方程ax1有解，則a0，此時(shí)x，又NM，M.2.0a.綜上所得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a0或0a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.例2 (1)分別寫出下列集合的子集及其個(gè)數(shù)：，a，a，b，a，b，c(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有多少個(gè)子集？活動(dòng)：學(xué)生思考子集的含義，并試著寫出子集(1)按子集中所含元素的個(gè)數(shù)分類寫出子集；(2)由(1)總結(jié)當(dāng)n0，n1，n2，n3時(shí)子集的個(gè)數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論解：(1)的子集有：，即有1個(gè)子集；a的子集有：，a，即a有2個(gè)子集；a，b的子集有：，a，b，a，b，即a，b有4個(gè)子集；a，b，c的子集有：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，即a，b，c有8個(gè)子集(2)由(1)可得：當(dāng)n0時(shí)，集合M有120個(gè)子集；當(dāng)n1時(shí)，集合M有221個(gè)子集；當(dāng)n2時(shí)，集合M有422個(gè)子集；當(dāng)n3時(shí)，集合M有823個(gè)子集；因此含有n個(gè)元素的集合M有2n個(gè)子集.變式訓(xùn)練已知集合A2,3,7，且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A有()A3個(gè)B4個(gè)C5個(gè)D6個(gè)解析：對(duì)集合A所含元素的個(gè)數(shù)分類討論A或2或3或7或2,3或2,7共有6個(gè)答案：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有2n個(gè)子集，有2n1個(gè)真子集，記住這個(gè)結(jié)論，可以提高解題速度寫一個(gè)集合的子集時(shí)，按子集中元素的個(gè)數(shù)來寫不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象.：課本本節(jié)練習(xí)1,2.【補(bǔ)充練習(xí)】1判斷正誤：(1)空集沒有子集()(2)空集是任何一個(gè)集合的真子集()(3)任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集()(4)若BA，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.()分析：關(guān)于判斷題應(yīng)確實(shí)把握好概念的實(shí)質(zhì)解：該題的4個(gè)命題，只有(4)是正確的，其余全錯(cuò)對(duì)于(1)，(2)來講，由規(guī)定：空集是任何一個(gè)集合的子集，且是任一非空集合的真子集對(duì)于(3)來講，可舉反例，空集這一個(gè)集合就只有自身一個(gè)子集對(duì)于(4)來講，當(dāng)xB時(shí)必有xA，則xA時(shí)也必有xB.2集合Ax|1x3，xZ，寫出A的真子集分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個(gè)含有n個(gè)元素的集合的子集有2n個(gè)，真子集有2n1個(gè)，則該題先找該集合的元素，后找真子集解：因1x3，xZ，故x0,1,2，即Ax|1x3，xZ0,1,2真子集：，1，2，0，0,1，0,2，1,2，共7個(gè)3(1)下列命題正確的是()A無限集的真子集是有限集B任何一個(gè)集合必定有兩個(gè)子集C自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集D1是質(zhì)數(shù)集的真子集(2)以下五個(gè)式子中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()10,1,21，33,10,1,21,0,20,1,20A5B2C3D4(3)Mx|3x4，a，則下列關(guān)系正確的是()AaM BaMCaM DaM解析：(1)該題要在四個(gè)選擇項(xiàng)中找到符合條件的選擇項(xiàng)，必須對(duì)概念把握準(zhǔn)確，無限集的真子集有可能是無限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一個(gè)子集，即它本身，排除B；由于1不是質(zhì)數(shù)，排除D.(2)該題涉及到的是元素與集合、集合與集合的關(guān)系應(yīng)是10,1,2，應(yīng)是0,1,2，應(yīng)是0故錯(cuò)誤的有.(3)Mx|3x4，a，因3a4，故a是M的一個(gè)元素，因此a是x|3x4的真子集，那么aM.答案：(1)C(2)C(3)D4判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系：(1)Ax|x2k1，kZ，Bx|x2m1，mZ；(2)Ax|x2m，mZ，Bx|x4n，nZ解：(1)因Ax|x2k1，kZ，Bx|x2m1，mZ，故A，B都是由奇數(shù)構(gòu)成的，即AB.