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1、基于Lie對稱性方法的車輛非線性懸掛系統(tǒng) 振動特性研究 傅景禮[1] 鄭明亮[2] (1. 浙江理工大學(xué)理學(xué)院 杭州 310018） （2.浙江理工大學(xué)機(jī)械與控制學(xué)院 杭州 310018） 摘要：本文主要基于Lie對稱性方法精確求解了車輛懸掛系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu)振動問題?？紤]懸掛系統(tǒng)中空氣彈簧和液壓阻尼器的非線性特性，依據(jù)分析力學(xué)方法建立了單自由度懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動模型，運用微分方程Lie群變換理論求解了系統(tǒng)的對稱性和守恒量，以車輛乘客舒適度為系統(tǒng)振動性能指標(biāo)，進(jìn)行了系統(tǒng)振動特性對剛度、阻尼

2、、非線性系數(shù)、路面不平度等懸掛參數(shù)的全局靈敏度分析。實際算例表明用Lie對稱性理論研究機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)系統(tǒng)力學(xué)特性，方法新穎，適用范圍廣，結(jié)果可靠準(zhǔn)確。 關(guān)鍵字：車輛懸掛系統(tǒng)；非線性特性；Lie對稱性；振動靈敏度 中圖分類號：0322 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號： 引言： 懸架系統(tǒng)是現(xiàn)代車輛的重要總成之一，其主要任務(wù)是傳遞作用在車輪與車身之間的一切力和力矩，并緩和由不平路面?zhèn)鹘o車身的沖擊載荷，衰減由此引起的承載系統(tǒng)振動，它對車輛的運動乘坐舒適性、穩(wěn)定性等有很大的影響[1]?，F(xiàn)代車輛懸掛系統(tǒng)非線性因素在一定的載荷和頻率域內(nèi)對其動力學(xué)響應(yīng)影響十分突出，因此，建立非線性懸架

3、模型并利用現(xiàn)代動力學(xué)理論開展研究，對于改善車輛動力學(xué)性能有重要意義。 目前，對于車輛懸架非線性動力學(xué)系統(tǒng)系統(tǒng)的研究，多以數(shù)值仿真為主，即采用數(shù)值積分方法，計算系統(tǒng)的振動響應(yīng)，從而分析系統(tǒng)中存在的分岔、混沌現(xiàn)象[2-5]。而在非線性微分方程解析精確解求研究方面，大多基于攝動法、多尺度法等傳統(tǒng)的解析方法開展[6-7]，其共同特點是引入小參數(shù)，將原系統(tǒng)處理為弱非線性系統(tǒng)再研究；橢圓函數(shù)攝動法、廣義諧波函數(shù)攝動法、增量諧波平衡方法[8-10]等雖適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，但計算過程比較復(fù)雜。Lie對稱性理論在處理線性和非線性、常系數(shù)和變系數(shù)微分方程的問題都是等同的，它和其他的現(xiàn)代分析方法一起，是

4、求常/偏微分方程的解析解的最可能統(tǒng)一的工具，可以用來進(jìn)行大范圍的參數(shù)研究，且計算過程簡介和易于程序化特點[11]。國內(nèi)外關(guān)于利用Lie對稱性方法研究車輛懸架系統(tǒng)非線性動力學(xué)還少有報道。本文基于Lie對稱性方法對車輛懸掛系統(tǒng)非線性響應(yīng)進(jìn)行研究，進(jìn)而指出懸掛系統(tǒng)參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動特性的影響，為實現(xiàn)懸架的優(yōu)化設(shè)計和合理控制策略提供理論依據(jù)。 1動力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱解法 設(shè)完整約束非奇異力學(xué)Lagrange系統(tǒng)以廣義加速度形式的微分方程為： （1-1） 引進(jìn)時間和坐標(biāo)的特殊無限小變換：

5、 （1-2） 其中為無限小參數(shù)，為無限小生成元。 微分運動方程的Lie對稱性是指方程(1-1)在上述無限小變換（1-2）下形式不變[12]，即： （1-3） 上式也可以表述成Lie對稱性確定方程： （1-4） 其中：，， 。 Lie確定方程（1-4）展開形式為： (1-5) 微分方程群分析是用來尋找微分方程的對稱性，連

6、續(xù)變換的對稱性都對應(yīng)著一條守恒定律，一個守恒量對應(yīng)一個首次積分，進(jìn)而系統(tǒng)微分方程達(dá)到降階和約化，守恒律在微分方程的可積性、線性化、運動常數(shù)方面有重要作用。Lie對稱性可直接導(dǎo)致新型守恒量，再結(jié)合初始條件，從而很容易解出原高階系統(tǒng)的精確響應(yīng)解。 系統(tǒng)的能量Lagrange函數(shù)，如果存在某規(guī)范函數(shù)使結(jié)構(gòu)方程： (1-6) 成立，則系統(tǒng)Lie對稱性對應(yīng)的守恒量表達(dá)式為[12]： (1-7) 直接對上式左邊積分并結(jié)合(

7、1-1)、(1-6)式可得到：。 2車輛懸掛系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型 車輛懸掛系統(tǒng)主有彈性元件、減振器和導(dǎo)向機(jī)構(gòu)三個基本部分組成。此外還包括一些特殊功能的部件，如穩(wěn)定桿和緩沖塊等[13] ，如圖1所示?？諝鈴椈勺鳛橐豢钚阅軆?yōu)異的彈性元件，具有很多優(yōu)點，主要由上下蓋板、橡膠墊、附加空氣室、高度控制閥與橡膠囊等部件組成，可緩和由道路不平順引起的沖擊。液壓減振器主要由活塞、上下聯(lián)件、液缸、和活塞桿等零件組成，液體阻尼的作用是使系統(tǒng)在運動過程中進(jìn)行能量耗散，從而達(dá)到減振。 圖2 車輛懸架系統(tǒng)組成 由于實際結(jié)構(gòu)復(fù)雜、動力學(xué)影響因素較多，所以要想建立精確的懸掛系統(tǒng)模型是很

