1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用. 2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明. (二)能力訓(xùn)練要求 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力. (三)情感與價值觀要求 1.在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣. 2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.教具重點 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用. 2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.教學(xué)方法 探索發(fā)現(xiàn)法教具準(zhǔn)備 多媒體演示教學(xué)過程 .創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 師直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等. 下面我們就來看一個問題(多媒體演示).海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流. 下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎) .講授新課 師我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? 生應(yīng)該是“上北下南，左西右東”. 師請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.生首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25處.示意圖如下. 師貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定? 生根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作ADBC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較. 師這位同學(xué)分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢? 生已知BC20海里，BAD55，CAD25. 師在示意圖中，有兩個直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢? 生在RtACD中，只知道CAD=25，不能求AD. 生在RtABD中，知道BAD=55，雖然知道BC20海里，但它不是RtABD的邊，也不能求出AD. 師那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮? 生我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BCBD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系. 師有何聯(lián)系呢? 生在RtABD中，tan55，BD=ADtan55；在RtACD中，tan25，CDADtan25. 生利用BCBD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan2520. 師太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一. 下面我們一起完整地將這個題做完. 師生共析解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到RtABD和RtACD，從而BD=ADtan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里). 這樣AD20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險. 師接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度. 多媒體演示想一想你會更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1 m) 師我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30的仰角、60的仰角分別指哪兩個角? 生當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC. 師很好!請同學(xué)們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答. (教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo)) 生首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形RtADC和RtBDC的公共邊，在RtADC中，tan30=， 即AC在RtBDC中，tan60=,即BC，又AB=AC-BC50 m，得 -=50. 解得CD43(m)， 即塔CD的高度約為43 m. 生我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應(yīng)考慮小明的身高. 師這位同學(xué)能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離. 如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎? 生示意圖如右圖所示，由前面的解答過程可知CC43 m，則CD43+1.644.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m. 師同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下. 多媒體演示：某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40減至35，已知原樓梯長為4 m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m) 請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法) 生在這個問題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量.根據(jù)題意可畫示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.ACB是原樓梯的傾角，ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為： 如圖，ABDB，ACB40，ADB35，AC4m.求AD-AC及DC的長度. 師這位同學(xué)把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧! 生解：由條件可知，在RtABC中,sin40，即AB4sin40m，原樓梯占地長BC4cos40m. 調(diào)整后,在RtADB中，sin35，則ADm.樓梯占地長DB=m. 調(diào)整后樓梯加長AD-AC-40.48(m)，樓梯比原來多占DCDB-BC= -4cos400.61(m). .隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且DB5 m，現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少? 解：在RtCBD中，CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m). 在RtEDB中，DB=5 m， BE=BC+EC2+5sin40(m). 根據(jù)勾股定理，得DE=7.96(m). 所以鋼纜ED的長度為7.96 m. 2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD6 m，坡長CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135. (1)求ABC的大小： (2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3) 解：過A、D分別作AEBC，DFBC，E、F為垂足. (1)在梯形ABCD中.ADC135， FDC45，EFAD=6 m.在RtFDC中，DC8 m.DFFCCD.sin45=4 (m). BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在RtAEB中，AEDF=4 (m). tanABC0.308. ABC17821. (2)梯形ABCD的面積S(AD+BC)AE = (6+30)4 =72 (m2). 壩長為100 m，那么建筑這個大壩共需土石料10072 10182.34(m3). 綜上所述，ABC17821，建筑大壩共需10182.34 m3土石料. .課時小結(jié)