基于Lie對稱性方法的車輛非線性懸掛系統(tǒng)振動特性研究傅景禮1 鄭明亮2 (1. 浙江理工大學理學院 杭州 310018） （2.浙江理工大學機械與控制學院 杭州 310018）摘要：本文主要基于Lie對稱性方法精確求解了車輛懸掛系統(tǒng)的非線性結構振動問題。考慮懸掛系統(tǒng)中空氣彈簧和液壓阻尼器的非線性特性，依據分析力學方法建立了單自由度懸掛系統(tǒng)結構振動模型，運用微分方程Lie群變換理論求解了系統(tǒng)的對稱性和守恒量，以車輛乘客舒適度為系統(tǒng)振動性能指標，進行了系統(tǒng)振動特性對剛度、阻尼、非線性系數、路面不平度等懸掛參數的全局靈敏度分析。實際算例表明用Lie對稱性理論研究機械結構非線性動力學系統(tǒng)力學特性，方法新穎，適用范圍廣，結果可靠準確。關鍵字：車輛懸掛系統(tǒng)；非線性特性；Lie對稱性；振動靈敏度中圖分類號：0322 文獻標識碼：A 文章編號：引言： 懸架系統(tǒng)是現代車輛的重要總成之一，其主要任務是傳遞作用在車輪與車身之間的一切力和力矩，并緩和由不平路面?zhèn)鹘o車身的沖擊載荷，衰減由此引起的承載系統(tǒng)振動，它對車輛的運動乘坐舒適性、穩(wěn)定性等有很大的影響1?，F代車輛懸掛系統(tǒng)非線性因素在一定的載荷和頻率域內對其動力學響應影響十分突出，因此，建立非線性懸架模型并利用現代動力學理論開展研究，對于改善車輛動力學性能有重要意義。 目前，對于車輛懸架非線性動力學系統(tǒng)系統(tǒng)的研究，多以數值仿真為主，即采用數值積分方法，計算系統(tǒng)的振動響應，從而分析系統(tǒng)中存在的分岔、混沌現象2-5。而在非線性微分方程解析精確解求研究方面，大多基于攝動法、多尺度法等傳統(tǒng)的解析方法開展6-7，其共同特點是引入小參數，將原系統(tǒng)處理為弱非線性系統(tǒng)再研究；橢圓函數攝動法、廣義諧波函數攝動法、增量諧波平衡方法8-10等雖適用于強非線性系統(tǒng)，但計算過程比較復雜。Lie對稱性理論在處理線性和非線性、常系數和變系數微分方程的問題都是等同的，它和其他的現代分析方法一起，是求常/偏微分方程的解析解的最可能統(tǒng)一的工具，可以用來進行大范圍的參數研究，且計算過程簡介和易于程序化特點11。國內外關于利用Lie對稱性方法研究車輛懸架系統(tǒng)非線性動力學還少有報道。本文基于Lie對稱性方法對車輛懸掛系統(tǒng)非線性響應進行研究，進而指出懸掛系統(tǒng)參數對結構振動特性的影響，為實現懸架的優(yōu)化設計和合理控制策略提供理論依據。1動力學系統(tǒng)的Lie對稱解法 設完整約束非奇異力學Lagrange系統(tǒng)以廣義加速度形式的微分方程為： （1-1）引進時間和坐標的特殊無限小變換： （1-2）其中為無限小參數，為無限小生成元。 微分運動方程的Lie對稱性是指方程(1-1)在上述無限小變換（1-2）下形式不變12，即： （1-3）上式也可以表述成Lie對稱性確定方程： （1-4） 其中：，。Lie確定方程（1-4）展開形式為： (1-5) 微分方程群分析是用來尋找微分方程的對稱性，連續(xù)變換的對稱性都對應著一條守恒定律，一個守恒量對應一個首次積分，進而系統(tǒng)微分方程達到降階和約化，守恒律在微分方程的可積性、線性化、運動常數方面有重要作用。Lie對稱性可直接導致新型守恒量，再結合初始條件，從而很容易解出原高階系統(tǒng)的精確響應解。 系統(tǒng)的能量Lagrange函數，如果存在某規(guī)范函數使結構方程： (1-6)成立，則系統(tǒng)Lie對稱性對應的守恒量表達式為12： (1-7)直接對上式左邊積分并結合(1-1)、(1-6)式可得到：。2車輛懸掛系統(tǒng)非線性動力學模型 車輛懸掛系統(tǒng)主有彈性元件、減振器和導向機構三個基本部分組成。此外還包括一些特殊功能的部件，如穩(wěn)定桿和緩沖塊等13 ，如圖1所示?？諝鈴椈勺鳛橐豢钚阅軆?yōu)異的彈性元件，具有很多優(yōu)點，主要由上下蓋板、橡膠墊、附加空氣室、高度控制閥與橡膠囊等部件組成，可緩和由道路不平順引起的沖擊。液壓減振器主要由活塞、上下聯件、液缸、和活塞桿等零件組成，液體阻尼的作用是使系統(tǒng)在運動過程中進行能量耗散，從而達到減振。 圖2 車輛懸架系統(tǒng)組成 由于實際結構復雜、動力學影響因素較多，所以要想建立精確的懸掛系統(tǒng)模型是很困難的。為分析問題方便且所得到的結果又比較合理可靠，不失一般性，本文以1/4車體為研究對象，建立了單自由度結構振動力學模型，如圖2所示。 圖2 結構振動力學模型其中為車體質量，為軌道不平順激勵，為彈簧恢復力，為減振器阻尼力，為車體的位移，懸掛的空氣彈簧與阻尼器均為非線性，其特征可描述為14： （2-1） （2-2）其中，為剛度和阻尼的非線性小系數。 