標準仿真模擬練（一）(120分鐘150分)第卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的)1.已知集合A=(x,y)|x,yR,且x2+y2=1,B=(x,y)|x,yR,且y=x,則AB的元素個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.集合A表示的是圓心在原點的單位圓,集合B表示的是直線y=x,據(jù)此畫出圖象,可得圖象有兩個交點,即AB的元素個數(shù)為2.2.設(shè)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則2z-z=()A.iB.2-iC.1-iD.0【解析】選D.因為2z-z=21+i-1+i=2(1-i)(1+i)(1-i)-1+i=1-i-1+i=0.3.“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”是“0<b<1”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.當-1<b<1時,直線y=x+b與圓x2+y2=1都相交,因此題中應(yīng)選必要不充分條件.4.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sin2A-sin2B=3sin Bsin C, c=23b,則角A 等于()A.30B.60C.120D.150【解析】選A.由正弦定理asinA=bsinB=csinC及sin2A-sin2 B=3sin Bsin C,可得a2-b2=3bc.又c=23b,所以cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-3b23b-b22b23b=32,所以A=30.5.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為3,3,7,則輸出的S=()A.9B.21C.25D.34【解析】選C.程序運行過程如下:第一次循環(huán):a=3,s=sx+a=3,k=k+1=1,第二次循環(huán):a=3,s=sx+a=9,k=k+1=2,第三次循環(huán):a=7,s=sx+a=25,k=k+1=3,此時跳出循環(huán),輸出的s值為25.6.三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,則球O的表面積為()A.32B.32C.3D.12【解析】選C.如圖,因為ABBC,所以AC是ABC所在截面圓的直徑,又因為SA平面ABC,所以SAC所在的截面圓是球的大圓,所以SC是球的一條直徑.由題設(shè)SA=AB=BC=1,由勾股定理可求得:AC=2,SC=3,所以球的半徑R=32,所以球的表面積為4322=3.7.如圖程序框圖的功能是尋找使2468i>2 019成立的i的最小正整數(shù)值,則輸出框中應(yīng)填()A.輸出i-2B.輸出i-1C.輸出iD.輸出i+1【解析】選A.假設(shè)使不等式成立的i的最小正整數(shù)為k.則當i=k-2時,S>2 019不成立,繼續(xù)循環(huán);S=2468(k-2),i=i+2=k;S>2 019不成立,繼續(xù)循環(huán);S=2468k,i=i+2=k+2,S>2 019成立,跳出循環(huán),此時i值為k+2,故應(yīng)輸出i-2.8.已知f(x)=2sin2x+6,若將它的圖象向右平移6個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸的方程為()A.x=12B.x=4C.x=3D.x=2【解析】選C.f(x)=2sin2x+6,若將它的圖象向右平移6個單位,得到函數(shù)g(x)=2sin2x-6+6=2sin2x-6的圖象,令2x-6=k+2,kZ,得x=k2+3,kZ,故函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為x=3.9.已知,|=1t,|=t,若P點是ABC所在平面內(nèi)一點,且= +,當t變化時,的最大值等于()A.-2B.0C.2D.4【解析】選B.以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,如圖所示,因為,|=1t,|=t,所以B1t,0,C(0,t),因為P點是ABC所在平面內(nèi)一點,且=+,所以=(1,0)+(0,1)=(1,1),即P(1,1),所以=1t-1,-1,=(-1,t-1),所以=-1t+1-t+1=2-1t+t,因為1t+t21tt=2,所以的最大值等于0,當且僅當t=1t,即t=1時,取等號.10.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+1=1f(x+1),當x0,1時,f(x)=x.若g(x)= f(x)-mx-2m在區(qū)間(-1,1上有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是()A.0<m13B.0<m<13C.13<m<1D.13m<1【解析】選A.當-1<x<0時,0<x+1<1,由f(x)+1=1f(x+1),可得f(x)=1x+1-1,則y=f(x)在區(qū)間(-1,1上的圖象如圖所示.若g(x)=f(x)-mx-2m在(-1,1上有兩個零點,則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=mx+2m在(-1,1上有兩個交點.從圖象分析可知,直線y=mx+2m恒過定點(-2,0),且與y軸的交點(0,2m)應(yīng)位于y軸的正半軸,可知m>0,即直線y=mx+2m的斜率大于0,而此時應(yīng)使直線y=mx+2m上的點(1,3m)位于點(1,1)或其下方,則可得3m1,即m13.綜上所述,0<m13.11.從集合A=-2,-1,2中隨機選取一個數(shù)記為a,從集合B=-1,1,3中隨機選取一個數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.29B.13C.49D.14【解析】選A.因為aA=-2,-1,2,bB=-1,1,3,得到(a,b)的所有可能取值結(jié)果有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1), (-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3)共9種結(jié)果,由ax-y+b=0得y=ax+b,當a0,b0時,直線不經(jīng)過第四象限,符合條件的(a,b)有(2,1),(2,3),2種結(jié)果,所以直線不過第四象限的概率P=29.12.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x,g(x)=13x3-a+12x2+ax-13(a>1),若對任意的x10,4,總存在x20,4,使得f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍為()A.1,94B.9,+)C.1,949,+)D.32,949,+)【解析】選C.