27.2.3 相似三角形的應(yīng)用舉例一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1運(yùn)用三角形相似的知識(shí)計(jì)算不能直接測(cè)量物體的長(zhǎng)度和高度；2靈活運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：重難點(diǎn)：運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.探究案三、教學(xué)過(guò)程課堂導(dǎo)入埃及金字塔到底有多高？據(jù)史料記載：古希臘科學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太陽(yáng)光線下形成的影子測(cè)出了金字塔的高度你知道他是怎樣測(cè)量的嗎？今天我們就利用這些知識(shí)測(cè)量一些不能直接測(cè)量的物體的高度吧.課堂探究知識(shí)點(diǎn)一：用相似三角形測(cè)量高度對(duì)于學(xué)校里旗桿的高度，我們是無(wú)法直接進(jìn)行測(cè)量的但是我們可以根據(jù)相似三角形的知識(shí)，測(cè)出旗桿的高度結(jié)合右面的圖形，大家思考如何求出高度.歸納總結(jié)例題解析例1 據(jù)傳說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度. 如圖，木桿EF長(zhǎng)2 m，它的影長(zhǎng)FD為3 m，測(cè)得OA為201 m， 求金字塔的高度BO.歸納總結(jié)小試牛刀1.如圖，某一時(shí)刻一根2m長(zhǎng)的竹竿EF的影長(zhǎng)GE為1.2m，此時(shí)，小紅測(cè)得一棵被風(fēng)吹斜的柏樹與地面成30角，樹頂端B在地面上的影子點(diǎn)D與B到垂直地面的落點(diǎn)C的距離是3.6m，求樹AB的長(zhǎng)2.小紅用下面的方法來(lái)測(cè)量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度如圖，在水平地面點(diǎn)E處放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離AE20m.當(dāng)她與鏡子的距離CE2.5m時(shí)，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B.已知她的眼睛距地面高度DC1.6m，請(qǐng)你幫助小紅測(cè)量出大樓AB的高度(注：入射角反射角)課堂探究問(wèn)題 小明想利用樹影測(cè)量樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1 m的竹竿影長(zhǎng)0.9 m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí)，因樹靠近一棟建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測(cè)得留在墻上的影高l.2 m，又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)2.7 m，他求得的樹高是多少?歸納總結(jié)例題解析例2 如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB = 8 m和CD = 12 m，兩樹底部的距離BD = 5 m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小 于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C了？歸納總結(jié)小試牛刀1.如圖，某一時(shí)刻，旗桿AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上小明測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為9.6m，在墻面上的影長(zhǎng)CD為2m.同一時(shí)刻，小明又測(cè)得豎立于地面長(zhǎng)1m的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為1.2m.請(qǐng)幫助小明求出旗桿的高度2.星期天，小麗和同學(xué)們?cè)诒躺硩徆珗@游玩，他們來(lái)到1928年馮玉祥將軍為紀(jì)念北伐軍陣亡將士所立的紀(jì)念碑前，小麗問(wèn)：“這個(gè)紀(jì)念碑有多高呢？”請(qǐng)你利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一種方案測(cè)量紀(jì)念碑的高度(畫出示意圖)，并說(shuō)明理由隨堂檢測(cè)1如圖，小明用長(zhǎng)為3 m的竹竿CD做測(cè)量工具，測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿與旗桿的距離DB12 m，則旗桿AB的高為_m.2在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8 m的竹竿的影長(zhǎng)為3 m，同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25 m，那么這根旗桿的高度為_m.3已知有兩堵墻AB，CD，AB墻高2米，兩墻之間的距離BC為8米，小明將一架木梯放在距B點(diǎn)3米的E處靠向墻AB時(shí)，木梯有很多露出墻外將木梯繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90靠向墻CD時(shí)，木梯剛好達(dá)到墻的頂端，則墻CD的高為_4如圖是一束平行的陽(yáng)光從教室窗戶射入的平面示意圖，光線與地面所成角AMC30，在教室地面的影長(zhǎng)MN2米若窗戶的下檐到教室地面的距離BC1米，則窗戶的上檐到教室地面的距離AC為_米5 如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量都勻南沙洲古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過(guò)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABBD，CDBD，且測(cè)得AB1.2米，BP1.8米，PD12米，那么該古城墻的高度是_米(平面鏡的厚度忽略不計(jì))6如圖利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度已知標(biāo)桿BE高1.2m，測(cè)得AB=1.6mBC=12.4m則建筑物CD的高是多少？課堂小結(jié)1利用相似三角形測(cè)量物體的高度；2利用相似三角形測(cè)量河的寬度；3設(shè)計(jì)方案測(cè)量物體高度我的收獲_參考答案課堂探究利用陽(yáng)光下的影子測(cè)高：(1)構(gòu)造相似三角形，如圖.(2)測(cè)量數(shù)據(jù)：AB(身高)，BC(人影長(zhǎng))，BE (旗桿影長(zhǎng))；待求數(shù)據(jù)：DE(旗桿高)(3)計(jì)算理由：因?yàn)锳CDB(平行光)，所以ACBDBE.因?yàn)锳BCDEB90(直立即為垂直)，所以ABCDEB，有ABDE=BCBE，則DE=ABBEBC.例題解析例1解：太陽(yáng)光是平行光線，因此BAO=EDF.又AOB=DFE=90， ABO DEF. BOEF=OAFD,BO=OAEFFD=20123=134(m).因此金字塔的高度為134 m.小試牛刀1.解析：先利用BDCFGE得到，可計(jì)算出BC6m，然后在RtABC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到AB的長(zhǎng)解：如圖，CD3.6m，BDCFGE，即，BC6m.在RtABC中，A30，AB2BC12m，即樹長(zhǎng)AB是12m.方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題時(shí)，首先要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立相等關(guān)系求解2.解析：根據(jù)物理知識(shí)得到BEADEC，所以可得BAEDCE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答解：如圖，根據(jù)光的反射定律知BEADEC，BAEDCE90，BAEDCE，.CE2.5m，DC1.6m，AB12.8，大樓AB的高度為12.8m.課堂探究解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，AE2.7=10.9,可得AE=3 m，所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).答：這棵樹的高為4.2 m 例題解析例2解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹的頂端A，C恰在一條直線上.ABl，CD l，ABCD.AEH CEK. EHEK=AHCK,即EHEH+5=8-1.612-1.6=6.410.4.解得EH=8(m).由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8 m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，她看不到右邊樹的頂端C.小試牛刀1.解析：根據(jù)在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，交AB于E，DECB9.6m，BECD2m，在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例，EAED11.2，AE8m，ABAEEB8210m，學(xué)校旗桿的高度為10m.方法總結(jié)：利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿(或直尺)的高(長(zhǎng))作為三角形的邊構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度2.解析：設(shè)計(jì)相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可在距離紀(jì)念碑AB的地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測(cè)量出CD、DE、BE的長(zhǎng)，就可算出紀(jì)念碑AB的高解：設(shè)計(jì)方案例子：如圖，在距離紀(jì)念碑AB的地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測(cè)量出CD、DE、BE的長(zhǎng)，就可算出紀(jì)念碑AB的高理由：測(cè)量出CD、DE、BE的長(zhǎng)，因?yàn)镃EDAEB，DB90，易得ABECDE.根據(jù)，即可算出AB的高方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)計(jì)出具體圖形，將實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題求解隨堂檢測(cè)192.153.7.5米4.35.86解：EBCD，ABEACD，ABAC=BECD，即A1.61.6+12.4=1.2CDCD=10.5（米）