標(biāo)準(zhǔn)仿真模擬練（一）(120分鐘150分)第卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的)1.條件甲:2<x+y<40<xy<3;條件乙:0<x<12<y<3,則甲是乙的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.乙可以得到甲,甲得不到乙.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)1-2i2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(0,-1)B.(0,1)C.45,-35D.45,35【解析】選A.復(fù)數(shù)1-2i2+i=(1-2i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5i5=-i,它在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(0,-1).3.從集合A=-3,-2,-1,1,2中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a,從集合B=-2,-1,2中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則直線(xiàn)y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率為()A.45B.35C.25D.15【解析】選D.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知,試驗(yàn)包含的所有事件共有53=15 種結(jié)果,而滿(mǎn)足條件的事件是a=-3,b=2,a=-2,b=2,a=-1,b=2共三種結(jié)果.由古典概型公式可得P=315=15.4.函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.0,12B.12,1C.(1,2)D.(2,3)【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),且函數(shù)f(x)在(0,+)上為增函數(shù).f12=log212-112=-1-2=-3<0,f(1)=log21-11=0-1<0,f(2)=log22-12=1-12=12>0,f(3)=log23-13>1-13=23>0,即f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).5.執(zhí)行所示框圖,若輸入n=6,m=4,則輸出的p等于()A.120B.240C.360D.720【解析】選C.第一次循環(huán),得p=6-4+1=3,k=2;第二次循環(huán),得p=3(6-4+2)=12,k=3;第三次循環(huán),得p=12(6-4+3)=60,k=4;第四次循環(huán),得p=60(6-4+4)=360,k=5,這時(shí)滿(mǎn)足判斷框條件,退出循環(huán),輸出p值為360.6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載:“今有羨除”.劉徽注:“羨除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示,四邊形ABCD,ABFE,CDEF均為等腰梯形,ABCDEF, AB=6,CD=8,EF=10, EF到平面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個(gè)羨除的體積是()A.110B.116C.118D.120【解析】選D.如圖,過(guò)點(diǎn)A作APCD,AMEF,過(guò)點(diǎn)B作BQCD,BNEF,垂足分別為P,M,Q,N,連接PM,QN,將一側(cè)的幾何體補(bǔ)到另一側(cè),組成一個(gè)直三棱柱,底面積為12103=15.棱柱的高為8,體積V=158=120.7.已知an是等差數(shù)列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是()A.4B.5C.6D.7【解析】選B.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=d2n2+a1-d2n可表示為過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn),又因?yàn)楸绢}中a1=-9<0, S3=S7,可表示如圖,由圖可知,n=3+72=5,是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,所以n=5時(shí)Sn最小.8.設(shè)A為不等式組x0,y0,y-x2所表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線(xiàn)x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為()A.34B.1C.2D.74【解析】選D.作出區(qū)域A為OMN,當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線(xiàn)從l1變化到l2掃過(guò)A中區(qū)域?yàn)殛幱安糠?易知l2MN,所以陰影部分面積S=1222-14=74.9.在ABC中,|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5.點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),AD=xAB+yAC,當(dāng)xy取最大值時(shí),|AD|的值為()A.4B.3C.52D.125【解析】選C.因?yàn)閨AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,所以ABC為直角三角形.如圖建立平面直角坐標(biāo)系,A(0,0),B(3,0),C(0,4),設(shè)D(a,b),由AD=xAB+yAC,得a=3x,b=4y,所以xy=ab12.又因?yàn)镈在直線(xiàn)lBC:x3+y4=1上,所以a3+b4=1,則a3+b42ab12.所以ab1214,即xy14,此時(shí)a=32,b=2,|AD|=322+22=52.10.已知F為雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)虛軸的一個(gè)頂點(diǎn),過(guò)F,A的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為B,若FA=(2-1)AB,則此雙曲線(xiàn)的離心率是()A.2B.3C.22D.5【解析】選A.過(guò)F,A的直線(xiàn)方程為y=bc(x+c),一條漸近線(xiàn)方程為y=bax,聯(lián)立,解得交點(diǎn)Bacc-a,bcc-a,由FA=(2-1)AB,得c=(2-1)acc-a,c=2a,e=2.11.已知函數(shù)f(x)=|lg(-x)|,x<0,x2-6x+4,x0,若函數(shù)F(x)=f2(x)-bf(x)+1有8個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(-,-2)(2,+)B.(2,8)C.2,174D.(0,8)【解析】選C函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:要使方程f2(x)-bf(x)+1=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)根,令f(x)=t,意味著0<tf(0)(f(0) =4)且t有兩個(gè)不同的值t1,t2,0<t1<t24,即二次方程t2-bt+1=0在區(qū)間(0,4上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.對(duì)于二次函數(shù)g(t)=t2-bt+1,這意味著=b2-4>0或gb2<0,0<b2<4(或t1+t2=b(0,8),因?yàn)間(0)=1>0(不論t如何變化都有圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1),所以只需g(4)0,求得b174,綜上可得b2,174.12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,則C的離心率為()A.35B.57C.45D.67【解析】選B.如圖所示,在AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF=100+64-210845=36,所以|AF|=6,BFA=90,設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn),連接BF,AF.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得四邊形AFBF是矩形.所以|BF|=6,|FF|=10,所以2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5,所以e=ca=57.第卷本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22題第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)13.設(shè)U=R,集合A=x|x2+3x+2=0,B=x|x2+(m+1)x+m=0,若(UA)B=,則m=_.【解析】A=-2,-1,由(UA)B=,得BA,因?yàn)榉匠蘹2+(m+1)x+m=0的判別式=(m+1)2-4m=(m-1)20,所以B.所以B=-1或B=-2或B=-1,-2.