第2課時(shí)　相似三角形判定定理1，2 關(guān)鍵問答 ①△A′B′C′的第三邊只可能和△ABC的哪條邊是對(duì)應(yīng)邊，為什么？ ②兩個(gè)等腰三角形(非等邊三角形)相似，一個(gè)等腰三角形的頂角可能和另一個(gè)等腰三角形的底角是對(duì)應(yīng)角嗎？ ③是否可以利用“邊邊角”判定兩個(gè)三角形相似？ 1．①在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)分別為2，3，4，△A′B′C′的兩邊長(zhǎng)分別為1，1.5，如果要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長(zhǎng)是(　　) A．2 B. C．4 D．2 2．②已知△ABC如圖27－2－20所示，則圖27－2－21中與△ABC相似的是(　　) 圖27－2－20 　　　 圖27－2－21 3．③在△ABC與△DEF中，AB∶AC＝DE∶DF，∠B＝∠E，則這兩個(gè)三角形(　　) A．相似，但不全等 B．全等或相似 C．不相似 D．無法判斷是否相似 4．如圖27－2－22，已知＝，∠BAD＝∠CAE，且∠C＝60，求∠E的度數(shù)． 圖27－2－22 命題點(diǎn) 1　利用三邊對(duì)應(yīng)成比例判定兩個(gè)三角形相似　[熱度：95%] 5．要做甲、乙兩個(gè)形狀相同(相似)的三角形框架，已知甲三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為30 cm，50 cm，60 cm，乙三角形框架的一邊長(zhǎng)為20 cm，那么符合條件的乙三角形框架一共有(　　) A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 6.④在如圖27－2－23所示的正方形網(wǎng)格中，除△ABC外還有4個(gè)三角形，其中與△ABC相似的有(　　) 圖27－2－23 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 方法點(diǎn)撥 ④利用勾股定理分別求出各個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，然后利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷. 7.⑤如圖27－2－24，某地四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB與DC平行嗎？說明理由． 圖27－2－24 方法點(diǎn)撥 ⑤在利用三邊對(duì)應(yīng)成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般計(jì)算、、的值，再判斷這三個(gè)比是否相等，若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)三角形不相似. 命題點(diǎn) 2　利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定兩個(gè)三角形相似　[熱度：93%] 8.⑥如圖27－2－25，在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC相似的是(　　) 圖27－2－25 解題突破 ⑥由于陰影部分的三角形與原三角形有公共角，故可檢驗(yàn)夾此角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例. 9.⑦如圖27－2－26，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，DF＝3FC，連接AE，AF，EF，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) 圖27－2－26 A．△ABE與△EFC相似　　　　　　B．△ABE與△AEF相似 C．△ABE與△AFD相似　　　　　　D．△AEF與△EFC相似 模型建立 ⑦本題在圖形上類似字母“K”，已知條件中有一線三等角，易得三個(gè)直角三角形都是相似的. 10．如圖27－2－27，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，則當(dāng)BD＝________時(shí)，△ABD ∽△DBC. 　　　 圖27－2－27 11．如圖27－2－28，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△EPD，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為________． 圖27－2－28 12.⑧如圖27－2－29，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？ 圖27－2－29 解題突破 ⑧以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，由于∠A與∠A是對(duì)應(yīng)角，顯然有兩種相似情況，即△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB. 命題點(diǎn) 3　兩種判定方法的綜合應(yīng)用　[熱度：91%] 13.⑨如圖27－2－30，如果＝＝，那么△ABD與△BCE相似嗎？為什么？ 