2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 全一冊學(xué)案 湘教版選修2-241.1問題探索求自由落體的瞬時速度學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解并掌握平均速度的概念2通過實(shí)例的分析，經(jīng)歷平均速度過渡到瞬時速度的過程知識鏈接1一物體的位移s與時間t滿足函數(shù)關(guān)系st2，則在時間段1,2內(nèi)的平均速度_.答案3.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律st23，則在時間(3,3d)中，相應(yīng)的平均速度等于_答案6d.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1伽利略通過實(shí)驗(yàn)得到的自由落體的下落距離s和時間t有近似的函數(shù)關(guān)系，其關(guān)系是s4.9t2.2瞬時速度(1)在t0時刻的瞬時速度即指在時刻t0d，當(dāng)d趨于0時，時間段t0，t0d內(nèi)的平均速度(2)若物體的運(yùn)動方程為sf(t)，則物體在任意時刻t的瞬時速度v(t)就是平均速度v(t，d)在d趨于0時的極限.要點(diǎn)一求平均速度例1已知一物體做自由落體運(yùn)動，運(yùn)動的方程為sgt2(位移單位：m，時間單位：s)，求：(1)物體在t0到t0d這段時間內(nèi)的平均速度.(2)物體在t10 s到t10.1 s這段時間內(nèi)的平均速度解(1)s(t0d)s(t0)g(t0d)2gtgt0dgd2，在t0到 t0d這段時間內(nèi)，物體平均速度為v(t0，d)gt0gd.(2)由(1)知：t010 s，d0.1 s，平均速度為10gg0.110.05g(m/s)規(guī)律方法物體的運(yùn)動方程是s(t)，則從tt1到tt2的平均速度是v(t，d).跟蹤演練1已知物體運(yùn)動方程為s(t)2t22t(位移單位：m，時間單位：s)，求：(1)物體在運(yùn)動前3 s內(nèi)的平均速度；(2)物體在2 s到3 s內(nèi)的平均速度解(1)物體在前3 s內(nèi)的位移為：s(3)s(0)23223024(m)，故前3 s內(nèi)的平均速度為8(m/s)(2)物體在2 s到3 s內(nèi)的位移為s(3)s(2)24(22222)12(m)故物體在2 s到3 s這段時間內(nèi)的平均速度為12(m/s)要點(diǎn)二求瞬時速度例2已知一物體做自由落體運(yùn)動，sgt2(位移單位：m，時間單位：s，g9.8 m/s2)(1)計(jì)算t從3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段時間內(nèi)平均速度；(2)求t3 s時的瞬時速度解(1)當(dāng)t在區(qū)間3,3.1時，d3.130.1(s)，s(3.1)s(3)g3.12g322.989(m)，129.89(m/s)同理，當(dāng)t在區(qū)間3,3.01時，229.449(m/s)，當(dāng)t在區(qū)間3,3.001時，329.404 9(m/s)(2)物體在3,3d上的平均速度是：g(6d)當(dāng)d0時，上式表達(dá)式值為3g，即物體在3 s時的瞬時速度為3g29.4(m/s)規(guī)律方法平均速度即位移增量與時間增量之比，而瞬時速度為平均速度在d0時的極限值，二者有本質(zhì)區(qū)別跟蹤演練2槍彈在槍筒中運(yùn)動可以看作勻加速運(yùn)動，如果它的加速度是5.0105 m/s2，槍彈從槍口中射出時所用的時間為1.6103 s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度解運(yùn)動方程為sat2.v(t，d)adat.當(dāng)d趨于0時，adat的極限為at.a5.0105 m/s2，t1.6103 s，槍彈射出槍口時的瞬時速度為51051.6103 m/s，即800 m/s.1一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是s42t2，則在時間段1,1d內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A2d4 B2d4C2d4 D2d4答案D解析v(1，d)2d4.2已知物體位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系為sf(t)下列敘述正確的是()A在時間段t0，t0d內(nèi)的平均速度即是在t0時刻的瞬時速度B在t11.1，t21.01，t31.001，t41.000 1，這四個時刻的速度都與t1時刻的速度相等C在時間段t0d，t0與t0，t0d(d>0)內(nèi)當(dāng)d趨于0時，兩時間段的平均速度相等D以上三種說法都不正確答案C解析兩時間段的平均速度都是在t0時刻的瞬時速度3已知sgt2，從3秒到3.1秒的平均速度_.答案3.05g解析3.05g.4如果質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動方程是s2t22，則在時間段2,2d內(nèi)的平均速度是_答案82d解析v(2，d)82d.1平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系平均速度是運(yùn)動物體在某一段時間內(nèi)位移的平均值，即用時間除位移得到，而瞬時速度是物體在某一時間點(diǎn)的速度，當(dāng)時間段越來越小的過程中，平均速度就越來越接近一個數(shù)值，這個數(shù)值就是瞬時速度，可以說，瞬時速度是平均速度在時間間隔無限趨于0時的“飛躍”2求瞬時速度的一般步驟設(shè)物體運(yùn)動方程為sf(t)，則求物體在t時刻瞬時速度的步驟為：(1)從t到td這段時間內(nèi)的平均速度為，其中f(td)f(t)稱為位移的增量；(2)對上式化簡，并令d趨于0，得到極限數(shù)值即為物體在t時刻的瞬時速度.