3.2.4二面角及其度量學習目標1.理解斜線和平面所成的角的定義，體會夾角定義的唯一性、合理性.2.會求直線與平面的夾角.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定義，會找一些簡單圖形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步驟知識點一直線與平面所成的角1直線與平面所成的角2最小角定理知識點二二面角及理解1二面角的概念(1)二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角如圖所示，其中，直線l叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面，如圖中的，.(2)二面角的記法：棱為l，兩個面分別為，的二面角，記作l.如圖，A，B，二面角也可以記作AlB，也可記作2l.(3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一點O，在兩半平面內(nèi)分別作射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角l的平面角，如圖所示由等角定理知，這個平面角與點O在l上的位置無關(guān)(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角(5)二面角的范圍是0，1802用向量夾角來確定二面角性質(zhì)及其度量的方法(1)如圖，分別在二面角l的面，內(nèi)，并沿，延伸的方向，作向量n1l，n2l，則n1，n2等于該二面角的平面角(2)如圖，設(shè)m1，m2，則角m1，m2與該二面角大小相等或互補1直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角互余()2二面角的大小范圍是.()3二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角的大小()題型一求直線與平面的夾角例1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角解建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，方法一取A1B1的中點M，則M，連接AM，MC1，則，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，則MC1AB，MC1AA1.又ABAA1A，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角由于，02a2，|a，|a，cos，.，0，180，30，又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.方法二(0，a,0)，(0,0，a)，.設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n(，y，z)，n0且n0.ay0且az0.yz0.故n(，0,0)cos，n，|cos，n|.又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.反思感悟用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量的有關(guān)知識求解線面角方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算跟蹤訓練1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分別為PC，PB的中點，求BD與平面ADMN所成的角.解如圖所示，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，設(shè)BC1，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)則N(1,0,1)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)，設(shè)平面ADMN的法向量為n(x，y，z)，則由得取x1，則z1，n(1,0，1)，cos，n，sin|cos，n|.又090，30.題型二求二面角例2在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中點，求平面EAC與平面ABCD的夾角解方法一如圖，以A為原點，分別以AC，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.設(shè)PAABa，ACb，連接BD與AC，交于點O，取AD中點F，連接EF，EO，F(xiàn)O，則C(b,0,0)，B(0，a,0)，D(b，a,0)，P(0,0，a)，E，O，(b,0,0)0，0.EOF等于平面EAC與平面ABCD的夾角cos，.平面EAC與平面ABCD的夾角為45.方法二建系如方法一，PA平面ABCD，(0,0，a)為平面ABCD的法向量，(b,0,0)設(shè)平面AEC的法向量為m(x，y，z)由得x0，yz.取m(0,1,1)，cosm，.又平面EAC與平面ABCD所成角的平面角為銳角，平面EAC與平面ABCD的夾角為45.反思感悟(1)當空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補)，但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的(2)注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角跟蹤訓練2若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求銳二面角A-PB-C的余弦值解如圖所示建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，故(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)，設(shè)平面PAB的法向量為m(x，y，z)，則即令x1，則y，故m(1，0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則z1，故n(0，1，1)，cosm，n.銳二面角APBC的余弦值為.題型三空間角中的探索性問題例3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求證：ABPD；(2)若BPC90，PB，PC2，問AB為何值時，四棱錐PABCD的體積最大？并求此時平面PBC與平面DPC夾角的余弦值(1)證明因為ABCD為矩形，所以ABAD；又因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)解過點P作POAD于點O.則PO平面ABCD，過點O作OMBC于點M，連接PM.則PMBC，因為BPC90，PB，PC2，所以BC，PM，設(shè)ABt，則在RtPOM中，PO，所以VPABCDt，所以當t2，即t時，VPABCD最大為.如圖，此時POAB，且PO，OA，OM兩兩垂直，以O(shè)A，OM，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，則P，D，C，B.所以，.設(shè)平面PCD的法向量為m(x1，y1，z1)，則即令x11，則m(1,0，2)，|m|；同理設(shè)平面PBC的法向量n(x2，y2，z2)，即令y21，則n(0,1,1)，|n|，設(shè)平面PBC與平面DPC的夾角為，顯然為銳角，所以cos .即平面PBC與平面DPC夾角的余弦值為.反思感悟利用空間向量解決空間角中的探索性問題，通常不需要復雜的幾何作圖，論證，推理，只需先假設(shè)結(jié)論成立，設(shè)出空間的坐標，通過向量的坐標運算進行推斷，把是否存在問題轉(zhuǎn)化為點的坐標是否有解的問題來處理跟蹤訓練3如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1ABAC1，且ABAC，點M是CC1的中點，點N是BC的中點，點P在直線A1B1上，且滿足.(1)證明：PNAM；(2)當取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？并求該角最大值的正切值(1)證明以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則P(，0,1)，N，M，從而，0110，所以PNAM.(2)解過點P作PEAB于E，連接EN，則PE平面ABC，則PNE為所求角，所以tan，因為當點E是AB的中點時，ENmin.所以(tan)max2，此時，.利用向量求二面角典例如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.(1)證明：平面ABEFEFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值考點向量法求平面與平面所成的角題點向量法求平面與平面所成的角(1)證明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解過D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60，則DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角C-BE-F的平面角，CEF60，從而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3,0，)設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4)，則cosn，m.故二面角E-BC-A的余弦值為.