下面我們利用分析力學的方法推導出系統(tǒng)的振動微分方程，取系統(tǒng)平衡位置為坐標原點，系統(tǒng)的動能、勢能和Lagrange函數為： （2-3）系統(tǒng)粘性阻尼耗散函數為： （2-4）任何振動或運動系統(tǒng)，根據分析力學中第二類Lagrange方程12 系統(tǒng)廣義激振力，展開得到懸掛系統(tǒng)結構振動方程為： (2-5)位移激勵采用余弦函數波譜：，為道路不平度幅值，為激勵角頻率，令，上式簡化為： （2-6）3懸掛系統(tǒng)振動特性靈敏度分析 微分方程(2-6)式代入Lie對稱無限小變換確定方程(1-5)式，得到： （3-1）顯然它有解，代入到系統(tǒng)的結構方程(1-6)和守恒量方程(1-7)得到： （3-2） 對車輛結構振動舒適性的評價，主要是通過車身垂直振動加速度的均方根植來計算。令： （3-3）其中，T為合理的時間測試常數，一般可取3080。一般越小，表示振動越舒服。取系統(tǒng)的懸掛參數為剛度、阻尼、非線性系數、路面不平度,則振動舒適度全局靈敏度向量為： (3-4)對于具體的車輛系統(tǒng)模型，可以進一步計算舒適度對懸掛參數的靈敏度數值大小。4. 算列說明 以普通某型客車為例進行懸架系統(tǒng)的結構振動特性分析，車輛參數示于表1中：表1 汽車懸架系統(tǒng)的基本參數車體質量(kg)激勵幅值(m)彈簧剛度（kN/m)剛度非線性系數液壓阻尼（kN*s/m)阻尼非線性系數系統(tǒng)自由振動方程的Lie對稱性導致的守恒量為：系統(tǒng)強迫振動的響應解析解與數值解對比如圖： 圖3 車體振動響應曲線圖中可以看出，曲線趨勢基本吻合，Lie對稱性法結果是比較合理可靠的。改變系統(tǒng)的結構參數剛度、阻尼、非線性系數以及激勵幅值得到振動舒適度隨之的變化影響： 圖4振動舒適度與剛度關系圖 圖5振動舒適度與阻尼關系圖 圖6振動舒適度與激勵幅值關系圖 圖7 振動舒適度與非線性系數關系圖由上述圖我們可知，激勵幅值變化對懸掛振動舒適度影響非常明顯，對振動舒適度影響比較明顯，而對其影響卻不明顯，改變非線性系數，同樣以影響舒適度，但當系數趨于一定數值時不產生巨大變化。同時，當激振力頻率在懸架固有頻率附近4.5變化時，系統(tǒng)有可能發(fā)生共振，舒適度最差。綜上所述，由解析計算結果看出，合理選取各懸掛參數值，使懸架系統(tǒng)的變形量降到最小，對汽車振動舒適度問題具有重要的作用。 總結語： 本文應用Lie對稱分析方法研究了車輛懸架系統(tǒng)兩自由度受迫振動系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)的精確的動態(tài)響應曲線，并將結果與數值計算方法進行了對比，結果表明，Lie分析方法對于求解非線性方程是高效、準確的。其次，研究了車輛振動舒適度關于剛度系數、阻尼系數、路面激勵幅值以及非線性系數等的全局靈敏度分析，實際算例表明，激勵幅值對車輛懸掛系統(tǒng)的振動影響很大，系統(tǒng)參數剛度即立方非線性項對其振動特性較大，阻尼即平方非線性項對其振動特性沒有明顯的影響，振動舒適度隨非線性系數增大而變化，結果指明了車輛系統(tǒng)動力學懸掛參數的修改方向。本文的研究內容也為車輛懸掛系統(tǒng)的先進控制方法和結構優(yōu)化設計提高奠定了基礎。參考文獻1 郭孔輝.汽車操縱動力學原理M.南京:江蘇鳳凰科學技術出版社,2011.2 Borowiec M ,Litak G,Friswelll M I.Nonlinear response of an oscillator with magneto-rheological damper subjected to external forcingJ.Applied M echanics and M aterials,2006,5 /6: 277-234.3 謝俊,郭晨海,劉軍,等.非線性懸架動力學數值模擬和性能評價J.江蘇大學學報:自然科學版,2004,3(25):216-222.4 Qin Gbu, lsbitobi M. Chaos and bifurcation in a nonlinear vehicle modelJ. Journal of Sound and Vibration, 2004( 275):1136-1142.5 盛云.吳光強.汽車非線性懸架的混沌研究J.汽車工程.2008, 30(1):57-63.6 李韶華.楊紹普.采用改進Bingliam模型的非線性汽車懸架的主共振J.振動與沖擊.2006, 25(4) : 109-1157 孫蓓蓓.周長峰.張曉陽.等.工程車輛橡膠懸架系統(tǒng)的非線性動力學特性J.東南人學學報.2007, 37( 6) : 974-980.8 盧勝文.賈啟芬.于雯.等.汽車多自由度懸架的非線性振動特性J.應用力學學報.2005, 22(3) : 461-4679 Raghothama A,Narayanan S.Bifurcation and chaos in geared rotor bearing system by incremental har-monk balance methodJ.Journal of Sound and Vi-bration, 1999, 226(3):469-492.10 陳樹輝.強非線性振動系統(tǒng)的定量分析方法M.北京:科學出版社,2007.11 田疇.李群及其在微分方程中的應用M.科學出版社,2003.12 梅鳳翔.李群和李代數對約束力學系統(tǒng)的應用M.北京:科學出版社.1999.13 任尊松.車輛系統(tǒng)動力學M.北京:中國鐵道出版社,007:1-200.14 李異.鐵路液壓減振器的應用研究D.成都:西南交通大學,2007:22-30.