6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系過關(guān)演練(40分鐘90分)1.(xx湖南湘西州)已知O的半徑為5 cm,圓心O到直線l的距離為5 cm,則直線l與O的位置關(guān)系為(B)A.相交B.相切C.相離D.無法確定【解析】圓心到直線的距離=圓的半徑,直線和圓相切.2.如圖為44的網(wǎng)格圖,A,B,C,D,O均在格點(diǎn)上,點(diǎn)O是(B)A.ACD的外心B.ABC的外心C.ACD的內(nèi)心D.ABC的內(nèi)心【解析】如圖,點(diǎn)O是ABC的邊AC的垂直平分線和邊BC的垂直平分線的交點(diǎn),即點(diǎn)O是ABC的外心.3.(xx廣東深圳)如圖,一把直尺,60的直角三角板和光盤如圖擺放,A為60角與直尺交點(diǎn),AB=3,則光盤的直徑是(D)A.3B.33C.6D.63【解析】設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為C,光盤的圓心為O,連接OA,OB,由切線長定理知AB=AC=3,OA平分BAC,OAB=60,在RtABO中,OB=ABtan OAB=33,光盤的直徑為63.4.(xx山東泰安)如圖,BM與O相切于點(diǎn)B,若MBA=140,則ACB的度數(shù)為(A)A.40B.50C.60D.70【解析】連接OA,OB,BM是O的切線,OBM=90,MBA=140,ABO=50,OA=OB,ABO=BAO=50,AOB=80,ACB=12AOB=40.5.如圖,兩個(gè)同心圓,大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn),則弦AB的取值范圍是(D)A.4<AB5B.8<AB10C.4AB5D.8AB10【解析】大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn),即弦AB與小圓相切或相交.當(dāng)AB與小圓相切時(shí),AB最小,大圓半徑為5,小圓的半徑為3,AB的最小值為252-32=8.當(dāng)AB過圓心時(shí),AB最大,為10,8AB10.6.如圖,AB是O的直徑,AM,BN是O的兩條切線,點(diǎn)D,點(diǎn)C分別在AM,BN上,DC切O于點(diǎn)E.連接OD,OC,BE,AE,BE與OC相交于點(diǎn)P,AE與OD相交于點(diǎn)Q,已知AD=4,BC=9.以下結(jié)論:O的半徑為132;ODBE;PB=181313;tan CEP=23.其中正確的有(B)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【解析】由切線長定理可知AD=DE=4,BC=CE=9,DC=4+9=13,過點(diǎn)D作DHBC于點(diǎn)H,HC=9-4=5,DH=132-52=12,即AB=12,O的半徑為122=6,故錯(cuò)誤;由切線長定理可知ODAE,AQO=90,又AB為直徑,AEB=90,AQO=AEB,ODBE,故正確;在RtAOD中,AO=6,AD=4,OD=42+62=213,cos ADO=ADOD=4213=213,又CBE=CEB=CDO=ADO,cos CBE=BPBC=213,解得BP=181313,故正確;在RtAOD中,tan ADO=AOAD=64=32,又ODBE,CEP=CDO=ADO,tan CEP=32,故錯(cuò)誤.7.(xx黑龍江大慶)在ABC中,C=90,AB=10,且AC=6,則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑為2.【解析】C=90,AB=10,AC=6,BC=102-62=8,這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑=6+8-102=2.8.(xx山東威海)如圖,在扇形CAB中,CDAB,垂足為D,E是ACD的內(nèi)切圓,連接AE,BE,則AEB的度數(shù)為135.【解析】連接EC.點(diǎn)E是ADC的內(nèi)心,AEC=90+12ADC=135,在AEC和AEB中,AE=AE,EAC=EAB,AC=AB,EACEAB,AEB=AEC=135.9.如圖,在RtABC中,C=90,BC=3,點(diǎn)O在AB上,OB=2,以O(shè)B長為半徑的O與AC相切于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)F,OEBC,則弦BF的長為2.【解析】連接OD,O與AC相切,ODAC,C=90,OEBC,四邊形CDOE是矩形,OD=OB=2,CE=OD=2,BC=3,BE=1,BF=2.10.如圖,給定一個(gè)半徑為2的圓,圓心O到水平直線l的距離為d,即OM=d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m.如d=0時(shí),l為經(jīng)過圓心O的一條直線,此時(shí)圓上有四個(gè)到直線l的距離等于1的點(diǎn),即m=4.由此可知:(1)當(dāng)d=3時(shí),m=1;(2)當(dāng)m=2時(shí),d的取值范圍是1<d<3.【解析】(1)當(dāng)d=3時(shí),又圓的半徑為2,則圓上只有一個(gè)到直線l的距離等于1的點(diǎn),所以m=1;(2)當(dāng)m=2時(shí),即圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,這時(shí)d的取值范圍是1<d<3.11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,3),(4,3),(0,-1),則ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為(2,1).