專題10 等效重力場模型模型界定物體在運動過程中所受的外力包含有恒定的場力作用，如勻強電場中的電場力、勻強磁場中恒定電流與磁場間方向關(guān)系不變時所受的安培力等，可將其與重力的合力作為一個等效重力，然后利用重力場中的相關(guān)結(jié)論來解決的一類問題模型破解（i）在等效重力場中平衡的液體，其液面與等效重力方向垂直例.粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平面上，如圖所示，已知：L=10cm，當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運動時，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差。（）【答案】0.04m（ii）在等效重力場中，從斜面上某點由靜止釋放的物體，當(dāng)?shù)刃е亓εc水平方向的夾角大于等于斜面傾角時物體可靜止于斜面上或沿面運動；當(dāng)?shù)刃е亓εc水平方向的夾角小于斜面傾角時物體將沿等效重力方向做類自由落體的勻加速直線運動例.如圖，一質(zhì)量為m的小物塊帶正電荷Q，開始時讓它靜止在傾角的固定光滑斜面頂端，整個裝置放在場強大小為E=mg/Q、方向水平向左的勻強電場中，斜面高為H，釋放物塊后，求在斜面傾角分別為300與600一情況下物塊到達水平地面時的速度大小為多少？（重力加速度為g）【答案】【解析】物體受到恒定的電場力與重力兩個場力的作用，其合力即等效重力的大小為，方向與水平方向間夾角滿足，即將整個空間沿逆時針轉(zhuǎn)過45角，如圖所示由圖可以看出，當(dāng)300時，物體沿斜面下滑到地面，由動能定理（或等效機械能守恒）有，可得；當(dāng)600時，物體沿等效重力的方向做類自由落體運動，同理可得（iii）沿任意方向以相同動能拋出的物體，只有等效重力做功時，沿等效重力方向通過位移最大的物體動能改變量最大例.如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，勻強電場與圓周在同一平面內(nèi)?，F(xiàn)在該平面內(nèi)，將一帶正電的粒子從a點以相同的動能拋出，拋出方向不同時，粒子會經(jīng)過圓周上不同的點，在這些所有的點中，到達c點時粒子的動能最大。已知cab=30，若不計重力和空氣阻力，試求：電場方向與ac間的夾角?！敬鸢浮?0（iv）繩系著的物體在等效重力場中擺動時（包括沿圓形軌道內(nèi)側(cè)運動的物體）： 懸線在兩側(cè)最大位置關(guān)于等效重力方向?qū)ΨQ，即關(guān)于等效重力方向的最大偏角相等； 物體處于關(guān)于等效重力方向?qū)ΨQ的位置上時物體的速率相等、懸線上拉力大小相等； 沿等效重力方向上過懸點的直線與物體運動軌跡的交點是等效最低點，在此點物體的速率最大、繩中張力最大由靜止釋放的物體，釋放點在過圓心的等效水平線下方時，物體沿圓弧運動，釋放點在過圓心的等效水平線上方時，物體要先沿等效重力方向做類自由落體運動，繩繃直后再沿圓弧運動例如圖所示，一條長為L的細(xì)線上端固定在點，下端系一個質(zhì)量為m的小球，將它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為，方向水平向右，已知小球在點時平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為。求：當(dāng)懸線與豎直線的夾角為多大時，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時，小球速度恰好為零？【答案】【解析】如圖甲， 分析小球在B點時受力，將重力與電場力等效為一個等效重力，可得：，從而可認(rèn)為小球就做只受“重力”mg與繩拉力運動如圖乙所示，根據(jù)對稱性即可得出，當(dāng)懸線與豎直線的夾角滿足，小球從這一位置靜止釋放后至細(xì)線到豎直位置時，小球速度恰好為零。例.如圖所示，用長L的絕緣細(xì)線拴住一只質(zhì)量為m的、帶電量為q的小球，線的另一端拴在水平向右的勻強電場中，開始時把小球、線拉到和O在同一水平面上(線拉直)A點，讓小球由靜止開始釋放，當(dāng)擺線擺到與水平線成60角到達B點時，球的速度正好為零，求： (1)A、B兩點之間的電勢差。