18.2.1矩形(第2課時)學(xué)習(xí)目標1.經(jīng)歷探索矩形判定定理的過程,掌握矩形的判定定理.(重點)2.使學(xué)生能應(yīng)用矩形定義、判定等知識,解決簡單的證明題,發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.(重點、難點)一、合作探究1.什么叫做平行四邊形?什么叫做矩形?2.矩形有哪些性質(zhì)?3.矩形與平行四邊形有什么共同之處?有什么不同之處?4.歸納矩形的判定方法(學(xué)生進行)(1)定義:是平行四邊形,并且有一個角是.(2)對角線的關(guān)系:是平行四邊形,并且.(3)角的關(guān)系:是四邊形,并且有個角是直角.二、自主學(xué)習(xí)【例1】下列各句判定矩形的說法是否正確?(1)有一個角是直角的四邊形是矩形;()(2)四個角都相等的四邊形是矩形;()(3)對角線相等的四邊形是矩形;()(4)兩組對邊分別平行,且對角線相等的四邊形是矩形.()【例2】已知ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AOB是等邊三角形,AB=4 cm,求這個平行四邊形的面積.分析:首先根據(jù)AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理計算邊長,從而得到面積值.解:四邊形ABCD是AO=,BO=.AO=BO,AC=BD.ABCD是(的平行四邊形是矩形).在RtABC中,AB=4 cm,AC=,BC=(cm).S=83.三、跟蹤練習(xí)1.判斷題:(1)有四個角是直角的四邊形是矩形;()(2)對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形;()(3)對角線相等,且有一個角是直角的四邊形是矩形;()(4)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形;()(5)一組鄰邊垂直,一組對邊平行且相等的四邊形是矩形.()2.已知:如圖ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且OAD=ODA.求證:四邊形ABCD是矩形.3、已知:如圖,ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E,F,G,H.求證:四邊形EFGH是矩形.四、變式演練1.如圖所示,在梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=24 cm,BC=26 cm,動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1 cm/s的速度運動,動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3 cm/s的速度運動.點P,Q分別從點A和點C同時出發(fā),當(dāng)其中一點到達端點時,另一點隨之停止運動.(1)經(jīng)過多長時間,四邊形PQCD是平行四邊形?(2)經(jīng)過多長時間,四邊形PQBA是矩形?2.如圖,O是矩形ABCD的對角線的交點,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點,且AE=BF=CG=DH.(1)求證:四邊形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,且DGAC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面積.五、達標檢測1.已知下列命題中:(1)矩形是軸對稱圖形,且有兩條對稱軸;(2)兩條對角線相等的四邊形是矩形;(3)有兩個角相等的平行四邊形是矩形;(4)兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形,其中正確的有()A.4個B.3個C.2個D.1個2.如圖,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是AD,BD,BC,CA的中點,若四邊形EFGH是矩形,則四邊形ABCD需滿足的條件是()A.ABDCB.AC=BDC.ACBDD.AB=DC3.如圖,四邊形ABCD中,AC=8,BD=6,且ACBD,連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH,下列說法不正確的是()A.四邊形EFGH是矩形B.四邊形EFGH的周長是7C.四邊形EFGH的面積是12D.四邊形ABCD的面積是484.如圖所示,ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180得CDA,添加一個條件,使四邊形ABCD為矩形.5.若順次連接四邊形各邊中點所得到的四邊形是矩形,則原四邊形必須滿足的條件是.6.用兩張對邊平行的紙條交叉重疊放在一起,則四邊形ABCD為;兩張紙條互相垂直時,四邊形ABCD為.7.如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系.(1)求點D,E的坐標;(2)F為坐標系內(nèi)一點,且以C,D,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形,則點F的坐標為(直接寫出所有的結(jié)果);(3)點P是y軸上一動點,且以1個單位/秒的速度從點A向下運動.設(shè)點P運動的時間為t秒.求當(dāng)t為多少時,PCD是以CD為腰的等腰三角形?8.如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,點E,F在邊BC上,DEAB,AFDC,且AEDF.(1)AD與BC有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由.(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足條件時,四邊形AEFD是矩形(說明理由).9.如圖,四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AO=CO,BO=DO,且ABC+ADC=180.(1)求證:四邊形ABCD是矩形.(2)若DFAC,ADFFDC=32,則BDF的度數(shù)是多少?參考答案一、合作探究1.由兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形;有一個角是直角的平行四邊形叫矩形,2.矩形四個角都是直角;矩形的對角線相等;并且具有平行四邊形的所有性質(zhì).3.矩形是特殊的平行四邊形,一般的平行四邊形不具有矩形的性質(zhì).4.(1)直角(2)對角線相等(3)三個二、自主學(xué)習(xí)略三、跟蹤練習(xí)略四、變式演練1.解:(1)設(shè)經(jīng)過t s,四邊形PQCD為平行四邊形,即PD=CQ,所以24-t=3t,解得t=6;(2)設(shè)經(jīng)過ts,四邊形PQBA為矩形,即AP=BQ,所以t=26-3t,解得t=132.2.分析:(1)證明四邊形EFGH對角線相等且互相平分;(2)根據(jù)題設(shè)求出矩形的邊長CD和BC,然后根據(jù)矩形面積公式求得.(1)證明:四邊形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD.AE=BF=CG=DH,AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,四邊形EFGH是矩形;(2)解:G是OC的中點,OGAC,CD=OD.F是BO中點,OF=2 cm,BO=4 cm.四邊形ABCD是矩形,DO=BO=4 cm,DC=4 cm,DB=8 cm,CB=DB2-DC2=43 cm,S矩形ABCD=443=163(cm2).五、達標檢測1.C2.A3.B4.B=905.對角線互相垂直6.平行四邊形;矩形7.解:(1)依題意可知,折痕CD是四邊形BCED的對稱軸,在RtCOE中,CE=BC=AO=10,OC=AB=8,OE=6,E(0,6).AE=10-6=4.在RtDAE中,AE2+AD2=DE2,又DE=BD,AD2+42=(8-AD)2,AD=3.D(3,10).(2)(11,4),(-5,16),(5,-10);(3)由(1)可知BD=5,所以CD=BC2+BD2=102+52=55,當(dāng)PD=CD=55時,AP=PD2-AD2=125-9=116=229,t=229,當(dāng)PC=CD=55時,OP=PC2-OC2=125-64=61.AP=AO-AP=10-61或AP=AO+OP=10+61,t=10-61或10+61.8.(1)AD=13BC.理由如下:ADBC,ABDE,AFDC,AEDF,四邊形ABED、四邊形AEFD和四邊形AFCD都是平行四邊形.AD=BE=EF=FC,AD=13BC.(2)AB=CD.理由如下:四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形,DE=AB,AF=DC.AB=DC,DE=AF,又四邊形AEFD是平行四邊形,四邊形AEFD是矩形.9.(1)證明:AO=CO,BO=DO,四邊形ABCD是平行四邊形,ABC=ADC,ABC+ADC=180,ABC=ADC=90,四邊形ABCD是矩形;(2)解:ADC=90,ADFFDC=32,FDC=36,DFAC,DCO=90-36=54,四邊形ABCD是矩形,CO=OD,ODC=DCO=54,BDF=ODC-FDC=18.