(2)因Ax|x2m，mZ，Bx|x4n，nZ，又x4n22n，在x2m中，m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù)；而在x4n中，2n只能是偶數(shù)故集合A，B的元素都是偶數(shù)，但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成，則有BA.點(diǎn)評(píng)：此題是集合中較抽象的題目要注意其元素的合理尋求5已知集合Px|x2x60，Qx|ax10滿足QP，求a所取的一切值解：因Px|x2x602，3，當(dāng)a0時(shí)，Qx|ax10，QP成立又當(dāng)a0時(shí)，Qx|ax10，要QP成立，則有2或3，a或a.綜上所述，a0或a或a.點(diǎn)評(píng)：這類題目給的條件中含有字母，一般需分類討論本題易漏掉a0，ax10無解，即Q為空集的情況，而當(dāng)Q時(shí)，滿足QP.6已知集合AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)0，要使APB，求滿足條件的集合P.解：AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)01,1，4，由APB知集合P非空，且其元素全屬于B，即有滿足條件的集合P為1或1或4或1,1或1，4或1，4或1,1，4點(diǎn)評(píng)：要解決該題，必須確定滿足條件的集合P的元素，而做到這點(diǎn)，必須明確A，B，充分把握子集、真子集的概念，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)集合是解決問題的首要條件7設(shè)A0,1，Bx|xA，則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？解：因A0,1，Bx|xA，故x為，0，1，0,1，即0,1是B中一元素故AB.點(diǎn)評(píng)：注意該題的特殊性，一集合是另一集合的元素8集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，(1)若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)xZ時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)xR時(shí)，沒有元素x使xA與xB同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)當(dāng)m12m1即m2時(shí)，B滿足BA.當(dāng)m12m1即m2時(shí)，要使BA成立，需可得2m3.綜上所得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m3.(2)當(dāng)xZ時(shí)，A2， 1,0,1,2,3,4,5，A的非空真子集的個(gè)數(shù)為282254.(3)xR，且Ax|2x5，Bx|m1x2m1，又沒有元素x使xA與xB同時(shí)成立則若B即m12m1，得m2時(shí)滿足條件；若B，則要滿足條件：或解之，得m4.綜上有m2或m4.點(diǎn)評(píng)：此問題解決要注意：不應(yīng)忽略；找A中的元素；分類討論思想的運(yùn)用問題：已知AB，且AC，B0,1,2,3,4，C0,2,4,8，則滿足上述條件的集合A共有多少個(gè)？活動(dòng)：學(xué)生思考AB，且AC所表達(dá)的含義AB說明集合A是集合B的子集，即集合A中元素屬于集合B，同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素思路1：寫出由集合B和集合C的公共元素組成的集合，得滿足條件的集合A；思路2：分析題意，僅求滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個(gè)數(shù)解法1：因AB，AC，B0,1,2,3,4，C0,2,4,8，由此，滿足AB，有：，0，1，2，3，4，0,1，0,2，2,3，2,4，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，3,4，0,2,4，0,1,2，0,1,3，0,1,4，1,2,3，1,2,4，2,3,4，0,3,4，0,1,2,3，1,2,3,4，0,1,3,4，0,2,3，1,3,4，0,1,2,4，0,2,3,4，0,1,2,3,4，共2532(個(gè))又滿足AC的集合A有：，0，2，4，8，0,2，0,4，0,8，2,4，2,8，4,8，0,2,4，0,2,8，0,4,8，2,4,8，0,2,4,8，共2416(個(gè))其中同時(shí)滿足AB，AC的有8個(gè)：，0，2，4，0,2，0,4，2,4，0,2,4，實(shí)際上到此就可看出，上述解法太繁解法2：題目只求集合A的個(gè)數(shù)，而未讓說明A的具體元素，故可將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求B，C的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少顯然公共元素有0,2,4，組成集合的子集有238(個(gè))點(diǎn)評(píng)：有關(guān)集合間關(guān)系的問題，常用分類討論的思想來解決；關(guān)于集合的子集個(gè)數(shù)的結(jié)論要熟練掌握，其應(yīng)用非常廣泛課堂筆記本節(jié)課學(xué)習(xí)了：子集、真子集、空集、Venn圖等概念；能判斷存在子集關(guān)系的兩個(gè)集合誰是誰的子集，進(jìn)一步確定其是否是真子集；清楚兩個(gè)集合包含關(guān)系的確定，主要靠其元素與集合關(guān)系來說明