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1設(shè)物體的運(yùn)動方程sf(t)，在計(jì)算從t到td這段時間內(nèi)的平均速度時，其中時間的增量d()Ad>0 Bd<0Cd0 Dd0答案D2一物體運(yùn)動的方程是s2t2，則從2 s到(2d) s這段時間內(nèi)位移的增量為()A8 B82dC8d2d2 D4d2d2答案C解析s2(2d)22228d2d2.3一物體的運(yùn)動方程為s3t2，則在時間段2,2.1內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A4.11 B4.01 C4.0 D4.1答案D解析4.1.4一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的方程為st2，則t2時，此木塊水平方向的瞬時速度為()A2 B1 C. D.答案C解析t(t0)5質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s2t21，則從t1到t1d時間段內(nèi)運(yùn)動距離對時間的變化率為_答案42d解析42d.6已知某個物體走過的路程s(單位：m)是時間t(單位：s)的函數(shù)：st21.(1)t2到t2.1；(2)t2到t2.01；(3)t2到t2.001.則三個時間段內(nèi)的平均速度分別為_，_，_，估計(jì)該物體在t2時的瞬時速度為_答案4.1 m/s4.01 m/s4.001 m/s4 m/s7某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時，需在2 s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時間(單位：s)的函數(shù)為：s(t)3t3t220，求：(1)開始剎車后1 s內(nèi)的平均速度；(2)剎車1 s到2 s之間的平均速度；(3)剎車1 s時的瞬時速度解(1)剎車后1 s內(nèi)平均速度12(m/s)(2)剎車后1 s到2 s內(nèi)的平均速度為：218(m/s)(3)從t1 s到t(1d)s內(nèi)平均速度為：378d3d27(m/s)(d0)即t1 s時的瞬時速度為7 m/s.二、能力提升8質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動方程為s2t22，則在時間段2,2t內(nèi)的平均速度為()A82t B42tC72t D82t答案A解析82t.9自由落體運(yùn)動的物體下降的距離h和時間t的關(guān)系式為hgt2，則從t0到t1時間段內(nèi)的平均速度為_，在t1到t1t時間段內(nèi)的平均速度為_，在t1時刻的瞬時速度為_答案gggtg解析g.ggt.當(dāng)t0時，ggtg.10自由落體運(yùn)動的物體下降距離h和時間t的關(guān)系式為hgt2，t2時的瞬時速度為19.6，則g_.答案9.8解析2ggt.當(dāng)t0時，2ggt2g.2g19.6，g9.8.11求函數(shù)s2t2t在區(qū)間2,2d內(nèi)的平均速度解s2(2d)2(2d)(2222)9d2d2，平均速度為92d.12甲、乙二人平時跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖、所示問：(1)甲、乙二人平時跑步哪一個跑得快？(2)甲、乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時，誰跑得快(設(shè)s為s的增量)?解(1)由題圖在(0，t時間段內(nèi)，甲、乙跑過的路程s甲<s乙，故有<即在任一時間段(0，t內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快(2)由題圖知，在終點(diǎn)附近td，t)時間段內(nèi)，路程增量s乙>s甲，所以>即快到終點(diǎn)時，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快三、探究與創(chuàng)新13質(zhì)量為10 kg的物體按照s(t)3t2t4的規(guī)律做直線運(yùn)動，求運(yùn)動開始后4秒時物體的動能解3t25，當(dāng)t0時，3t2525.即4秒時刻的瞬時速度為25.物質(zhì)的動能為mv2102523 125(J)41.2問題探索求作拋物線的切線學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握如何求拋物線的切線知識鏈接1設(shè)函數(shù)yf(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0d時，函數(shù)的改變量y為_答案f(x0d)f(x0)2函數(shù)yx2在x1處的切線斜率k_.答案2x2(x0)預(yù)習(xí)導(dǎo)引求曲線上點(diǎn)P處切線斜率的方法設(shè)P(u，f(u)是函數(shù)yf(x)的曲線上的任一點(diǎn)，則求點(diǎn)P處切線斜率的方法是：(1)在曲線上取不同于P的點(diǎn)Q(ud，f(ud)，計(jì)算直線PQ的斜率k(u，d).(2)在所求得的PQ的斜率的表達(dá)式k(u，d)中，讓d趨于0，如果k(u，d)趨于確定的數(shù)值k(u)，則k(u)就是曲線在P處的切線斜率.要點(diǎn)一有關(guān)曲線的割線斜率的探索例1點(diǎn)P(3,9)為拋物線yx2上的一點(diǎn)，A1(1,1)，A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)為拋物線上另外四點(diǎn)(1)分別求割線PA1，PA2，PA4，PA5的斜率；(2)若A(x0，x)為曲線yx2上異于P的動點(diǎn)，當(dāng)A逐漸向P趨近時，說明割線斜率的變化情況解(1)kPA14，kPA25，kPA47，kPA58.(2)當(dāng)A沿曲線趨近于P點(diǎn)時，x0的值趨近于3，不妨設(shè)x03d(d0)，當(dāng)x03時，d0，則kPAx03(3d)36d，當(dāng)d0時，kPA6，表明隨A點(diǎn)無限趨近于P，割線PA的斜率無限趨近于6.規(guī)律方法 割線向切線逼近的過程是從有限到無限的過程，也是d趨于0的過程，這一過程實(shí)現(xiàn)了從割線到切線質(zhì)的飛躍跟蹤演練1已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)為函數(shù)yx3曲線上兩不同點(diǎn)(1)當(dāng)x11，x22時，求kAB；(2)求當(dāng)x1x0，x2x0d時，A、B兩點(diǎn)連線斜率kAB.