【解析】作弦AB,AC的垂直平分線,根據(jù)垂徑定理的推論,則交點(diǎn)O1即為圓心,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,3),(4,3),(0,-1),O1的坐標(biāo)是(2,1).12.如圖,在AOB中,O=90,AO=8 cm,BO=6 cm,點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā),在邊AO上以2 cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng);與此同時(shí),點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),在邊BO上以1.5 cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng).過OC的中點(diǎn)E作CD的垂線EF,則當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了178s時(shí),以C點(diǎn)為圓心、1.5 cm為半徑的圓與直線EF相切.【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則AC=2t,BD=1.5t,OC=8-2t,OD=6-1.5t,OCOA=ODOB,O=O,OCDOAB,OCD=A,EFCD,EFC=O=90,EFCBOA,CFCE=OAAB,CE=12OC=4-t,CF=45(4-t),當(dāng)CF=1.5時(shí),直線EF與圓相切,45(4-t)=1.5,解得t=178.13.(8分)(xx遼寧撫順)如圖,RtABC中,ABC=90,以AB為直徑作O,點(diǎn)D為O上一點(diǎn),且CD=CB,連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E.(1)判斷直線CD與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若BE=4,DE=8,求AC的長.解:(1)連接OC.CB=CD,CO=CO,OB=OD,OCBOCD,ODC=OBC=90,ODDC,DC是O的切線.(2)設(shè)O的半徑為r.在RtOBE中,OE2=EB2+OB2,(8-r)2=r2+42,r=3,tan E=OBEB=CDDE,34=CD8,CD=BC=6,在RtABC中,AC=AB2+BC2=62+62=62.14.(8分)(xx天津)已知AB是O的直徑,弦CD與AB相交,BAC=38.(1)如圖1,若D為AB的中點(diǎn),求ABC和ABD的大小;(2)如圖2,過點(diǎn)D作O的切線,與AB的延長線交于點(diǎn)P,若DPAC,求OCD的大小.解:(1)AB是O的直徑,弦CD與AB相交,BAC=38,ACB=90,ABC=90-38=52,D為AB的中點(diǎn),AOB=180,AOD=90,ABD=45.(2)連接OD,DP切O于點(diǎn)D,ODDP,即ODP=90,由DPAC,又BAC=38,P=BAC=38,AOD是ODP的一個(gè)外角,AOD=P+ODP=128,ACD=64,OC=OA,BAC=38,OCA=BAC=38,OCD=ACD-OCA=64-38=26.15.(10分)(xx湖北黃石)如圖,已知A,B,C,D,E是O上五點(diǎn),O的直徑BE=23,BCD=120,A為BE的中點(diǎn),延長BA到點(diǎn)P,使BA=AP,連接PE.(1)求線段BD的長;(2)求證:直線PE是O的切線.解:(1)連接DE,BCD+DEB=180,DEB=180-120=60,BE為直徑,BDE=90,在RtBDE中,DE=12BE=1223=3,BD=3DE=33=3.(2)連接EA,BE為直徑,BAE=90,A為BE的中點(diǎn),ABE=45,BA=AP,EABA,BEP為等腰直角三角形,PEB=90,PEBE,直線PE是O的切線.16.(10分)已知A,B,C是O上的三個(gè)點(diǎn),四邊形OABC是平行四邊形,過點(diǎn)C作O的切線,交AB的延長線于點(diǎn)D.(1)如圖1,求ADC的大小;(2)如圖2,經(jīng)過點(diǎn)O作CD的平行線,與AB交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)F,連接AF,求FAB的大小.解:(1)CD是O的切線,C為切點(diǎn),OCCD,即OCD=90.四邊形OABC是平行四邊形,ABOC,即ADOC.ADC=90.(2)連接OB,則OB=OA=OC.四邊形OABC是平行四邊形,OC=AB.OA=OB=AB,即AOB是等邊三角形.AOB=60.由OFCD,ADC=90,得AEO=ADC=90.OFAB,BF=AF,FOB=FOA=12AOB=30,FAB=12FOB=15.名師預(yù)測1.如圖,AB是O的直徑,直線PA與O相切于點(diǎn)A,PO交O于點(diǎn)C,連接BC,若P=40,則ABC的度數(shù)為(B)A.20B.25C.40D.50【解析】PA是切線,P=40,AB是O的直徑,PAO=90,POA=50,ABC=12POA=25.2.如圖,AB是O的弦,AC是O的切線,A為切點(diǎn),BC經(jīng)過圓心.若B=20,則C的大小等于(D)A.20B.25C.40D.50【解析】連接OA,AC是O的切線,OAC=90,B=20,AOC=40,C=50.3.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與O相切于E,F,G三點(diǎn),過點(diǎn)D作O的切線交BC于點(diǎn)M,切點(diǎn)為N,則DM的長為(A)A.133B.92C.4133D.25【解析】連接OE,OF,ON,OG,如圖,在矩形ABCD中,A=B=90,CD=AB=4.AD,AB,BC分別與O相切于E,F,G三點(diǎn),AEO=AFO=OFB=BGO=90,四邊形AFOE,FBGO都是正方形,AF=BF=AE=BG=2,DE=3,DM是O的切線,DN=DE=3,MN=MG,CM=5-2-MN=3-MN,在RtDMC中,DM2=CD2+CM2,(3+MN)2=(3-MN)2+42,解得MN=43,DM=3+43=133.4.