一個完整的數(shù)學(xué)建模過程主要由三部分組成：1、用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對實際問題進(jìn)行描述2、采取各種數(shù)學(xué)和計算機(jī)手段求解模型3、從實際的角度分析模型的結(jié)果，考察其是否合理、是否具有實際意義？,如何建立一個完整的數(shù)學(xué)模型仇秋生數(shù)理信息工程學(xué)院,一、模型準(zhǔn)備,了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征,形成一個比較清晰的“問題”,拿到需要解決的問題之后，首先應(yīng)該做的事情是:了解有關(guān)背景知識，查閱前人在這方面的工作，并在此基礎(chǔ)上探討解決問題的方法。,例1.1CMCM-96B題：節(jié)水洗衣機(jī),由于淡水資源的短缺以及洗衣機(jī)的廣為普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌后洗衣機(jī)的運(yùn)行程序為：加水一漂洗一脫水一加水一漂洗一脫水一，(稱“加水一漂水一脫水”為一輪。)現(xiàn)為洗衣機(jī)設(shè)計一種程序(包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理數(shù)據(jù)計算。,洗衣的基本原理,洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物。無論是如何精心設(shè)計的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過程就是通過加水來實現(xiàn)上述“溶污物一脫污水”動作的反復(fù)執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直到滿意的程度.通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解.洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西.因此“污物”應(yīng)是衣物上原有污物與洗滌劑的總和.,例1.2：CMCM-92B題。,組成生命蛋白質(zhì)的若干種氨基酸可以形成不同的組合。通過質(zhì)譜實驗測定分子量來分析蛋白質(zhì)分子的組成時，遇到的首要問題是如何將它的分子量X分解為幾個氨基酸的已知分子量之和。,分析：題目要求根據(jù)蛋白質(zhì)的分子量給出所有的氨基酸組合方式。,令M為蛋白質(zhì)的分子量，表示第i種氨基酸的分子量，ai表示第i種氨基酸的數(shù)目，問題歸結(jié)為求解下列不定方程,計算結(jié)果表明，當(dāng)?shù)鞍踪|(zhì)的分子量為1000時，解的個數(shù)已達(dá)到28268個，這樣的模型對于實際的工作而言并無多大的意義。,要想建立一個合理的有用的模型，首先應(yīng)該了解生物學(xué)中關(guān)于蛋白質(zhì)組成以及化學(xué)中關(guān)于分子結(jié)構(gòu)測試方面的知識，例如原題中提到了質(zhì)譜儀的使用，質(zhì)譜儀可以精確測定分子量和分子式，即可以知道蛋白質(zhì)分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數(shù)目，利用這些信息，不僅可以大減少解的數(shù)目和計算機(jī)運(yùn)行時間，而且便模型更具有實用性。,有些問題可能是某一領(lǐng)域中早已存在的問題，專家們已經(jīng)有過許多研究，充分利用他們的研究結(jié)果，對于建模有很大的幫助.例如:,CMCM-91B題（施肥效果分析）,農(nóng)學(xué)家已經(jīng)總結(jié)出肥料對作物生長作用的一些規(guī)律，如米采利希學(xué)說：只增加某種養(yǎng)分x時，引起產(chǎn)量的增加與該種養(yǎng)分供應(yīng)充足時達(dá)到的最高產(chǎn)量A與現(xiàn)有產(chǎn)量W的差成正比：,其中C為常數(shù)，綜合運(yùn)用這些農(nóng)學(xué)家的經(jīng)驗規(guī)律，結(jié)合所給實驗數(shù)據(jù)，就容易建立施肥量與產(chǎn)量關(guān)系的模型。,例1.3CMCM-92A題（施肥效果分析）,總之，抓住了本質(zhì)的東西，建立的模型才是有合理性，一個模型的優(yōu)與劣，最根本的是在于是否采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ侠淼孛枋隽藢嶋H問題，而不是取決于是否用到了高深的數(shù)學(xué)知識。,二、模型假設(shè),1、假設(shè)的依據(jù):（1）、對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識。（2）、對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析。,針對問題特點(diǎn)和建模目的，作出合理的、簡化的假設(shè)設(shè)，在合理與簡化之間作出折中,2、基本原則：（1）多數(shù)的原則。如曲線擬合時，可根據(jù)多數(shù)點(diǎn)的分布趨勢來確定曲線，經(jīng)驗證后，選擇誤差少的曲線。（2）發(fā)展的原則。觀察事物的發(fā)展方向。（3）主導(dǎo)性的原則。分析何種因素起主導(dǎo)作用。如修盤山公路，主導(dǎo)性因素是公路坡度在一個合理范圍內(nèi)。（4）相對性的原則。