解(1)kAB7.(2)kAB3x3x0dd2.要點(diǎn)二有關(guān)切線方程的探索例2已知曲線方程為yf(x)x32x，求曲線在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程解f(x0d)f(x0)f(1d)f(1)(1d)32(1d)(1321)3d3d2d32d5d3d2d3.則k(1，d)53dd2，當(dāng)d0時，k(1)5，則切線方程為y35(x1)即5xy20.規(guī)律方法 求曲線上點(diǎn)(x0，y0)處切線方程的步驟：(1)求割線斜率；(2)求切線斜率；(3)求切線方程跟蹤演練2求yf(x)x21在x1處的切線斜率及切線方程解f(x0d)f(x0)f(1d)f(1)(1d)21(121)d22d，d22(d0)，即在x1處切線斜率為2.f(1)0，切線方程為y2(x1)，即2xy20.要點(diǎn)三求切點(diǎn)坐標(biāo)例3在曲線y4x2上求一點(diǎn)P使得曲線在該點(diǎn)處的切線分別滿足下列條件：(1)平行于直線yx1；(2)垂直于直線2x16y10；(3)傾斜角為135.解設(shè)f(x)4x2且P點(diǎn)坐標(biāo)為(u，f(u)在曲線上取另一點(diǎn)Q(ud，f(ud)，計(jì)算直線PQ的斜率k(u，d)8u4d.在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0，表達(dá)式趨于8u，所以P點(diǎn)處切線斜率為8u.(1)因?yàn)榍芯€與直線yx1平行，所以8u1.u，f(u).即P(，)(2)因?yàn)榍芯€與直線2x16y10垂直，所以8u()1，8u1.u1，f(u)4，即P(1,4)(3)因?yàn)榍芯€傾斜角為135，所以8utan 1351，u，f(u)，即P(，)規(guī)律方法解答此類題目，切點(diǎn)橫坐標(biāo)是關(guān)鍵信息，因?yàn)榍芯€斜率與之密切相關(guān)同時應(yīng)注意解析幾何知識的應(yīng)用，特別是直線平行、垂直、傾斜角與斜率關(guān)系等知識跟蹤演練3在拋物線yx2上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線y4x5的距離最小解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(u，f(u)，在拋物線上另取一點(diǎn)Q(ud，f(ud)直線PQ的斜率k(u，d)2ud，在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0，表達(dá)式趨于2u, 所求過P點(diǎn)處切線斜率為2u，當(dāng)過P點(diǎn)的切線與直線y4x5平行時，P點(diǎn)到直線y4x5的距離最小，所以2u4，u2.P點(diǎn)在拋物線yx2上，f(u)4，所求P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).1一物體作勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動到圓周A處時()A運(yùn)動方向指向圓心OB運(yùn)動方向所在直線與OA垂直C速度與在圓周其他點(diǎn)處相同D不確定答案B2若已知函數(shù)f(x)2x21的圖象上的一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1d,1y)，則等于()A1 B2d C42d D4d答案C解析42d.3過曲線y2x上兩點(diǎn)(0,1)，(1,2)的割線的斜率為_答案1解析由平均變化率的幾何意義知，k1.4已知函數(shù)f(x)x2x的圖象上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1d，2y)，則_.解析yf(1d)f(1)(1d)2(1d)(2)d23d.d3.答案d31求曲線yf(x)上一點(diǎn)(x0，y0)處切線斜率的步驟(1)作差求函數(shù)值增量y，即f(x0d)f(x0)(2)化簡，用x0與d表示化簡結(jié)果(3)令d0，求的極限即所求切線的斜率2過某點(diǎn)的曲線的切線方程要正確區(qū)分曲線“在點(diǎn)(u，v)處的切線方程”和“過點(diǎn)(u，v)的切線方程”前者以點(diǎn)(u，v)為切點(diǎn)，后者點(diǎn)可能在曲線上，也可能不在曲線上，即使在曲線上，也不一定是切點(diǎn)3曲線的割線與切線的區(qū)別與聯(lián)系曲線的割線的斜率反映了曲線在這一區(qū)間上上升或下降的變化趨勢，刻畫了曲線在這一區(qū)間升降的程度，而曲線的切線是割線與曲線的一交點(diǎn)向另一交點(diǎn)逼近時的一種極限狀態(tài)，它實(shí)現(xiàn)了由割線向切線質(zhì)的飛躍一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知曲線y2x2上一點(diǎn)A(1,2)，則A處的切線斜率等于()A2 B4C66d2d2 D6答案B2已知曲線yx22上的一點(diǎn)P(1，)，則過點(diǎn)P的切線的傾斜角為()A30 B45C135 D165答案B3如果曲線y2x2x10的一條切線與直線y5x3平行，則切點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1，8) B(1,13)C(1,12)或(1,8) D(1,7)或(1，1)答案B4曲線y在點(diǎn)P(3,1)處的切線斜率為()A B0 C. D1答案C解析.當(dāng)x0時，.5若曲線yx21在曲線上某點(diǎn)處的斜率為2，則曲線上該切點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案(1,2)6曲線yx22在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程為_答案2xy10解析x2，當(dāng)x0時，x22.