函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x,導數(shù)為f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),可得f(x)的極值點為1,3,由f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4,可得f(x)在0,4的值域為0,4;g(x)=13x3-a+12x2+ax-13(a>1),導數(shù)為g(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),當1<x<a時,g(x)<0,g(x)遞減;當x<1或x>a時,g(x)>0,g(x)遞增.由g(0)=-13,g(1)=12(a-1),g(a)=-16a3+12a2-13,g(4)=13-4a,當3a4時,13-4a12(a-1),g(x)在0,4的值域為-13,12(a-1),由對任意的x10,4,總存在x20,4,使得f(x1)=g(x2),可得0,4-13,12(a-1),即有412(a-1),解得a9不成立;當1<a<3時,13-4a>12(a-1),g(x)在0,4的值域為-13,13-4a,由題意可得0,4-13,13-4a,即有413-4a,解得a94,即為1<a94;當a>4時,可得g(1)取得最大值,g(4)<-3為最小值,即有0,413-4a,12(a-1),可得13-4a0,412(a-1),即a134且a9,解得a9.綜上可得,a的取值范圍是1,949,+).第卷本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22題第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)13.在ABC中,BAC=34,AB=6,AC=32,點D在BC邊上,AD=BD,則AD=_.【解析】設(shè)ABC的內(nèi)角BAC,角B,C所對的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=1010,由題設(shè)知0<B<4,所以cos B=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,因為AD=BD,所以ABD=BAD,所以ADB=-2B,故由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B) =6sinB2sinBcosB=3cosB=10.答案:1014.已知函數(shù)f(x)=log21-x1+x,若f(a)=12,則f(-a)=_.【解析】由已知得,函數(shù)的定義域為(-1,1),且f(-x)=log21-(-x)1+(-x) =-log21-x1+x=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故f(-a)=-f(a)=-12.答案:-1215.平行四邊形ABCD中,已知AB=4,AD=3,BAD=60,點E,F分別滿足AE=2ED,DF=FC,則AFBE=_.【解析】依題意得AF=AD+DF=AD+12AB,BE=AE-AB=23AD-AB,AFBE=(AD+12AB)(23AD-AB)=23AD2-12AB2-23ADAB=2332-1242-2334cos 60=-6.答案:-616.設(shè)F1,F2為橢圓x29+y24=1的兩個焦點,P為橢圓上一點.已知P,F1,F2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,則|PF1|PF2|的值為_.【解析】若PF2F1=90,則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,因為|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,解得|PF1|=143,|PF2|=43,所以|PF1|PF2|=72.若F2PF1=90,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1|PF2|=2.綜上所述,|PF1|PF2|=2或72.答案:2或72三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)數(shù)列an中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn.【解析】(1)因為an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an,所以an是以a1為首項的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,所以d=2-83=-2,所以an=10-2n.(2)令Tn=a1+a2+an,因為an=10-2n,令an=0,得n=5.當n>5時,an<0;當n=5時,an=0;當n<5時,an>0.所以當n>5時,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-(a6+a7+an)= T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n2-9n+40,當n5時,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Tn=9n-n2.所以Sn=9n-n2(n5),n2-9n+40(n>5).18.(本小題滿分12分)全世界人們越來越關(guān)注環(huán)境保護問題,某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:空氣質(zhì)量指數(shù)(g/m3)區(qū)間0,50)50,100)100,150)150,200)200,250)空氣質(zhì)量等級空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n,m的值,并完成頻率分布直方圖.(2)由頻率分布直方圖求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù).(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于50,100)和150,200)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取5天,再從中任意選取2天,求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.【解析】(1)因為0.00450=20n,所以n=100因為20+40+m+10+5=100,所以m=25.4010050=0.008,2510050=0.005,1010050=0.002,510050=0.001.(2)由組中點值代替組中值計算平均數(shù)0.225+0.475+0.25125+0.1175+0.05225=95,由50+3450=87.5知中位數(shù)為87.5.所以平均數(shù)為95,中位數(shù)為87.5.