如圖,AB為O的直徑,直線l與O相切于點(diǎn)C,ADl,垂足為D,AD交O于點(diǎn)E,連接OC,BE.若AE=6,OA=5,則線段DC的長為4.【解析】設(shè)OC交BE于點(diǎn)F.AB為O的直徑,AEB=DEF=90,直線l與O相切于點(diǎn)C,OCl,又ADl,四邊形CDEF是矩形,OCBE,EF=DC.在RtABE中,AB=2OA=10,AE=6,BE=AB2-AE2=102-62=8,EF=12BE=4,CD=EF=4.5.如圖,M與x軸相交于點(diǎn)A(2,0),B(8,0),與y軸相切于點(diǎn)C,則圓心M的坐標(biāo)是(5,4).【解析】連接AM,作MNx軸于點(diǎn)N,AN=BN.點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(8,0),OA=2,OB=8,AB=OB-OA=6,AN=BN=3,ON=OA+AN=2+3=5,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是5.M與y軸相切,圓的半徑是5.在RtAMN中,MN=AM2-AN2=52-32=4,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是4,即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(5,4).6.如圖,AB是O的切線,B為切點(diǎn),圓心O在AC上,A=30,D為BC的中點(diǎn).(1)求證:AB=BC;(2)試判斷四邊形BOCD的形狀,并說明理由.解:(1)AB是O的切線,OBA=90,AOB=90-30=60.OB=OC,OBC=OCB=12AOB=30,OCB=A,AB=BC.(2)四邊形BOCD為菱形.理由:連接OD,交BC于點(diǎn)M,D是BC的中點(diǎn),OD垂直平分BC.在RtOMC中,OCM=30,OC=2OM=OD,OM=MD,四邊形BOCD為菱形.7.如圖,已知A,B是O上兩點(diǎn),OAB外角的平分線交O于另一點(diǎn)C,CDAB交AB的延長線于點(diǎn)D.(1)求證:CD是O的切線;(2)E為AB的中點(diǎn),F為O上一點(diǎn),EF交AB于點(diǎn)G,若tan AFE=34,BE=BG,EG=310,求O的半徑.解:(1)連接OC,如圖,BC平分OBD,OBC=CBD,OB=OC,OBC=OCB,OCB=CBD,OCAD,CDAB,OCCD,CD是O的切線.(2)連接OE,交AB于點(diǎn)H,E為AB的中點(diǎn),OEAB,ABE=AFE,tan ABE=tan AFE=34,在RtBEH中,tan HBE=EHBH=34.設(shè)EH=3x,BH=4x,BE=5x,BG=BE=5x,GH=x,在RtEHG中,x2+(3x)2=(310)2,解得x=3,EH=9,BH=12,設(shè)O的半徑為r,則OH=r-9,在RtOHB中,(r-9)2+122=r2,解得r=252,即O的半徑為252.8.如圖,在ABC中,C=90,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC,AB于點(diǎn)E,F.(1)若B=30,求證:以A,O,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,連接AD,求O的半徑和AD的長.解:(1)如圖1,連接OD,OE,ED.BC與O相切于點(diǎn)D,ODBC.ODB=90=C,ODAC.B=30,A=60.OA=OE,AOE是等邊三角形,AE=AO=OD,四邊形AODE是平行四邊形.又OA=OD,四邊形AODE是菱形.(2)設(shè)O的半徑為r.ODAC,OBDABC.ODAC=OBAB,即r6=10-r10,解得r=154,O的半徑為154.如圖2,連接OD,DF.ODAC,DAC=ADO.OA=OD,ADO=DAO.DAC=DAO.AF是O的直徑,ADF=90=C.ADCAFD,ADAC=AFAD,AD2=ACAF.AC=6,AF=1542=152,AD2=1526=45,AD=35.9.如圖,在ABC中,AB=AC,AOBC于點(diǎn)O,OEAB于點(diǎn)E,以點(diǎn)O為圓心,OE為半徑作半圓,交AO于點(diǎn)F.(1)求證:AC是O的切線;(2)若F是OA的中點(diǎn),OE=3,求圖中陰影部分的面積;(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PE+PF取最小值時(shí),直接寫出BP的長.解:(1)作OHAC于點(diǎn)H,如圖,AB=AC,AOBC于點(diǎn)O,AO平分BAC,OEAB,OHAC,OH=OE,AC是O的切線.(2)F是AO的中點(diǎn),AO=2OF=6,OE=3,OAE=30,AOE=60,AE=3OE=33,圖中陰影部分的面積=SAOE-S扇形EOF=12333-6032360=93-32.(3)作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F,連接EF交BC于點(diǎn)P,連接PF,如圖,PF=PF,PE+PF=PE+PF=EF,此時(shí)EP+FP最小,OF=OF=OE,F=OEF,AOE=F+OEF=60,F=30,F=EAF,EF=EA=33,即PE+PF的最小值為33,在RtOPF中,OP=33OF=3,在RtABO中,OB=33OA=336=23,BP=23-3=3,即當(dāng)PE+PF取最小值時(shí),BP的長為3.