所以曲線yx22在點(diǎn)P(1,3)處的切線斜率為2，其方程為y32(x1)即為2xy10.7拋物線yx2在點(diǎn)P處的切線與直線2xy40平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及切線方程解設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，d2x0，d0時，d2x02x0.拋物線在點(diǎn)P處的切線的斜率為2x0，由于切線平行于2xy40，2x02，x01，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線方程為y12(x1)，即為2xy10.二、能力提升8曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()Ayx2 ByxCyx2 Dyx2答案A解析，當(dāng)x0時，1.曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率為1，切線方程為y11(x1)，即yx2.9曲線f(x)x23x在點(diǎn)A(2,10)處的切線的斜率為_答案7解析x7，當(dāng)x0時，x77，所以，f(x)在A處的切線的斜率為7.10曲線f(x)x23x在點(diǎn)A處的切線的斜率為7，則A點(diǎn)坐標(biāo)為_答案(2,10)解析設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x3x0)，則x(2x03)，當(dāng)x0時，x(2x03)2x03，2x037，x02.x3x010.A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,10)11已知拋物線yx21，求過點(diǎn)P(0,0)的曲線的切線方程解設(shè)拋物線過點(diǎn)P的切線的切點(diǎn)為Q(x0，x1)則x2x0.x0時，x2x02x0.2x0，x01或x01.即切點(diǎn)為(1,2)或(1,2)所以，過P(0,0)的切線方程為y2x或y2x.即2xy0或2xy0.三、探究與創(chuàng)新12直線l：yxa(a0)和曲線C：yx3x21相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及a的值解設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，3x2x0(3x01)dd23x2x0(d0)故曲線上點(diǎn)A處切線斜率為3x2x0，3x2x01，x01或x0，代入C的方程得或代入直線l，當(dāng)時，a0(舍去)，當(dāng)時，a，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，a.41.3導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)的方法2理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義知識鏈接曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)的切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系答函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點(diǎn)x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f(x)在x0處有切線，但它不可導(dǎo)即若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直若f(x0)存在，且f(x0)>0，則切線與x軸正向夾角為銳角；f(x0)<0，切線與x軸正向夾角為鈍角；f(x0)0，切線與x軸平行預(yù)習(xí)導(dǎo)引1函數(shù)在自變量的某個區(qū)間上的平均變化率函數(shù)f(x)在xu處步長為d的差分為f(ud)f(u)，差商為，它表示函數(shù)在自變量的某個區(qū)間上的平均變化率，它反映了自變量在某個范圍內(nèi)變化時，函數(shù)值變化的總體的快慢2導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)f(x)在包含x0的某個區(qū)間上有定義，如果比值在d趨于0時(d0)趨于確定的極限值，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)或微商，記作f(x0)，上述定義可簡述為f(x0)(d0)當(dāng)x0是f(x)的定義區(qū)間中的任意一點(diǎn)，所以也可以就是x，而f(x)也是x的函數(shù)，叫作f(x)的導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)有時也可記作f(x) .3導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率.要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念例1設(shè)函數(shù)f(x)(xR)可導(dǎo)，則當(dāng)d趨于0時，趨于()Af(1) B3f(1) C.f(1) Df(3)答案C解析原式，當(dāng)d趨于0時，趨于f(1)故原式趨于f(1)，故選C.規(guī)律方法在利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值時，往往采用湊項(xiàng)的方法湊成定義的形式再解決跟蹤演練1已知f(x)在xR時處處可導(dǎo)，若f(1)1，則d0時，的值為()A. B2 Cf(2) Df()答案B要點(diǎn)二求函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例2已知f(x)，求f(1)解，由于d0時，1，故f(1)1.規(guī)律方法差分式化成分子和分母極限都在的情形(但分母極限不能為0)，如果分母極限為0，則從分母中分離出導(dǎo)致分母趨于0的因式，與分子約分消去，便可得出正確結(jié)論跟蹤演練2已知f(x)(x>0)，求f(1)解，當(dāng)d0時，故f(1).要點(diǎn)三求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)例3求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，并求f(2)解.