素養(yǎng)評析試題以一個面為正方形的五面體為載體，分層設(shè)計問題，由淺入深，給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和展示才華的平臺第(1)問側(cè)重對立體幾何中線面垂直、面面垂直等基礎(chǔ)知識的考查，題目比較簡單求解第(2)問的關(guān)鍵是充分運用直觀想象，把握圖形的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建空間直角坐標系，并針對運算問題，合理選擇運算方法，設(shè)計運算程序，解決問題1已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()A30B60C120D150答案A解析設(shè)l與所成的角為，則sin|cosm，n|.30.2正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為()A.B.C.D.答案C解析建系如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1，1)，(1,0，1)110，110.AC1A1B，AC1A1D，又A1BA1DA1，AC1平面A1BD.是平面A1BD的法向量cos，.直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為.3已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為_答案45或135解析設(shè)二面角的平面角為，cosm，n，45或135.4正四面體ABCD中棱AB與底面BCD所成角的余弦值為_答案解析作AO底面BCD，垂足為O，O為BCD的中心，設(shè)正四面體的棱長為a，則OBa，ABO為所求角，cosABO.5已知點A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_答案解析(1,2,0)，(1,0,3)設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)由n0，n0知令x2，則y1，z.平面ABC的法向量為n.平面xOy的法向量為(0,0,3)所以所求銳二面角的余弦值cos.1線面角可以利用定義在直角三角形中解決2線面角的向量求法：設(shè)直線的方向向量為a，平面的法向量為n，直線與平面所成的角為，則sin|cosa，n|.3二面角通?？赏ㄟ^法向量的夾角來求解，但一定要注意法向量的夾角和二面角的大小關(guān)系一、選擇題1若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于150，則直線l與平面所成的角等于()A.B.C.D以上均錯答案B解析直線l與平面所成的角范圍是.2直線l1，l2的方向向量分別是v1，v2，若v1與v2所成的角為，直線l1，l2所成的角為，則()ABCcos|cos|Dcos|cos|答案D解析或，且，因而cos|cos|.3已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值是()A.B.C.D.答案A解析以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設(shè)AA12AB2，則B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)，設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則y2，x2，所以n(2，2,1)設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為，則sin|cosn，|.4.已知在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則AB1與ED1所成角的余弦值為()A.B.CD答案A解析A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，0242，cos，AB1與ED1所成角的余弦值為.5在邊長為1的菱形ABCD中，ABC60，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD1，則二面角BACD的余弦值為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)菱形對角線AC與BD交于O點，則BOD為二面角BACD的平面角，由余弦定理可得cosBOD.6A，B是二面角l的棱l上兩點，P是平面上一點，PBl于B，PA與l成45角，PA與平面成30角，則二面角l的大小是()A30B60C45D75答案C解析如圖，作PO于O，連接AO，BO，則PAO為PA與平面所成角，PBO為二面角l的平面角，由PAO30，PAB45，取PA2a，則POa，PBa，sinPBO，PBO45.二、填空題7平面的一個法向量n1(1,0,1)，平面的一個法向量n2(3,1,3)，則與所成的角是_答案90解析由于n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以n1n2，故，與所成的角是90.8若二面角內(nèi)一點到兩個面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個二面角的大小是_答案60或120解析設(shè)二面角大小為，由題意可知|cos|，所以cos，所以60或120.9在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，則PC與平面ABCD所成的角是_答案30解析建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的法向量為n(0,0,1)，所以cos，n，所以n120，所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成的角為60，所以斜線PC與平面ABCD所成的角為30.10在正三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為，底面邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是_.答案解析在正三棱柱ABCA1B1C1中，取AC的中點O，連接OB，OBAC，則OB平面ACC1A1，BC1O就是BC1與平面AC1所成的角OB，BC1，sinBC1O，BC1O.三、解答題11二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，求該二面角的大小解由題意知，0，0，|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.cos，又，0，180，120，二面角的大小為60.12.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDDC，E是PC的中點求EB與平面ABCD夾角的余弦值解取CD的中點M，則EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的射影為BM，MBE為BE與平面ABCD的夾角如圖建立空間直角坐標系Dyxz，設(shè)PDDC1，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，M，E，cos，EB與平面ABCD夾角的余弦值為.13.如圖，在直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角D-A1C-E的正弦值(1)證明連接AC1，交A1C于點F，連接DF，則F為AC1的中點，因為D為AB的中點，所以DFBC1，又因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由AA1ACCBAB，可設(shè)AB2a，則AA1ACCBa，所以ACBC，又由直棱柱知CC1平面ABC，所以以點C為坐標原點，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Cxyz如圖則C(0,0,0)，A1(a，0, a)，D，E，( a,0, a)，.設(shè)平面A1CD的法向量為n(x，y，z)，則n0且n0，可解得yxz，令x1，得平面A1CD的法向量為n(1，1，1)，同理可得平面A1CE的法向量為m(2,1，2)，則cosn，m，又因為n，m0，180，所以sinn，m，所以二面角D-A1C-E的正弦值為.14.如圖所示，已知點P為菱形ABCD外一點，且PA平面ABCD，PAADAC，點F為PC的中點，則二面角CBFD的正切值為()A.B.C.D.答案D解析如圖所示，連接BD，ACBDO，連接OF.以O(shè)為原點，OB，OC，OF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)PAADAC1，則BD.所以B，F(xiàn)，C，D.結(jié)合圖形可知，且為平面BOF的法向量，由，可求得平面BCF的法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.15直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側(cè)棱AA12，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，求AA1與平面AED夾角的正弦值.解建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，設(shè)CA2a，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G.從而，(0，2a,1)，由GEBD，得0，得a1.(2,0，1)，(1,1,0)設(shè)n(x，y，z)為平面AED的法向量，則即即令x1，則y1，z2，即n(1，1,2)，又(0,0,2)，設(shè)AA1與平面AED的夾角為，sin|cos，n|.AA1與平面AED夾角的正弦值為.