(2)勻強電場的場強。(3)小球運動到B點時細(xì)線上的拉力大小。(4)分析小球到達B點以后的運動情況?！敬鸢浮?1)(2)(3)(4)見解析【解析】帶電小球從A點到由靜止釋放擺到B點過程中重力做正功，但球由A到B時動能增量為零，因此電場力在這一過程中做負(fù)功，小球應(yīng)帶正電，由動能定理可以知道 由于Fx大于Gx，在B位置時小球不平衡，B位置小球?qū)€的拉力不能用平衡條件F0來求，只能根據(jù)球在沿線方向合力為零來求，設(shè)線上拉力為T，則：TEqsin30mgsin60mg另解：因為兩位置分別是小球擺動中等效最低點兩側(cè)的兩個最大位置，由對稱性可知在此兩位置上線中張力相等小球在點時，由于速度為零，所需向心力為零，則沿半徑方向上的合力為零分析小球在點處受力可知，沿半徑方向上只有電場力與線的拉力，故有TEqmg所以小球處于點時線上的張力Tmg(4)由于在B位置時，F(xiàn)xEqsin303mg/2大于Gxmgsin30mg/2，小球?qū)⒀貓A弧向上運動，在A、B之間的圓弧上某點(設(shè)這時線與水平成角，如圖)有Eqsinmgcos，即： 30在30(即小球在C位置)時，小球切向合力為零，C位置為小球的平衡位置，所以小球到達B點以后會往回繞過C位置振動。例.如圖所示，水平放置的銅棒ab長0.1m，質(zhì)量為610-2kg，兩端與長為1m的輕銅線相連，靜止于豎直平面上。整個裝置處在斜向紙內(nèi)與豎直方向成370角斜向下的勻強磁場中，磁場方向與ab垂直，磁感應(yīng)強度B=0.5T?，F(xiàn)接通電源，使銅棒中保持有恒定電流通過，銅棒垂直紙面向外發(fā)生擺動。已知銅棒擺動的最大偏角與豎直方向成740角，求通過的電流大小為多少？方向如何？(不計空氣阻力，sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2) 【答案】25.7A，由b向a【解析】對ab棒進行受力分析，ab棒受到重力、安培力和繩對它的拉力，而重力mg和安培力F都是恒力，其合力即等效重力為mg.由于ab棒將在074之間來回擺動，ab棒位于=37的位置為等效最低點，在此位置等效重力mg與繩的拉力T共線反向。如圖所示，當(dāng)=37時,由力的平行四邊形定則和正弦定理得： 即：則通過的導(dǎo)體棒ab的電流大小為 （v）在等效重力所在平面內(nèi)做變速圓周運動的物體等效最低點與等效最高點的確定：過圓心沿等效重力的方向作一直線與圓周相交于兩點，沿等效重力的方向上側(cè)點為等效最高點、下側(cè)點為等效最低點在等效最高點物體的速率最小、動能最小、繩中張力（或與軌道間的壓力）最小，物體的等效重力勢能最大，物體在此處最易脫離軌道繩系著的物體（或沿圓形軌道內(nèi)側(cè)運動的物體）在等效重力場中做完整的圓周運動的條件是在等效最高點處的速度（式中g(shù)為等效重力加速度）在等效最低點物體的速率最大、動能最大、繩中張力（或與軌道間的壓力最大），物體的等效重力勢能最小，繩在此處最易斷裂物體在圓周上關(guān)于過圓心沿等效重力方向?qū)ΨQ的位置上，物體的速率、動能、繩上的張力等數(shù)值相等例7.如圖所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角為30的斜面，AC部分為豎直平面上半徑為R的圓軌道，斜面與圓軌道相切。整個裝置處于場強為E、方向水平向右的勻強電場中?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶正電，電量為小球，要使小球能安全通過圓軌道，在O點的初速度應(yīng)為多大？ 【答案】假設(shè)以最小初速度v0運動，小球在斜面上作勻速直線運動，進入圓軌道后只有等效重力作功，則根據(jù)動能定理（或等效機械能守恒）有： 解得： （vi）在等效重力場中不受其他約束力的物體將做類自由落體運動（）或類拋體運動（）例8如圖所示，空間存在著電場強度E25102NC、方向豎直向上的勻強電場，在電場內(nèi)一長為L05m的絕緣細(xì)線一端固定于O點，另一端拴著質(zhì)量m0.5kg、電荷量q4102C的小球?，F(xiàn)將細(xì)線拉至水平位置，將小球由靜止釋放，當(dāng)小球運動到最高點時細(xì)線受到的拉力恰好達到它能承受的最大值而斷開，取g10ms2。