標(biāo)準(zhǔn)仿真模擬練（二）(120分鐘150分)第卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的)1.設(shè)集合S=x|x>-2,T=x|x2+3x-40,則(RS)T=()A.(-2,1B.(-,-4C.(-,1D.1,+)【解析】選C.因?yàn)镾=x|x>-2,所以RS=x|x-2,而T=x|x2+3x-40=x|-4x1,所以(RS)T=x|x1.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+2iz=i,則z=()A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i【解析】選C.設(shè)z=a+bi(a,bR),由題意知,1+2iz=i,所以1+2i=ai-b,則a=2,b=-1,所以z=2-i,z=2+i.3.若tan+4=-3,則cos2+2sin 2=()A.95B.1C.-35D.-75【解析】選A.tan(+4)=1+tan1-tan=-3,解得tan =2,cos2+2sin 2=cos2+4sincossin2+cos2=1+4tantan2+1=95.4.在等比數(shù)列an中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21,則公比q的值為()A.1B.-12C.1或-12D.-1或12【解析】選C.根據(jù)已知條件得a1q2=7,a1+a1q+a1q2=21,所以1+q+q2q2=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.5.方程x+lg x=3的解x0()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)【解析】選C.若x(0,1),則lg x<0,則x+lg x<1;若x(1,2),則0<lg x<1,則1<x+lg x<3;若x(2,3),則0<lg x<1,則2<x+lg x<4;若x>3,lg x>0,則x+lg x>3. 6.函數(shù)f(x)=9x-a3x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函數(shù),則a+b=()A.1B.-1C.-12D.12【解析】選D.函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x=0時(shí),f(x)有意義.所以f(0)=0,得a=1.又g(x)為偶函數(shù),所以g(-1)=g(1),得b=-12.所以a+b=12.7.分別在區(qū)間1,6和1,4內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù),依次記為m和n,則m>n的概率為()A.710B.310C.35D.25【解析】選A.如圖,則在區(qū)間1,6和1,4內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù),依次記為m和n,則(m,n)表示的圖形面積為35=15,其中滿足m>n,即在直線m=n右側(cè)的點(diǎn)表示的圖形面積為:12(2+5)3=212,故m>n的概率P=21215=710.8.定義d(a,b)=|a-b|為兩個(gè)向量a,b間的“距離”.若向量a,b滿足:|b|=1;ab;對(duì)任意的tR,恒有d(a,tb)d(a,b).則()A.abB.a(a-b)C.b(a-b)D.(a+b)(a-b)【解析】選C.如圖所示,因?yàn)閨b|=1,所以b的終點(diǎn)在單位圓上.設(shè)點(diǎn)B在單位圓上.點(diǎn)A不在單位圓上,則可用OB表示b,用OA表示a,用BA表示a-b.設(shè)OC=tb,所以d(a,tb)=|CA|, d(a,b)=|BA|,因?yàn)閷?duì)任意tR,d(a,tb)d(a,b),所以|CA|BA|恒成立,所以BAOB,即b(a-b).9.已知x,y滿足x+y-10,x-2y-40,2x-y-20,如果目標(biāo)函數(shù)z=y+1x-m的取值范圍為0,2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.0,12B.-,12C.-,12D.(-,0【解析】選C.由約束條件,作出可行域如圖中陰影部分所示,而目標(biāo)函數(shù)z=y+1x-m的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與A(m,-1)連線的斜率,由x+y-1=0,x-2y-4=0,得x=2,y=-1,即B(2,-1).由題意知m=2不符合題意,故點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合,因而當(dāng)連接AB時(shí),斜率取到最小值0.由y=-1與2x-y-2=0,得交點(diǎn)C12,-1,在點(diǎn)A由點(diǎn)C向左移動(dòng)的過(guò)程中,可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率小于2,因而目標(biāo)函數(shù)的取值范圍滿足z0,2),則m<12.10.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),且|+|=|-|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)a等于() A.2B.-2C.2或-2D.6或-6【解析】選C.由|+|=|-|知OAOB,所以由題意可得|a|2=2,所以a=2.另外也可以用畫圖直接寫出答案.11.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),執(zhí)行程序框圖(如圖),當(dāng)k=4時(shí),輸出S=13,則a2017=()A.2 015B.2 016C.2 017D.2 018【解析】選D.由程序框圖可知,an是公差為1的等差數(shù)列,且1a1a2+1a2a3+1a3a4+1a4a5=13,所以1a1-1a2+1a2-1a3+1a3-1a4+1a4-1a5=1a1-1a5=13,所以1a1-1a1+4=13,解得a1=2,所以a2 017=a1+2 016d=2+2 016=2 018.12.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x)>1,f(0)=4,則不等式f(x)>3ex+1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為()A.(0,+)B.(-,0)(3,+)C.(-,0)(0,+)D.(3,+)【解析】選A.由f(x)>3ex+1,得exf(x)>3+ex.構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)-ex-3,得F(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.由f(x)+f(x)>1,ex>0,可知F(x)>0,即F(x)在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)镕(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0.所以F(x)>0的解集為(0,+).第卷本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22題第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)13.已知點(diǎn)A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論ax1+ax22>ax1+x22成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函數(shù)y=sin x(x(0,)的圖象上任意不同兩點(diǎn),則類似地有_成立.