當(dāng)d0時，趨于.即f(x).f(2)1.規(guī)律方法求某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f(x0)，可先求出導(dǎo)函數(shù)f(x)，再賦值求解f(x0)跟蹤演練3求函數(shù)f(x)x的導(dǎo)函數(shù)f(x)及f(1)解1，當(dāng)d0時，11，f(x)1，f(1)10.要點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)求切線方程例4已知曲線C：yx2，(1)求曲線C在點(diǎn)(1,1)處的切線方程，(2)求過點(diǎn)(1,0)且與曲線C相切的直線的方程解(1)2xd.當(dāng)d0時，2xd2x，f(x)2x，f(1)2，曲線yx2在(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)點(diǎn)(1,0)不在曲線yx2上設(shè)過點(diǎn)(1,0)與曲線C相切的直線其切點(diǎn)為(x0，x)，則切點(diǎn)處的斜率為2x0.切線方程為yx2x0(xx0) (*)又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)(1,0)x2x0(1x0)，解得x00或x02，代入(*)式得過點(diǎn)(1,0)與曲線 C：yx2相切的直線方程為y0或4xy40.規(guī)律方法本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程的知識，若求某點(diǎn)處的切線方程，此點(diǎn)即為切點(diǎn)，否則除求過二次曲線上的點(diǎn)的切線方程外，不論點(diǎn)是否在曲線上，均需設(shè)出切點(diǎn)跟蹤演練4求曲線f(x)在點(diǎn)(2，1)處的切線的方程解由于點(diǎn)(2，1)恰好在曲線f(x)上，所以曲線在點(diǎn)(2，1)處的切線的斜率就等于函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2，1)處的導(dǎo)數(shù)而f(2) ，故曲線在點(diǎn)(2，1)處的切線方程為y1(x2)，整理得x2y40.1f(x)在xx0處可導(dǎo)，則 ()A與x0、h都有關(guān)B僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)C僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)D與x0、h均無關(guān)答案B2若f(x0)f(x0d)2x0dd2，下列選項(xiàng)正確的是()Af(x)2 Bf(x)2x0Cf(x0)2x0 Df(x0)d2x0答案C3已知函數(shù)yf(x)圖象如圖，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)>f(xB)Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能確定答案A4在曲線f(x)x2x上取一點(diǎn)P(1,2)，則在區(qū)間1,1d上的平均變化率為_，在點(diǎn)P(1,2)處的導(dǎo)數(shù)f(1)_.答案3d31求導(dǎo)數(shù)的步驟主要有三步：(1)求函數(shù)值的增量：yf(x0d)f(x0)；(2)求平均變化率：；(3)取極限：f(x0) .2導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)對于函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是表示在x0處函數(shù)值變化快慢的一個量，其幾何意義為在xx0處的切線的斜率(2)f(x)是指隨x變化，過曲線上的點(diǎn)(x，f(x)的切線斜率與自變量x之間的函數(shù).一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1設(shè)f(x0)0，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線()A不存在 B與x軸平行或重合C與x軸垂直 D與x軸斜交答案B2已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)>f(xB) Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能確定答案B解析分別作出A、B兩點(diǎn)的切線，由題圖可知kB>kA，即f(xB)>f(xA)3已知曲線y2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則在點(diǎn)A處的切線斜率為()A4 B16 C8 D2解析在點(diǎn)A處的切線的斜率即為曲線y2x2在x2時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)定義可求y4x，f(2)8.答案C4已知函數(shù)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為3，則f(x)的解析式可能為()Af(x)(x1)23(x1) Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2 Df(x)x1答案A解析分別求四個選項(xiàng)的導(dǎo)函數(shù)分別為f(x)2(x1)3；f(x)2；f(x)4(x1)；f(x)1.5拋物線yx2x2上點(diǎn)(1,4)處的切線的斜率是_，該切線方程為_答案33xy10解析y(1d)2(1d)2(1212)3dd2，故y|x1li (3d)3.切線的方程為y43(x1)，即3xy10.6若曲線yx21的一條切線平行于直線y4x3，則這條切線方程為_答案4xy50解析f(x) (2xd)2x.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由題意知f(x0)4，即2x04，x02，代入曲線方程得y03，故該切線過點(diǎn)(2,3)且斜率為4.