求：（1）小球的電性；（2）細(xì)線能承受的最大拉力值；（3）當(dāng)小繼續(xù)運動到與O點水平方向的距離為L時，小球速度多大?【答案】（1）正電（2）15N（3） （3）細(xì)繩斷后小球做類平拋運動：水平方向上：L=v0t 豎直方向上： 故速度大小為：模型演練.如圖所示，一根對稱的“”型玻璃管ABC置于豎直平面內(nèi)，管與水平面夾角為300 , 一側(cè)管長為L=2m，管對稱線OO的左側(cè)的空間存在豎直向上的勻強電場E1，管對稱線OO的右側(cè)的空間存在與豎直方向成，大小為E2的勻強電場。質(zhì)量為m，帶正電電量為q的小球在管內(nèi)從A點由靜止開始運動，且與管壁的摩擦系數(shù)為，如果小球在B端與管作用沒有機械能量損失，已知，求小球從A點開始至第一次速度為零的位置在何處？ 【答案】到B點的距離為【解析】如圖甲所示，對小球在AB斜面上受力分析，電場力和重力的等效為重力，大小為，方向豎直向上。對小球在BC斜面上受力分析，電場力和重力等效為重力，大小為，方向垂直斜面向上，如果將整個模型轉(zhuǎn)1800就成了如圖乙所示的問題。 分析BC斜面上的受力特點，將BC斜面順時針轉(zhuǎn)300，就成了如圖丙所示最熟悉的斜面模型。在斜面AB上的加速度為：第一次到B點的速度為：在斜面BC上的加速度為： 速度為零時，到B點的距離為：2.半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一個質(zhì)量為m、帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強電場如圖所示。珠子所受靜電力是其重力的倍將珠子從環(huán)上最低位置A點靜止釋放則珠子所能獲得的最大動能Ek？ 【答案】故小珠運動到B點時有最大動能 3.質(zhì)量為m，電量為+q的小球以初速度以與水平方向成角射出，如圖所示，如果在某方向加上一定大小的勻強電場后，能保證小球仍沿方向做直線運動，試求所加勻強電場的最小值，加了這個電場后，經(jīng)多長時間速度變?yōu)榱悖?【答案】由式得：由式得：時，E最小為其方向與垂直斜向上，將代入式可得 即在場強最小時，小球沿做加速度為的勻減速直線運動，設(shè)運動時間為t時速度為0，則：，可得：另解：小球在運動中只受到重力和電場力兩個力的作用，可認(rèn)為小球只受到一個等效重力的作用，則由題意可知小球應(yīng)是在等效重力場中做類上拋運動或類下拋運動由物體作豎直拋體運動的條件可知物體受等效重力的方向應(yīng)與小球的初速度在同一直線上如圖乙所示，由力的合成及三角形知識可知，當(dāng)電場力的方向與小球的初速度方向即等效重力方向垂直時電場力最小，電場強度最小由圖中幾何關(guān)系有，則等效重力加速度由圖可知當(dāng)電場強度最小時，等效重力方向與小球初速度方向相反，小球做類上拋運動，將整個空間沿逆時針轉(zhuǎn)過900-則如圖丙所示當(dāng)小球到達等效最高點時速度減小到零，經(jīng)歷的時間4.放置在豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道如圖所示，其中BC為水平面，斜面AB與BC通過較小光滑圓弧連接，CDF是半徑為R（R大小未知）的圓形軌道。一個質(zhì)量為m、帶電量為q的小球，從距水平面BC高h(yuǎn)處的P點由靜止下滑，小球恰能通過豎直圓形軌道的最高點D而作圓周運動。試求：（1）圓形軌道半徑R的大?。唬?）現(xiàn)在豎直方向加方向豎直向下的足夠大的勻強電場，且電場強度滿足mg=2qE，若仍從P點由靜止釋放該小球，試判斷小球能否通過圓形軌道的最高點D。若不能，說明理由；若能，求出小球在D點時對軌道的壓力。【答案】（1）（2）能，0 （2） 存在電場時，由于電場力與重力的合力即等效重力方向仍向下，故點仍是等效最高點設(shè)小球恰能通過D點的速度為，則由等效重力提供向心力，即：mgEq= 即 高度為h時，若小球能通過D點，此時小球在D點的速度設(shè)為從P點到D點由動能定理，得到：(mgEq)(h2R)= 解得：由于，因此小球恰好通過D點因此對D點的壓力N0 5如圖所示，粗糙的斜槽軌道與半徑m的光滑半圓形軌道BC連接，B為半圓軌道的最底點，C為最高點。