選修4-5不等式選講(建議用時(shí):30分鐘)1.(1)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+a|-3的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)若正實(shí)數(shù)m,n滿足m+n=2,求2m+1n的取值范圍.【解析】(1)由題意知|x-2|+|x+a|-30恒成立.因?yàn)閨x-2|+|x+a|(x-2)-(x+a)|=|a+2|,所以|a+2|3,解得a-5或a1. (2)因?yàn)閙+n=2(m>0,n>0),所以2m+1n=m+n22m+1n=122nm+mn+312(22+3),即2m+1n的取值范圍為2+32,+.2.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+12a(a0).(1)若不等式f(x)-f(x+m)1恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.(2)當(dāng)a<12時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+|2x-1|有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(x)-f(x+m)=|x-a|+12a-|x+m-a|+12a=|x-a|-|x+m-a|(x-a)-(x+m-a)|=|m|,所以|m|1,即m的最大值為1.(2)g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a,即g(x)=-3x+a+12a+1,x<a-x+12a-a+1,ax<123x+12a-a-1,x12,所以g(x)在-,12上減函數(shù),在12,+上是增函數(shù),所以g(x)min=g12=312+12a-a-1=12+12a-a,由題意得12+12a-a0,解得-12a<0,或a1,又a<12,所以a的取值范圍是a|-12a<03.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)求不等式g(x)3的解集.(2)若x2-2,2,x1-2,2,使得不等式f(x1)g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)g(x)3,即|x+1|+|x-1|3,此不等式等價(jià)于x-1-(x+1)-(x-1)3或-1<x<1(x+1)-(x-1)3或x1x+1+x-13,解得x-32或x32,所以g(x)3的解集為x|x-32或x32.(2)因?yàn)閤2-2,2,x1-2,2,使得f(x1)g(x2)成立,所以f(x)ming(x)min(x-2,2).又g(x)min=2,所以f(x)min2(x-2,2).當(dāng)-a2-2,即a4時(shí),f(x)min=f(-2)=4-2a+4=8-2a2,解得a3,所以a4;當(dāng)-a22,即a-4時(shí),f(x)min=f(2)=4+2a+4=8+2a2,解得a-3,所以a-4;當(dāng)-2<-a2<2,即-4<a<4時(shí),f(x)min=f-a2=a24-a22+42,解得a22或a-22,所以-4<a-22或22a<4.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-2222,+).4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-a(aR).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值.(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值為3,求a的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)min=f(1)=-a,所以-a3,解得a-3,即amax=-3.(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,當(dāng)a=-1時(shí),g(x)=3|x-1|0,03,所以a=-1不符合題意,當(dāng)a<-1時(shí),g(x)=(x-1)+2(x+a),x-a(x-1)-2(x+a),1x<-a-(x-1)-2(x+a),x<1,即g(x)=3x-1+2a,x-a-x-1-2a,1x<-a-3x+1-2a,x<1,所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3,解得a=-4,當(dāng)a>-1時(shí),同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2,綜上所述,a=2或-4.(建議用時(shí):30分鐘)1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|,若f(x)3的解集為C.(1)求解集C.(2)已知非零實(shí)數(shù)a,b,c滿足1a2+14b2+1c2=2,求證:a2+4b2+9c2252.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x-2|3,即x<1,-x+1-x+23或1x2,x-1-x+23或x>2,x-1+x-23,即0x<1或1x2或2<x3,即解集C=x|0x3.(2)因?yàn)?a2+14b2+1c2=2,由柯西不等式得a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)1a2+14b2+1c212a1a+2b12b+3c1c2252,當(dāng)且僅當(dāng)a1a=2b12b=3c1c時(shí)取等號(hào),即a2=4b2=3c2=52時(shí)取等號(hào).2.已知函數(shù)f(x)=5-|x+1|-|x-2|.(1)在給出的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象.(2)記函數(shù)y=f(x)的最大值為M,是否存在正數(shù)a,b,使2a+b=M,且1a+2b=3,若存在,求出a,b的值,若不存在,說明理由.【解析】(1)由于f(x)=5-|x+1|-|x-2|=2x+4,x<-12,-1x2-2x+6,x>2.作圖如下:(2)由圖象可知,當(dāng)-1x2,f(x)max=2,即得M=2.假設(shè)存在正數(shù)a,b,使2a+b=2,且1a+2b=3,因?yàn)?a+2b=1a+2ba+b2=2+b2a+2ab2+2b2a2ab4,當(dāng)且僅當(dāng)2a+b=2b2a=2aba,b>0a=12b=1時(shí),取等號(hào),所以1a+2b的最小值為4,與1a+2b=3相矛盾,故不存在正數(shù)a,b,使2a+b=2,且1a+2b=3成立.3.已知a2+b2+c2=1,且a,b,cR+.(1)1a2+1b2+1c2的最小值.(2)證明:1+a2+1+b2+1+c223.【解析】(1)由柯西不等式,得1a2+1b2+1c2(a2+b2+c2)1aa+1bb+1cc2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=33時(shí),取等號(hào).所以1a2+1b2+1c2的最小值為9.(2)由xyx2+y22,得1+a22331+a2+23322=a22+76.同理得1+b2233b22+76,1+c2233c22+76.三式相加得233(1+a2+1+b2+1+c2)a2+b2+c22+72=4,所以1+a2+1+b2+1+c223,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=33時(shí),取等號(hào).4.已知函數(shù)f(x)=|x+1|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)-x2+1>0.(2)若函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(x+m),當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí),g(x)取得最小值,求x(-1,2)時(shí),函數(shù)g(x)的值域.【解析】(1)|x+1|-x2+1>0|x+1|>x2-1,x-1x+1>x2-1-1<x<2,x<-1,-x-1>x2-1 ,所以,不等式的解集為x|-1<x<2.(2)g(x)=|x|+|x+m+1|=|-x|+|x+m+1|-x+x+m+1|=|m+1|,當(dāng)且僅當(dāng)(-x)(x+m+1)0時(shí)取等號(hào),所以1+m+1=0,得m=-2,所以g(x)=|x|+|x-1|,故當(dāng)x(-1,2)時(shí),g(x)=-2x+1,-1<x<01,0x12x-1,1<x<2,所以g(x)在x(-1,2)時(shí)的值域?yàn)?,3).