【解析】對(duì)于函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)A,B,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論ax1+ax22>ax1+x22成立;對(duì)于函數(shù)y=sin x(x(0,)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方,類比可知應(yīng)有sin x1+sin x22<sinx1+x22成立.答案:sin x1+sin x22<sinx1+x2214.如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),=4,=-1,則的值是_.【解析】令=a,=b,則=-b,=2a,=3a,則=3a-b,=3a+b,=2a-b,=2a+b,=a-b,=a+b,則=9a2-b2,=a2-b2,=4a2-b2,由=4,=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,因此a2=58,b2=138,因此=4a2-b2=45-138=78.答案:7815.已知數(shù)列an,bn滿足a1=12,an+bn=1,bn+1=bn1-an2,nN+,則b2 019=_.【解析】因?yàn)閍n+bn=1,a1=12,所以b1=12,因?yàn)閎n+1=bn1-an2,所以bn+1=bn1-1-bn2+2bn=bn2bn-bn2=12-bn,所以1bn+1-1-1bn-1=-1,又b1=12,所以1b1-1=-2,所以數(shù)列1bn-1是以-2為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,所以1bn-1=-n-1,所以bn=nn+1.故b2 019=2 0192 020.答案:2 0192 02016.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin2A+sin2B+sin2C=23sin Asin Bsin C且a=2,則ABC的外接圓的半徑R=_.【解析】由正弦定理得a2+b2+c2=a2+b2+a2+b2-2abcos C=23absin C,即a2+b2=2absinC+6,由于a2+b2=2absinC+62ab,又a2+b22ab,所以2absinC+6=2ab,即sinC+6=1,故只能a=b且C+6=2,故ABC為正三角形,由正弦定理得asinA=2sin60=2R,所以R=233.答案:233三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)如圖,在一條海防警戒線上的點(diǎn)A,B,C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn),B,C兩點(diǎn)到A的距離分別為20千米和50千米,某時(shí)刻,B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào),8秒后A,C同時(shí)接收到該聲波信號(hào),已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.(1)設(shè)A到P的距離為x千米,用x表示B,C到P的距離,并求x的值.(2)求P到海防警戒線AC的距離.【解析】(1)依題意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12,在PAB中,AB=20,cosPAB=PA2+AB2-PB22PAAB=x2+202-(x-12)22x20=3x+325x,同理,在PAC中,AC=50,cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=x2+502-x22x50=25x.因?yàn)閏osPAB=cosPAC,所以3x+325x=25x,解得x=31.(2)作PDAC于點(diǎn)D,在ADP中,由cosPAD=2531,得sinPAD= 1-cos2PAD=42131,所以PD=PAsinPAD=3142131=421.故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為421千米.18.(本小題滿分12分)為了解人們對(duì)于國(guó)家新頒布的“生育二孩放開(kāi)”政策的熱度,現(xiàn)在某市進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了50人,他們年齡頻數(shù)分布及支持“生育二孩”人數(shù)如下表:年齡5,15)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)頻數(shù)510151055支持“生育二孩”4512821(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表,并問(wèn)是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下(有99%的把握)認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對(duì)“生育二孩放開(kāi)”政策的支持度有差異:年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)支持a=c=不支持b=d=合計(jì)(2)若對(duì)年齡在5,15)的被調(diào)查人中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查,恰好這兩人都支持“生育二孩放開(kāi)”的概率是多少?參考數(shù)據(jù):P(K23.841)=0.050,P(K26.635)=0.010,P(K210.828)=0.001.【解析】(1)22列聯(lián)表年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)支持a=3c=2932不支持b=7d=1118合計(jì)104050K2=50(311-729)2(3+7)(29+11)(3+29)(7+11)6.27<6.635.所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超0.01的前提下(沒(méi)有99%的把握)認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對(duì)“生育二孩放開(kāi)”政策的支持度有差異.(2)年齡在5,15)中支持“生育二孩”的4人分別為a,b,c,d,不支持“生育二孩”的人記為M,則從年齡在5,15)的被調(diào)查人中隨機(jī)選取兩人所有可能的結(jié)果有: (a,b),(a,c),(a,d),(a,M),(b,c),(b,d),(b,M),(c,d),(c,M),(d,M).設(shè)“恰好這兩人都支持“生育二孩”為事件A,則事件A所有可能的結(jié)果有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),所以P(A)=610=35.所以對(duì)年齡在5,15)的被調(diào)查人中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查時(shí),恰好這兩人都支持“生育二孩”的概率為35.19.(本小題滿分12分)如圖,ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形,AECD,且AE平面ABC,2AE=CD=2.(1)求證:平面BDE平面BCD.(2)求棱錐D-BCE的高.【解析】(1)如圖所示:取BD邊的中點(diǎn)F,BC邊的中點(diǎn)G,連接AG,FG,EF,由題意可知,FG是BCD的中位線,所以FGAE且FG=AE,所以四邊形AEFG是平行四邊形,所以AGEF,由題意知CD平面ABC,所以AGCD,又因?yàn)锳GBC,BCCD=C,所以AG平面BCD,所以EF平面BCD,又因?yàn)镋F平面BDE,所以平面BDE平面BCD.