一個質(zhì)量kg的帶電體，從高為m的處由靜止開始滑下，當(dāng)滑到處時速度m/s，此時在整個空間加上一個與紙面平行的勻強電場，帶電體所受電場力在豎直向上的分力大小與重力相等。帶電體沿著圓形軌道運動，脫離C處后運動的加速度是m/s2，經(jīng)過一段時間后運動到斜槽軌道某處時速度的大小是m/s 。已知重力加速度，帶電體運動過程中電量不變，經(jīng)過B點時能量損失不計，忽略空氣的阻力。求：（1）帶電體從B到C的過程中電場力所做的功 （2）帶電體運動到C時對軌道的壓力（3）帶電體與斜槽軌道之間的動摩擦因數(shù)【答案】（1）5J（2）16N（3）（2）帶電體從B到C運動的過程中，由于位于等效重力場中的同水平線上，等效重力不做功，所以 在C點，等效重力與垂直，向心力由軌道對小球的壓力提供，由牛頓第二定律得： 解得：（3）帶電體脫離軌道后只受到水平方向上的等效重力作用，小球的初速度與等效重力方向共線且大于一段時間后的瞬時速度，可知小球做類上拋運動，等效重力加速度由運動學(xué)公式得： 代入數(shù)據(jù)得：設(shè)斜面與水平面的夾角為，則，帶電體從A到B的運動過程中，由動能定理得： 代入數(shù)據(jù)解得：.如圖所示，勻強電場水平向右，N/C，一帶正電的油滴的質(zhì)量kg，電量C。在A點時速度大小為m/s，方向為豎直向上，則油滴在何時速度最小且求出最小速度？【答案】0.5s,分析可得，當(dāng)y方向速度為零，油滴的速度最小為m/s，對應(yīng)時間為：s7.風(fēng)洞實驗室中可產(chǎn)生大小、方向可調(diào)節(jié)的風(fēng)力用長為l的細(xì)線拴一小球?qū)⑵浞湃腼L(fēng)洞實驗室，調(diào)節(jié)風(fēng)力方向為水平向右,當(dāng)小球靜止在A點時，懸線與豎直方向夾角為試求： 水平風(fēng)力的大小； 若將小球從豎直位置由靜止釋放，當(dāng)懸線與豎直方向成多大角度時，小球的速度最大？最大速度是多少？(3)小球靜止在A點時，給小球多大的速度才能使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動？(4)若將風(fēng)力方向調(diào)節(jié)為豎直向上，并使風(fēng)力大小恰好等于小球重力，那么，在最低點給小球水平方向的初速度，試分析小球的運動情況 【答案】（1）mgtan（2），（3）（4）(3)如圖丙所示，小球必須能通過B點才能做完整的圓周運動，設(shè)通過B點時小球的最小速度為vmin，則此時繩上拉力恰好為零 (4)分析：因為合力對小球始終不做功，故動能不變，所以小球做勻速圓周運動8.如圖所示，直線形擋板p1p2p3與半徑為r的圓弧形擋板p3p4p5平滑連接并安裝在水平臺面b1b2b3b4上，擋板與臺面均固定不動。線圈c1c2c3的匝數(shù)為n,其端點c1、c3通過導(dǎo)線分別與電阻R1和平行板電容器相連，電容器兩極板間的距離為d,電阻R1的阻值是線圈c1c2c3阻值的2倍，其余電阻不計，線圈c1c2c3內(nèi)有一面積為S、方向垂直于線圈平面向上的勻強磁場，磁場的磁感應(yīng)強度B隨時間均勻增大。質(zhì)量為m的小滑塊帶正電，電荷量始終保持為q,在水平臺面上以初速度v0從p1位置出發(fā)，沿?fù)醢暹\動并通過p5位置。若電容器兩板間的電場為勻強電場，p1、p2在電場外，間距為l,其間小滑塊與臺面的動摩擦因數(shù)為，其余部分的摩擦不計，重力加速度為g.求：（1）小滑塊通過p2位置時的速度大小。（2）電容器兩極板間電場強度的取值范圍。（3）經(jīng)過時間t,磁感應(yīng)強度變化量的取值范圍。 【答案】（1）（2）0< E （3）0<【解析】(1)小滑塊運動到位置時速度為v1，由動能定理有： v1= （2）由題意可知，電場方向如圖，若小滑塊能通過位置p，則小滑塊可沿?fù)醢暹\動且通過位置p5，設(shè)小滑塊在位置p的速度為v，受到的擋板的彈力為N，勻強電場的電場強度為E，由動能定理有：= （3）設(shè)線圈產(chǎn)生的電動勢為E1，其電阻為R，平行板電容器兩端的電壓為U，t時間內(nèi)磁感應(yīng)強度的變化量為B，得： U=Ed由法拉第電磁感應(yīng)定律得E1=n 由全電路的歐姆定律得E1=I（R+2R） U=2RI經(jīng)過時間t，磁感應(yīng)強度變化量的取值范圍：0<