圖27－2－30 解題突破 ⑨判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，先看已經(jīng)給出了什么條件，再考慮還需要得到什么條件，怎樣才能得到. 14.⑩如圖27－2－31，AD是△ABC中BC邊上的中線，A′D′是△A′B′C′中B′C′邊上的中線，＝＝，試說明△ABC∽△A′B′C′. 圖27－2－31 解題突破 ⑩遇中點(diǎn)加倍，可以把已知條件轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，使條件相對(duì)集中. 15.?一個(gè)鋼筋三角架的三邊長(zhǎng)分別是20 cm，50 cm，60 cm，再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架，現(xiàn)在只有長(zhǎng)為30 cm和50 cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段(允許有余料)作為另外兩邊，則不同的截法有多少種？寫出你的設(shè)計(jì)方案，并說明理由． 解題突破 ?從30 cm長(zhǎng)的鋼筋上截下兩段是否可以？當(dāng)從50 cm長(zhǎng)的鋼筋上截下兩段時(shí)，30 cm長(zhǎng)的鋼筋與原三角架的邊有幾種對(duì)應(yīng)情況？ 詳解詳析 1．A　2.D 3．D　[解析] 因?yàn)锳B∶AC＝DE∶DF，∠B＝∠E，條件中相等的角不是對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角，故無法判斷這兩個(gè)三角形是否相似．故選D. 4．解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE. 又∵＝，∴△ABC∽△ADE， ∴∠E＝∠C＝60. 5．C　6.C 7．解：平行．理由：∵AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米， ∴＝＝，∴△ABD∽△BDC， ∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC. 8．B　9.C　10.2 11．P3　[解析] ∵∠BAC＝∠PED，＝，∴當(dāng)＝時(shí)，△ABC∽△EPD.∵ED＝4，∴EP＝6，∴點(diǎn)P落在P3處． 12．解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，根據(jù)題意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，則AQ＝AC－CQ＝(16－3t)cm. ∵∠A＝∠A， ∴當(dāng)＝時(shí)，有△APQ∽△ABC， 此時(shí)有＝，解得t＝； 當(dāng)＝時(shí)，有△APQ∽△ACB，此時(shí)有＝，解得t＝4. 故當(dāng)以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是 s或4 s. 13．解：相似．理由： ∵＝＝，∴△ABC∽△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE. 又∵＝，∴＝， ∴△ABD∽△CBE. 14．解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，延長(zhǎng)A′D′到點(diǎn)E′，使D′E′＝A′D′，連接B′E′，如圖． ∵AD是△ABC中BC邊上的中線， ∴BD＝CD. 在△BDE和△CDA中，BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA， ∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∠EBD＝∠C. 同理可得△B′D′E′≌△C′D′A′， ∴B′E′＝A′C′，∠E′B′D′＝∠C′. ∵＝＝，∴＝＝， ∴△ABE∽△A′B′E′，∴∠ABE＝∠A′B′E′， ∴∠ABC＋∠C＝∠A′B′C′＋∠C′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′，而＝， ∴△ABC∽△A′B′C′. 15．解：有兩種截法：①?gòu)?0 cm長(zhǎng)的鋼筋上截下12 cm與36 cm的兩部分；②從50 cm長(zhǎng)的鋼筋上截下10 cm與25 cm的兩部分． 理由如下：由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可知只能將30 cm長(zhǎng)的鋼筋作為一邊，再?gòu)?0 cm長(zhǎng)的鋼筋上截下兩段． 設(shè)從50 cm長(zhǎng)的鋼筋上截下的兩段分別長(zhǎng)x cm，y cm，且x<y. ①當(dāng)30 cm長(zhǎng)的邊對(duì)應(yīng)20 cm長(zhǎng)的邊時(shí)，有＝＝，解得x＝75，y＝90.因?yàn)閤＞50，故此種情況不成立； ②當(dāng)30 cm長(zhǎng)的邊對(duì)應(yīng)50 cm長(zhǎng)的邊時(shí)，有＝＝，解得x＝12，y＝36.因?yàn)閤＋y＝48＜50，故此種情況成立； ③當(dāng)30 cm長(zhǎng)的邊對(duì)應(yīng)60 cm長(zhǎng)的邊時(shí)，有＝＝，解得x＝10，y＝25.因?yàn)閤＋y＝35＜50，故此種情況成立． 【關(guān)鍵問答】 ①只可能和△ABC中長(zhǎng)為4的邊是對(duì)應(yīng)邊．理由略． ②不可能． ③不可以．