(2)過(guò)B作BMAC,垂足為M,因?yàn)锳E平面ABC,所以AEBM,因?yàn)锳CAE=A,所以BM平面ACDE,且BM=232=3,所以V四棱錐B-ACDE=1312(1+2)23=3,V三棱錐E-ABC=1312231=33,所以V三棱錐D-BCE=V四棱錐B-ACDE-V三棱錐E-ABC=3-33=233,因?yàn)锳B=AC=2,AE=1,所以BE=CE=5,又BC=2,所以SECB=1225-1=2,設(shè)所求的高為h,則由等體積法得132h=233,所以h=3.20.(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線2x-2y+6=0相切.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得EA2+EAAB為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由e=63,得ca=63,即c=63a,又以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2+y2=a2,且該圓與直線2x-2y+6=0相切,所以a=|6|22+(-2)2=6,代入得c=2,所以b2=a2-c2=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1.(2)由x26+y22=1,y=k(x-2),得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=12k21+3k2,x1x2=12k2-61+3k2.根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0),使得EA2+EAAB=(EA+AB)EA=EAEB為定值,則EAEB=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2- (2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)=(3m2-12m+10)k2+(m2-6)1+3k2,要使上式為定值,即與k無(wú)關(guān),只需3m2-12m+10=3(m2-6),解得m=73,此時(shí),EA2+EAAB=m2-6=-59,所以在x軸上存在定點(diǎn)E73,0,使得EA2+EAAB為定值,且定值為-59.21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-12ax2-bx.(1)當(dāng)a=b=12時(shí),求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率k12恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)當(dāng)a=0,b=-1,方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)m的值.【解析】(1)依題意知f(x)的定義域?yàn)?0,+),當(dāng)a=b=12時(shí),f(x)=ln x-14x2-12x,f(x)=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x.令f(x)=0,解得x=1.(x>0)當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)的極大值為f(1)=-34,此即為最大值.(2)F(x)=ln x+ax,x(0,3,則有k=F(x0)=x0-ax0212,在x0(0,3上恒成立,所以a-12x02+x0max,x0(0,3,當(dāng)x0=1時(shí),-12x02+x0取得最大值12,所以a12.(3)因?yàn)榉匠?mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,所以x2-2mln x-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解,設(shè)g(x)=x2-2mln x-2mx,則g(x)=2x2-2mx-2mx,令g(x)=0,x2-mx-m=0,因?yàn)閙>0,x>0,所以x1=m-m2+4m2<0(舍去),x2=m+m2+4m2,當(dāng)x(0,x2)時(shí),g(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,當(dāng)x(x2,+)時(shí),g(x)>0,g(x)在(x2,+)單調(diào)遞增,當(dāng)x=x2時(shí),g(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).則g(x2)=0,g(x2)=0,即x22-2mln x2-2mx2=0x22-mx2-m=0.所以2mln x2+mx2-m=0,因?yàn)閙>0,所以2ln x2+x2-1=0(*).設(shè)函數(shù)h(x)=2ln x+x-1,因?yàn)楫?dāng)x>0是,h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解.因?yàn)閔(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1,即m+m2+4m2=1,解得m=12.請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程點(diǎn)是曲線=2(0)上的動(dòng)點(diǎn),(2,0),的中點(diǎn)為Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡C的直角坐標(biāo)方程.(2)若C上點(diǎn)處的切線斜率的取值范圍是-3,-33,求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【解析】(1)由=2(0),得x2+y2=4(y0),設(shè)P(x1,y1),Q(x,y),則x=x1+22,y=y12,即x1=2x-2,y1=2y,代入x12+y12=4(y0),得(2x-2)2+(2y)2=4,所以(x-1)2+y2=1(y0). (2)軌跡C是一個(gè)以(1,0)為圓心,1半徑的半圓,如圖所示,設(shè)M(1+cos ,sin ),設(shè)點(diǎn)M處切線l的傾斜角為,由l斜率范圍-3,-33,可得2356,而=-2,所以63,所以321+cos 2+32,所以,點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是32,2+32.23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-4|-a.(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.(2)若f(x)4a+1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|x-4|-1|x+1-(x-4)|-1=4,所以f(x)min=4.(2)f(x)4a+1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立|x+1|+|x-4|-1a+4a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立a+4a4,當(dāng)a<0時(shí),上式成立;當(dāng)a>0時(shí),a+4a2a4a=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=4a,即a=2時(shí)上式取等號(hào),此時(shí)a+4a4成立.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,0)2.