所以這條切線方程為y34(x2)，即4xy50.7求曲線yx3在點(diǎn)(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積解f(3) (d29d27)27，曲線在點(diǎn)(3,27)處的切線方程為y2727(x3)，即27xy540.此切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，(0，54)切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S25454.二、能力提升8曲線yx33x2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x答案A解析x23.x0時，x233.f(1)3.即曲線在(1,2)處的切線斜率為3.所以切線方程為y23(x1)，即y3x1.9函數(shù)yf(x)圖象在M(1，f(1)處的切線方程為yx2，則f(1)f(1)_.答案3解析由已知切點(diǎn)在切線上f(1)12.切線的斜率f(1).f(1)f(1)3.10若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程為xy10，則a，b的值分別為_，_.答案11解析點(diǎn)(0，b)在切線xy10上，b10，b1.又ax，f(0)a1.11已知曲線yx31，求過點(diǎn)P(1,2)的曲線的切線方程解設(shè)切點(diǎn)為A(x0，y0)，則y0x1.x23x0x3x.f(x0)3x，切線的斜率為k3x.點(diǎn)(1,2)在切線上，2(x1)3x(1x0)x01或x0.當(dāng)x01時，切線方程為3xy10，當(dāng)x0時，切線方程為3x4y50.所以，所求切線方程為3xy10或3x4y50.12求拋物線yx2的過點(diǎn)P(，6)的切線方程解由已知得，2xd，當(dāng)d0時，2xd2x，即y2x，設(shè)此切線過拋物線上的點(diǎn)(x0，x)，又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)(，6)和點(diǎn)(x0，x)，其斜率應(yīng)滿足2x0，由此x0應(yīng)滿足x5x060.解得x02或3.即切線過拋物線yx2上的點(diǎn)(2,4)，(3,9)所以切線方程分別為y44(x2)，y96(x3)化簡得4xy40,6xy90，此即是所求的切線方程三、探究與創(chuàng)新13求垂直于直線2x6y10并且與曲線yx33x25相切的直線方程解設(shè)切點(diǎn)為P(a，b)，函數(shù)yx33x25的導(dǎo)數(shù)為y3x26x.故切線的斜率ky|xa3a26a3，得a1，代入yx33x25得，b3，即P(1，3)故所求直線方程為y33(x1)，即3xy60.42導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算42.1幾個冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)42.2一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解各個公式的證明過程，進(jìn)一步理解運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)的方法2掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式3靈活運(yùn)用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識鏈接在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)？答(1)計(jì)算，并化簡；(2)觀察當(dāng)x趨近于0時，趨近于哪個定值；(3)趨近于的定值就是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)導(dǎo)引常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(1)(c)0(c為常數(shù)函數(shù))；(2)(x)x1(0)；(3)(ex)ex；(4)(ax)ax(ln_a)(a>0，a1)；(5)(ln x)(x>0)；(6)(logax)(a>0，a1，x>0)；(7)(sin x)cos_x；(8)(cos x)sin x；(9)(tan x)；(10)(cot x).要點(diǎn)一 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2 011；(2)y；(3)y.解(1)y(x2 011)2 011x2 01112 011x2 010.(2)y(x3)3x313x4.(3)y.規(guī)律方法對于簡單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)的關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，如y可以寫成yx4，y等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤跟蹤演練1求曲線y在點(diǎn)P(27，)處的切線斜率解y，y|x27，故所求切線的斜率k.要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ysin ；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)y；(5)y(log3x).規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4) .解(1)y8x7；(2)yxln xln 2；(3)yx，y；(4) y.要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程例3(1)求過曲線ysin x上點(diǎn)P且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程解ysin x，ycos x，曲線在點(diǎn)P處的切線斜率是：cos.過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為，故所求的直線方程為y，即2xy0.