(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)為50,100)和150,200)的監(jiān)測天數(shù)中應(yīng)分別抽取4天和1天,在所抽取的5天中,將空氣質(zhì)量指數(shù)為50,100)的4天分別記為a,b,c,d;將空氣質(zhì)量指數(shù)為150,200)的1天分別記為e;從中任取2天的基本事件分別為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種.其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6種.所以事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率是P(A)=610=35.19.(本小題滿分12分)如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中,DAB=60,點E,F分別是邊CD,CB的中點,ACEF=O.沿EF將CEF翻折到PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖2的五棱錐P-ABFED,且PB=10.(1)求證:BD平面POA.(2)求四棱錐P-BFED的體積.【解析】(1)因為點E,F分別是邊CD,CB的中點,所以BDEF.因為ABCD是菱形,所以BDAC,所以EFAC,所以翻折后EFAO,EFPO,因為AO平面POA,PO平面POA,AOPO=O,所以EF平面POA,所以BD平面POA.(2)設(shè)AOBD=H,連接BO,因為ABCD是菱形,所以AB=AD,因為DAB=60,所以ABD為等邊三角形,所以BD=4,BH=2,HA=23,HO=PO=3,在RtBHO中,BO=BH2+HO2=7,在PBO中,BO2+PO2=10=PB2,所以POBO,因為POEF,EFBO=O,EF平面BFED,BO平面BFED,所以PO平面BFED,又梯形BFED的面積為S=12(EF+BD)HO=33,所以四棱錐P-BFED的體積V=13SPO=13333=3.20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的對稱中心為原點O,焦點在x軸上,左,右焦點分別為F1,F2,上頂點和右頂點分別為B,A,線段AB的中點為D,且kODkAB=-12,AOB的面積為22.(1)求橢圓C的方程.(2)過F1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點,若MF2N的面積為163,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由已知得A(a,0),B(0,b),Da2,b2,所以kODkAB=b2a2b-a=-12,即a2=2b2,又SAOB=12ab=22,所以ab=42,由解得a2=8,b2=4,所以橢圓方程為x28+y24=1.(2)當直線lx軸時,易得M(-2,2),N(-2,-2),MF2N的面積為42,不合題意.當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.顯然有>0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-8k21+2k2,x1x2=8k2-81+2k2,所以|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-8k21+2k22-48k2-81+2k2,化簡得|MN|=42(1+k2)1+2k2.設(shè)圓的半徑為r,則r=4|k|1+k2,所以SMF2N=12|MN|r=1242(1+k2)1+2k24|k|1+k2=82|k|1+k21+2k2=163,化簡得k4+k2-2=0,解得k=1,所以r=22,所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8.21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+1-a2x2-bx(a1),曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為0.(1)求b.(2)若存在x01,使得f(x0)<aa-1,求a的取值范圍.【解析】(1)f(x)=ax+(1-a)x-b.由題設(shè)知f(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定義域為(0,+),由(1)知,f(x)=aln x+1-a2x2-x,f(x)=ax+(1-a)x-1=1-axx-a1-a(x-1),若a12,則a1-a1,故當x1,+)時,f(x)0,f(x)在1,+)上單調(diào)遞增.所以,存在x01,使得f(x0)<aa-1的充要條件為f(1)<aa-1,即1-a2-1<aa-1,所以-2-1<a<2-1;若12<a<1,則a1-a>1,故當x1,a1-a時,f(x)<0,xa1-a,+時,f(x)>0,f(x)在1,a1-a上單調(diào)遞減,f(x)在a1-a,+上單調(diào)遞增.所以,存在x01,使得f(x0)<aa-1的充要條件為fa1-a<aa-1,而fa1-a=aln a1-a+a22(1-a)+aa-1>aa-1,所以不符合題意.若a>1,則f(1)=1-a2-1=-1-a2<aa-1.綜上,a的取值范圍為:(-2-1,2-1)(1,+).請考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為cos-3=1,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程,并求點M,N的極坐標.(2)設(shè)MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.【解析】(1)因為cos -3=1,所以cos cos 3+sin sin 3=1.又x=cos,y=sin,所以12x+32y=1,即曲線C的直角坐標方程為x+3y-2=0.令y=0,則x=2,令x=0,則y=233,所以M(2,0),N0,233,所以M的極坐標為(2,0),N的極坐標為233,2.(2)MN連線的中點P的直角坐標為1,33,直線OP的極角為=6,所以直線OP 的極坐標方程為=6(R).23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)當a=2時,求不等式f(x)<4的解集.(2)若對任意的x,f(x)2恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)當a=2時,不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-1|<4,可得x2,x-2+x-1<4或1<x<2,2-x+x-1<4或x1,2-x+1-x<4,解得-12<x<72,所以不等式的解集為x-12<x<72.(2)因為|x-a|+|x-1|a-1|,當且僅當(x-a)(x-1)0時等號成立,由|a-1|2,得a-1或a3,即a的取值范圍為(-,-13,+).