二次函數(shù)的綜合應(yīng)用要題隨堂演練1(xx萊蕪中考)如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，DEBC于E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，求線段DE長度的最大值；(3)如圖2，設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連接CD，CF，是否存在點(diǎn)D，使得CDE中有一個(gè)角與CFO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，ACB90，OA，拋物線yax2axa經(jīng)過點(diǎn)B(2，)，與y軸交于點(diǎn)D.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由；(3)延長BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明EDAC的理由3(xx自貢中考)如圖，拋物線yax2bx3過A(1，0)，B(3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長？(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由參考答案1解：(1)由已知得解得yx2x3.(2)設(shè)直線BC的表達(dá)式為ykxb，解得yx3.設(shè)D(a，a2a3)，(0<a<4)如圖，過點(diǎn)D作DMx軸，交BC于點(diǎn)M，M(a，a3)，DM(a2a3)(a3)a23a.DMEOCB，DEMCOB，DEMBOC，.OB4，OC3，BC5，DEDM，DEa2a(a2)2，當(dāng)a2時(shí)，DE取最大值，最大值是.(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得CDE中有一個(gè)角與CFO相等F為AB的中點(diǎn)，OF，tanCFO2.如圖，過點(diǎn)B作BGBC，交CD的延長線于G，過點(diǎn)G作GHx軸，垂足為H.若DCECFO，tanDCE2，BG10.GBHBCO，GH8，BH6，G(10，8)設(shè)直線CG的表達(dá)式為ykxb，解得yx3，解得x或x0(舍)若CDECFO，同理可得BG，GH2，BH，G(，2)同理可得直線CG的表達(dá)式為yx3，解得x或x0(舍)綜上所述，存在D使得CDE中有一個(gè)角與CFO相等，其橫坐標(biāo)是或.2解：(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式得a222aa，解得a.拋物線的表達(dá)式為yx2x.(2)如圖，連接CD，過點(diǎn)B作BFx軸于點(diǎn)F，則BCFCBF90.ACB90，ACOBCF90，ACOCBF.AOCCFB90，AOCCFB，.設(shè)OCm，則CF2m，則有 ，解得m1，OCCF1.當(dāng)x0時(shí)，y，OD，BFOD.DOCBFC90，OCDFCB，DCCB，OCDFCB，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上(3)如圖，過點(diǎn)E作EGy軸于點(diǎn)G，設(shè)直線AB的表達(dá)式為ykxb，則解得直線AB的表達(dá)式為yx.代入拋物線的表達(dá)式得xx2x.解得x2或x2.當(dāng)x2時(shí)，yx，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，)tanEDG，EDG30.tanOAC，OAC30，OACEDG，EDAC.3解：(1)把(1，0)，(3，0)代入函數(shù)表達(dá)式得解得拋物線的表達(dá)式為yx22x3.當(dāng)x2時(shí)，y(2)22(2)3，解得y3，即D(2，3)設(shè)AD的表達(dá)式為ykxb，將A(1，0)，D(2，3)代入得解得直線AD的表達(dá)式為yx1.(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m1)，Q(m，m22m3)，l(m1)(m22m3)，化簡(jiǎn)得lm2m2，配方得l(m)2，當(dāng)m時(shí)，l最大.(3)由(2)可知，0PQ.當(dāng)PQ為邊時(shí)，DRPQ且DRPQ.R是整點(diǎn)，D(2，3)，PQ是正整數(shù)，PQ1或PQ2.當(dāng)PQ1時(shí)，DR1，此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為312或314，R(2，2)或(2，4)當(dāng)PQ2時(shí)，DR2，此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為321或325，即R(2，1)或(2，5)當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，PDQR，且PDQR.設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(n，nm2m3)，則QR22(mn)2.又P(m，m1)，D(2，3)，PD22(m2)2，(m2)2(mn)2，解得n2(不符合題意，舍去)或n2m2，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2m2，m23m1)R是整點(diǎn)，2m1，當(dāng)m1時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，3)；當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，1)綜上所述，存在滿足R的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)