,例2.1：AMCM-92B題，在應(yīng)急系統(tǒng)的研制過程中，優(yōu)秀論文作者作了如下假定：,（1）、從派遣中心到事故發(fā)生地點(diǎn)的距離以兩地橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之差的絕對值之和度量（2）、修理隊總以30里/小時的平均速度行駛（3）、在緊急情況下，修理隊隨時可供派遣（4）、修理隊的車輛無損壞情況這些假設(shè)給應(yīng)急系統(tǒng)的設(shè)計帶來了方便,3、假設(shè)的分類：（1）簡化問題的假設(shè)。（2）對所研究對象進(jìn)行近似，使之滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必需的前提條件。,例2.2：椅子能否在不平的地面放穩(wěn)？,第二條假設(shè)為我們利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理奠定了基礎(chǔ)。,模型假設(shè),四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,建立數(shù)學(xué)模型就是采用或建立某種數(shù)學(xué)方法來解決具體的問題，而每種理論的應(yīng)用都必須滿足一定的理想化條件，因此能否應(yīng)用某種數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于所研究對象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是，對于一個假設(shè)，最重要的是它是否符合實際情況，而不是為了解決問題的方便，即假設(shè)必須合理。,例2.3：雙層玻璃窗的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，如圖所示：兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，試建立一個模型描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)（即流失）過程。,以上假設(shè)為我們利用熱傳導(dǎo)定理奠定了基礎(chǔ)。,假設(shè),1、熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流,2、T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài),3、材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),例2.4：AMCM-89A題要求對蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前，作了如下假設(shè)：,1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長度的總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)與學(xué)習(xí)樣本所能反映的值是相符的，2、觸角長度x和y服從二維正態(tài)分布,這兩條假設(shè)為從概率論的角度對蠓蟲進(jìn)行分類提供了根據(jù)，由于統(tǒng)計方法的應(yīng)用必須建立在對大量樣本進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，而我們面臨的問題是，題中所給的數(shù)據(jù)（15個學(xué)習(xí)樣本）太少，因此優(yōu)秀論文作者清醒指出，這些假設(shè)未必一定可靠，這顯示了他們對實際問題及所用方法的深刻見解，,例2.5：AMCM-86A題水道測量數(shù)據(jù)。對海底地形圖的插值擬合，其成立的條件是曲面必須光滑，因此有必要假設(shè)，海底地形無陡峭形狀，可當(dāng)作光滑曲面處理，在實際中，由于海水的不斷沖蝕，這個假設(shè)是近似成立的，這樣就為模型的合理性提供了依據(jù)。,三、模型的建立,1、分析問題，闡明建模的依據(jù)。不同性質(zhì)的問題需要采用不同的數(shù)學(xué)方法加以解決，建立什么樣的模型是由問題的本質(zhì)決定的。,例3.1、Logistic模型。資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，即增長率是人口數(shù)的減函數(shù)。最簡單的假設(shè)是,例3.2CMCM-04B電力市場輸電阻塞模型關(guān)于有功潮流近似表達(dá)的確定，有一篇優(yōu)秀論文是怎樣分析的：根據(jù)功率疊加原理，我們認(rèn)為各線路上的有功潮流應(yīng)為各發(fā)電機(jī)組出力的線性組合。,隨機(jī)抽取兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗。如線路1受機(jī)組1的影響，線路3受機(jī)組4的影響，可以發(fā)現(xiàn)，有功潮流受到各機(jī)組的影響近似成線性關(guān)系。因此假設(shè)有功潮流關(guān)于各個機(jī)組出力的函數(shù)關(guān)系為,2采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法建立模型主要有以下幾種類型（1）優(yōu)化模型根據(jù)已知信息，對某一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，如費(fèi)用最小，時間最短等。如AMCM89B設(shè)計飛機(jī)排隊起飛的系統(tǒng)，CMCM-96B節(jié)水洗衣機(jī)，CMCM-010B鋼管訂購和運(yùn)輸，等等。,一般分三種情況。1）給出了明確的優(yōu)化目標(biāo)2）有些問題本身的性質(zhì)（如圖與網(wǎng)絡(luò)中的NPC問題）決定了無法找到最優(yōu)解。