8、困難的。為分析問題方便且所得到的結(jié)果又比較合理可靠，不失一般性，本文以1/4車體為研究對象，建立了單自由度結(jié)構(gòu)振動力學(xué)模型，如圖2所示。 圖2 結(jié)構(gòu)振動力學(xué)模型 其中為車體質(zhì)量，為軌道不平順激勵，為彈簧恢復(fù)力，為減振器阻尼力，為車體的位移，懸掛的空氣彈簧與阻尼器均為非線性，其特征可描述為[14]： （2-1） （2-2） 其中，為剛度和阻尼的非線性小系數(shù)。

9、 下面我們利用分析力學(xué)的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)的振動微分方程，取系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點，系統(tǒng)的動能、勢能和Lagrange函數(shù)為： （2-3） 系統(tǒng)粘性阻尼耗散函數(shù)為： （2-4） 任何振動或運動系統(tǒng)，根據(jù)分析力學(xué)中第二類Lagrange方程[12] 系統(tǒng)廣義激振力，展開得到懸掛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動方程為： (2-5) 位移激勵采用余弦函數(shù)波譜：，為道路不平度幅值，為激勵角頻率，令，上式簡化為

10、： （2-6） 3懸掛系統(tǒng)振動特性靈敏度分析 微分方程(2-6)式代入Lie對稱無限小變換確定方程(1-5)式，得到： （3-1） 顯然它有解，代入到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程(1-6)和守恒量方程(1-7)得到： （3-2） 對車輛結(jié)構(gòu)振動舒適性的評價，主要是通過車身垂直振動加速度的均方根植來計算。令： （3-3） 其中，T為合理的時間測試常數(shù)，一般可

11、取30~80。一般越小，表示振動越舒服。 取系統(tǒng)的懸掛參數(shù)為剛度、阻尼、非線性系數(shù)、路面不平度,則振動舒適度全局靈敏度向量為： (3-4) 對于具體的車輛系統(tǒng)模型，可以進(jìn)一步計算舒適度對懸掛參數(shù)的靈敏度數(shù)值大小。 4. 算列說明 以普通某型客車為例進(jìn)行懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動特性分析，車輛參數(shù)示于表1中： 表1 汽車懸架系統(tǒng)的基本參數(shù) 車體質(zhì)量 (kg) 激勵幅值 (m) 彈簧剛度 （kN/m) 剛度非線性系數(shù) 液壓阻尼 （kN*s/m) 阻尼非線性系數(shù)

12、 系統(tǒng)自由振動方程的Lie對稱性導(dǎo)致的守恒量為： 系統(tǒng)強(qiáng)迫振動的響應(yīng)解析解與數(shù)值解對比如圖： 圖3 車體振動響應(yīng)曲線 圖中可以看出，曲線趨勢基本吻合，Lie對稱性法結(jié)果是比較合理可靠的。 改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)剛度、阻尼、非線性系數(shù)以及激勵幅值得到振動舒適度隨之的變化影響： 圖4振動舒適度與剛度關(guān)系圖 圖5振動舒適度與阻尼關(guān)系圖 圖6振動舒適度與激勵幅值關(guān)系圖 圖7 振動舒適度與非線性系數(shù)關(guān)系圖 由上述圖我們可知，激勵幅值變化

13、對懸掛振動舒適度影響非常明顯，對振動舒適度影響比較明顯，而對其影響卻不明顯，改變非線性系數(shù)，同樣以影響舒適度，但當(dāng)系數(shù)趨于一定數(shù)值時不產(chǎn)生巨大變化。同時，當(dāng)激振力頻率在懸架固有頻率附近4.5變化時，系統(tǒng)有可能發(fā)生共振，舒適度最差。綜上所述，由解析計算結(jié)果看出，合理選取各懸掛參數(shù)值，使懸架系統(tǒng)的變形量降到最小，對汽車振動舒適度問題具有重要的作用。 總結(jié)語： 本文應(yīng)用Lie對稱分析方法研究了車輛懸架系統(tǒng)兩自由度受迫振動系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)的精確的動態(tài)響應(yīng)曲線，并將結(jié)果與數(shù)值計算方法進(jìn)行了對比，結(jié)果表明，Lie分析方法對于求解非線性方程是高效、準(zhǔn)確的。其次，研究了車輛振動舒適度

14、關(guān)于剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、路面激勵幅值以及非線性系數(shù)等的全局靈敏度分析，實際算例表明，激勵幅值對車輛懸掛系統(tǒng)的振動影響很大，系統(tǒng)參數(shù)剛度即立方非線性項對其振動特性較大，阻尼即平方非線性項對其振動特性沒有明顯的影響，振動舒適度隨非線性系數(shù)增大而變化，結(jié)果指明了車輛系統(tǒng)動力學(xué)懸掛參數(shù)的修改方向。本文的研究內(nèi)容也為車輛懸掛系統(tǒng)的先進(jìn)控制方法和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提高奠定了基礎(chǔ)。 參考文獻(xiàn) [1] 郭孔輝.汽車操縱動力學(xué)原理[M].南京:江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社,2011. [2] Borowiec M ,Litak G,Friswelll M I.Nonlinear response of an os

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