規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率乘積等于1是解題的關(guān)鍵跟蹤演練3已知點(diǎn)P(1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線yx2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程解y(x2)2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y|xx02x0，又PQ的斜率為k1，而切線平行于PQ，k2x01，即x0，所以切點(diǎn)為M.所求的切線方程為yx，即4x4y10.1已知f(x)x2，則f(3)()A0 B2x C6 D9答案C解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函數(shù)f(x)，則f(3)等于()A. B0 C. D.答案A解析f(x)()，f(3).3設(shè)正弦曲線ysin x上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()A. B0，)C. D.答案A解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.4曲線yex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為ye2e2(x2)，即ye2xe2.當(dāng)x0時，ye2，當(dāng)y0時，x1.S1e2.1利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸2有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)如求y12sin2的導(dǎo)數(shù)因?yàn)閥12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1下列結(jié)論中正確的個數(shù)為()yln 2，則y；y，則y|x3；y2x，則y2xln 2；ylog2x，則y.A0 B1 C2 D3答案D解析yln 2為常數(shù)，所以y0.錯正確2過曲線y上一點(diǎn)P的切線的斜率為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B.或C. D.答案B解析y4，x，故選B.3已知f(x)xa，若f(1)4，則a的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函數(shù)f(x)x3的斜率等于1的切線有()A1條 B2條 C3條 D不確定答案B解析f(x)3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3x1，得x0，即在點(diǎn)和點(diǎn)處有斜率為1的切線5曲線y在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是_答案xy60解析y，y|x31，過點(diǎn)(3,3)的斜率為1的切線方程為：y3(x3)即xy60.6若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a_.答案64解析曲線在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為令x0得；令y0得x3a.該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S3a18，a64.7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)y.(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).二、能力提升8已知直線ykx是曲線yex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為()A. B Ce De答案D解析yex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則ex0ex0x0，x01，ke.9曲線yln x在xa處的切線傾斜角為，則a_.答案1解析y，y|xa1，a1.10點(diǎn)P是曲線yex上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線yx的最小距離為_答案解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線yx的直線與曲線yex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與yx距離最近的點(diǎn)，如圖則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率為1，即y|xx01.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用點(diǎn)到直線的距離公式得距離為.11已知f(x)cos x，g(x)x，求適合f(x)g(x)0的x的值解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kZ.12已知拋物線yx2，直線xy20，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離解根據(jù)題意可知與直線xy20平行的拋物線yx2的切線，對應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy20的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則y|xx02x01，所以x0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線xy20的距離d，所以拋物線上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離為.