應(yīng)從實際出發(fā)，設(shè)計近似算法，使目標(biāo)盡可能優(yōu)化。3）沒有提出明確的優(yōu)化目標(biāo)，應(yīng)根據(jù)實際需要，提出合理的優(yōu)化目標(biāo)。,（2）微分方程模型所研究對象與已知因素之間的關(guān)系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A動物群體的增長。CMCM-96A最優(yōu)捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。,（3）統(tǒng)計分析模型如AMCM-89A可以用統(tǒng)計學(xué)中的Fisher判別法對蠓蟲加以分類。,（4）插值與擬合模型這是離散數(shù)據(jù)連續(xù)化處理時常用的方法。如AMCM-86A題海底地形的描繪，AMCM-91A水塔水流量的估計等。,（5）其它。如計算機(jī)模擬，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題解題方法總結(jié),方法總結(jié)：,用的最多的方法是：微分方程、優(yōu)化化方法和概率統(tǒng)計的方法.插值與擬合，隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時很有必要?；疑到y(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)經(jīng)常被亂用。層次分析只能做半定量分析,3創(chuàng)造性地改造已有模型。數(shù)學(xué)建模的問題一般來自解決的實際問題，沒有現(xiàn)成的模型可直接套，能否提出自己見解是評價一個數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。因為時間和知識水平的限制，一般在現(xiàn)有的模型上對已有的模型進(jìn)行必要的修正，或者創(chuàng)造條件而使用這些模型。,例3.3：AMCM-96A，北卡羅米納隊利用等高線圖確定目標(biāo)的方法很有創(chuàng)造性，盡管有其他不足，仍被評為特獎。,例3.5：CMCM-00A題DNA序列分類問題，需要做的是提DNA序列的分類特征。,例3.5減肥問題,在以下假設(shè)下：1、體重增加正比于吸收的熱量；2、代謝引起的體重減少正比于體重；3、運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式有關(guān)。得到下面的基本模型：,四、模型簡化,根據(jù)賽題的實際情況，對建立的模型作出合理的簡化是解決問題的關(guān)鍵。,例4.1CMCM-98B,根據(jù)題意，得到購買Si的金額為xi的交易費(fèi)為,但因M相當(dāng)大，Si若被選中，其投資額xi一般都超過ui，交易費(fèi)可簡化為,數(shù)學(xué)模型的建立是一個從實際數(shù)學(xué)實際的過程，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對實際問題進(jìn)行抽象化描述后，可編寫計算機(jī)程序或運(yùn)用各種軟件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的數(shù)學(xué)軟件包）對模型進(jìn)行求解，得到數(shù)學(xué)結(jié)果之后，問題并未完全解決，前已述及，我們在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，作了各種近似和簡化，而且更重要的是，我們建立的數(shù)學(xué)模型僅用到了題中給出的數(shù)據(jù)，因此，模型的結(jié)果是否具有實際意義或滿足實際要求，有待于細(xì)致的分析。,五、模型求解及結(jié)果的分析,一個最典型的例子是：AMCM-92A題控制空中交通雷達(dá)發(fā)射功率的計算。,按照原題中給出的關(guān)于接收線路的靈敏度即對10微瓦的信號會作出反應(yīng)，通過模型計算，對于大飛機(jī)（保證雷達(dá)反射截面大于75米2）而言，雷達(dá)發(fā)射功率為7.3106瓦，雖然很大，但還是可以達(dá)到。要控測到小飛機(jī)（雷達(dá)反射截面約為2米2），雷達(dá)需要的發(fā)射功率為2.61013瓦！這顯然是不合理的。,優(yōu)秀論文作者通過查閱資料，由1944年某雷達(dá)天線信噪比的數(shù)據(jù)算出，該雷達(dá)可以對瓦的信號作出反應(yīng)，相比之下，本題所給的雷達(dá)的靈敏度就太差了，按照瓦的靈敏度重新計算，得到雷達(dá)的發(fā)射功率只需大于36千瓦即可，這就比較符合實際了,六、模型的檢驗,完成模型的設(shè)計及求解之后，我們還需要對模型的各種性能作出評價，這就是模型的檢驗，它一般包括以下幾個方面：,1、穩(wěn)定性和敏感性分析數(shù)學(xué)模型它的價值在于能夠從已知的信息預(yù)測未知的東西，因此，一個好的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果對模型所依賴的數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性，這是其廣泛適用性的保證,以足球賽排名為例，用特征向量法求出排名結(jié)果后，隨意改變一兩場比賽結(jié)果，觀察排名結(jié)果的變動，發(fā)現(xiàn)變動很小，說明該模型對原如數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性。,作為實際問題的一個近似描述，數(shù)學(xué)模型所預(yù)測的結(jié)果與實際數(shù)據(jù)總存在或多或少的偏差，這種偏差是來源于實驗觀測，還是由于模型的不完善造成的？為回答這個問題，應(yīng)該對殘差（模型的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的偏差）的分布作統(tǒng)計分析。,如果殘差服從均值為0，且方差很小的正態(tài)分布，表示模型很好地反映了實際情況；如果殘差分布的均值不為0，則表明模型可能還需要進(jìn)一點(diǎn)修正。,2、統(tǒng)計檢驗和誤差分析,以AMCM-90A題大腦藥物分布為例，優(yōu)秀論文作者先假設(shè)殘差服從正態(tài)分布，然后用顯著性水平a=0.01進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)不能通過原假設(shè)，隨后，又對對數(shù)殘差分別表示多巴胺濃度的觀測值和計算結(jié)果)進(jìn)行檢驗，結(jié)果表明模型預(yù)測結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)在數(shù)量級上是保持一致的。,另一個重要的方面是，數(shù)據(jù)的測量中不可避免地存在的誤差，由于誤差的傳遞，模型結(jié)果（依賴于原始數(shù)據(jù)）必然有一定的不準(zhǔn)確度，因此，估計結(jié)果的誤差范圍是必要的，這可以利用一般的誤差傳遞公式來計算，s為結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，Si（i=1,2,）是每個觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差，如AMCM-91A題對于水塔水流量的估計，用上述方法很容易計算出用水量總標(biāo)準(zhǔn)偏差為7.3%，大約相當(dāng)于水塔容量的2.1%,數(shù)學(xué)建模即根據(jù)對實際問題的分析，提出新的模型或在原有一般模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，將新建的模型與原來的模型進(jìn)行比較，可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優(yōu)越性，,以CMCM-93B題(足球比賽的排名問題)為例，優(yōu)秀論文用計算機(jī)模擬的方法對積分法和特征向量法的排名結(jié)果與各隊強(qiáng)弱順序（事先設(shè)定）進(jìn)行比較，100次模擬的結(jié)果表明，特征向量法給出的結(jié)果的偏差明顯小于積分法的情況，顯示了所建模型的合理性的優(yōu)越性。,3、新舊模型的對比,MCM中的優(yōu)化模型常常是對一個系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使之盡可能滿足實際要求，如AMCM-89B題緊急修復(fù)系統(tǒng)的研制都屬于這種類型，在完成系統(tǒng)的設(shè)計之后，最重要的事情是檢驗?zāi)Ｐ驮趯嶋H中的可行性和有效性，只有做到這一點(diǎn)，才是一個運(yùn)籌學(xué)模型的真正完成，以飛機(jī)排隊模型為例，優(yōu)秀論文用線性規(guī)劃方法設(shè)計飛機(jī)排隊系統(tǒng)之后，為了解模型運(yùn)行的良好性，用計算機(jī)模擬的方法，產(chǎn)生各種情形，根據(jù)優(yōu)先排隊模型確定起飛次序，并觀察結(jié)果的合理性。,4、實際可行性檢驗,七、模型的改進(jìn)、推廣及優(yōu)缺點(diǎn)分析,在建立數(shù)學(xué)模型時，一般先考慮主要因素建立模型，忽略一些次要因素以簡化問題。,如AMCM-92A題，優(yōu)秀論文在設(shè)計雷達(dá)發(fā)射功率時，進(jìn)一步考慮了出現(xiàn)雷雨天氣時，雨滴對雷達(dá)所發(fā)射電磁波信號的消弱，從而得到更適用的雷達(dá)發(fā)射功率，又如對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，也應(yīng)考慮各種偶然事故或極端情況的出現(xiàn)對系統(tǒng)的影響，這樣既使模型更符合實際要求，也增加了模型的穩(wěn)定性。,模型的推廣是針對模型的適用性而言的，一個好的模型不應(yīng)該對題中所給數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)有過多的依賴性，正如一個好的程序總是將算法獨(dú)立于數(shù)據(jù)之外一樣，數(shù)學(xué)模型應(yīng)是對問題本質(zhì)的描述，另一方面，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值取決于它的廣泛適用性，因此推廣所建立的模型是擴(kuò)大模型的應(yīng)用范圍，從而提高其使用價值，一般來說，可將模型中某些固定量改為可調(diào)性參數(shù)以擴(kuò)大其適用范圍，如CMCM-93B題足球賽排名，可將排名算法推廣到任意隊數(shù)、任意比賽數(shù)據(jù)的情形，這樣就大大提高了模型的應(yīng)用價值。,模型的推廣,模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析是對所建立模型特性和本質(zhì)的更深刻的認(rèn)識，有的人將其誤認(rèn)為是對文章的自夸或自貶，這種觀點(diǎn)是不對的，一般而言，可以從模型精確性，實用性，對各種實際因素的考慮等方面對自己的模型進(jìn)行評價。值得指出的是，現(xiàn)有的模型僅依賴于題中信息，不合理性一般是難以避免的，闡明這些不合理之處，正是表明對問題本質(zhì)有著清醒的認(rèn)識。,模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析,