三、探究與創(chuàng)新13設(shè)f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，試求f2 014(x)解f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期為4，f2 014(x)f2(x)sin x.42.3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3了解復(fù)合函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(僅限于形如f(axb)的導(dǎo)數(shù))知識鏈接前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松我們已經(jīng)會求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則預(yù)習(xí)導(dǎo)引1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)(cf(x)cf(x)；(2)(f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(5)()(f(x)0)；(6)()(f(x)0)2一般地，若yf(u)，ug(x)，則yxfuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的積.要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) yx32x3； (2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x3x22x1.(3)函數(shù)y3xlg x是函數(shù)f(x)3x與函數(shù)g(x)lg x的差由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f(x)3xln 3，g(x)，利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3.規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問題，求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y54x3；(2)y3x2xcos x；(3)yexln x；(4)ylg x.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexln x；(4)y.要點(diǎn)二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yln(x2)；(2)ysin4cos4；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1.(2)ysin4cos4 22sin2cos2 1sin21cos x，ysin x.規(guī)律方法應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個方面：(1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)(2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)熟練后，就不必再寫中間步驟跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)ye2x1；(2)y(2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(2)2x44，yx(4)4141.法二令u2，則yxyuux2(2)(2)2(2)1.要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3求過點(diǎn)(1，1)與曲線f(x)x32x相切的直線方程解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線斜率為kf(x0)3x2故切線方程為yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲線上，y0x2x0又(1，1)在切線上，將式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切線方程為y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.規(guī)律方法(1，1)雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點(diǎn)的切線不一定只有一條，即該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，也可能是切線與曲線的交點(diǎn)，解題時注意不要失解跟蹤演練3已知某運(yùn)動著的物體的運(yùn)動方程為s(t)2t2(位移單位：m，時間單位：s)，求t3 s時物體的瞬時速度解s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物體在t3 s時的瞬時速度為 m/s.1下列結(jié)論不正確的是()A若y3，則y0B若f(x)3x1，則f(1)3C若yx，則y1D若ysin xcos x，則ycos xsin x答案D解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解D項(xiàng)，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)是()A. B.C. D.答案C解析y.3曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案A解析y，ky|x12，切線方程為y12(x1)，即y2x1.4直線yxb是曲線yln x(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b_.答案ln 21解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， y，x02，y0ln 2，ln 22b，bln 21.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確