若B=-1,則m=1;若B=-2,則應(yīng)有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)(-2)=4,這兩式不能同時(shí)成立,所以B-2;若B=-1,-2,則應(yīng)有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1) (-2)=2,由這兩式得m=2.經(jīng)檢驗(yàn)知m=1和m=2符合條件.所以m=1或2.答案:1或214.在ABC中,AB=1,AC=3,B=60,則cos C=_.【解析】因?yàn)锳C>AB,所以C<B=60,又由正弦定理得1sinC=3sin60,所以sin C=13sin 60=36,所以cos C=336.答案:33615.已知函數(shù)f(x)=1x+2-m|x|有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi).【解析】函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程1x+2=m|x|有且僅有三個(gè)實(shí)根.因?yàn)?x+2=m|x|1m=|x|(x+2),作函數(shù)y=|x|(x+2)的圖象,如圖所示,由圖象可知m應(yīng)滿(mǎn)足0<1m<1,故m>1.答案:(1,+)16.如圖所示,放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng),點(diǎn)B恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對(duì)函數(shù)y=f(x)有下列判斷:若-2x2,則函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);對(duì)任意的xR,都有f(x+2)=f(x-2);函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞減;函數(shù)y=f(x)在區(qū)間4,6上是減函數(shù).其中判斷正確的序號(hào)是_.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))【解析】當(dāng)-2x-1時(shí),P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的14圓,當(dāng)-1x1時(shí),P的軌跡是以B為圓心,半徑為2的14圓,當(dāng)1x2時(shí),P的軌跡是以C為圓心,半徑為1的14圓,當(dāng)2x3時(shí),P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的14圓,所以函數(shù)的周期是4,因此最終構(gòu)成的圖象如圖:根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),所以正確;由圖象可知函數(shù)的周期是4,所以正確;由圖象可判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞增,所以錯(cuò)誤;由圖象可判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間4,6上是減函數(shù),所以正確.答案:三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿(mǎn)分12分)在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且2cos Acos C(tan Atan C-1)=1.(1)求B的大小.(2)若a+c=332,b=3,求ABC的面積.【解析】(1)由2cos Acos C(tan Atan C-1)=1,得2cos Acos CsinAsinCcosAcosC-1=1,所以2(sin Asin C-cos Acos C)=1,所以cos(A+C)=-12,所以cos B=12,又0<B<,所以B=3.(2)由余弦定理,得cos B=a2+c2-b22ac=12,所以(a+c)2-2ac-b22ac=12,又a+c=332,b=3,所以274-2ac-3=ac,ac=54,所以SABC=12acsin B=125432=5316.18.(本小題滿(mǎn)分12分)某高校從2015年招收的大一新生中,隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將他們的2015年高考數(shù)學(xué)成績(jī)(滿(mǎn)分150分,成績(jī)均不低于90分的整數(shù))分成六段90,100),100,110)140,150,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值.(2)若該校2015年招收的大一新生共有960人,試估計(jì)該校招收的大一新生2015年高考數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的人數(shù).(3)若用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0,100)與140,150兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至少有1人在分?jǐn)?shù)段90,100)內(nèi)的概率.【解析】(1)(0.005+0.012+0.02+0.025+a)10=1,所以a=0.03.(2)(0.03+0.025+0.01)10960=624(人).(3)由題意,知90,100)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為0.0560=3人,140,150分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為0.160=6人,所以在90,100)與140,150兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本中,從90,100)分?jǐn)?shù)段推出396=2人,分別記為a,b,140,150分?jǐn)?shù)段抽出696=4人,分別記為c,d,e,f,則所有基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種,其中至少有1人在分?jǐn)?shù)段90,100)內(nèi)的有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)共9種,所以所求概率為P=915=35.19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E為側(cè)棱PA的中點(diǎn).(1)求證:PC平面BDE.(2)若PCPA,PD=AD,求證:平面BDE平面PAB.【解析】(1)連接AC,交BD于O,連接OE.因?yàn)锳BCD是平行四邊形,所以O(shè)A=OC.因?yàn)镋為側(cè)棱PA的中點(diǎn),所以O(shè)EPC.因?yàn)镻C平面BDE,OE平面BDE,所以PC平面BDE.(2)因?yàn)镋為PA中點(diǎn),PD=AD,所以PADE.因?yàn)镻CPA,OEPC,所以PAOE.因?yàn)镺E平面BDE,DE平面BDE,OEDE=E,所以PA平面BDE.因?yàn)镻A平面PAB,所以平面BDE平面PAB.20.(本小題滿(mǎn)分12分)橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上,短軸長(zhǎng)為2,離心率為22,直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異的兩點(diǎn)A,B,且AP=3PB.(1)求橢圓C的方程.(2)求m的取值范圍.【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),設(shè)c>0,c2=a2-b2,由題意,知2b=2,ca=22,所以a=1,b=c=22.故橢圓C的方程為y2+x212=1.即y2+2x2=1.(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),由題意求得m=12;當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m(k0),l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,2x2+y2=1,得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0,=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*)x1+x2=-2kmk2+2,x1x2=m2-1k2+2.因?yàn)锳P=3 PB,所以-x1=3x2.所以x1+x2=-2x2,x1x2=-3x22.所以3(x1+x2)2+4x1x2=0.所以3-2kmk2+22+4m2-1k2+2=0.整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,即k2(4m2-1)+(2m2-2)=0.當(dāng)m2=14時(shí),上式不成立;當(dāng)m214時(shí),k2=2-2m24m2-1,由(*)式,得k2>2m2-2,又k0,所以k2=2-2m24m2-1>0.解得-1<m<-12或12<m<1.綜上,所求m的取值范圍為-1,-1212,1.21.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)由f(x)=ln x-2ax+2a.可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+),則g(x)=1x-2a=1-2axx.當(dāng)a0,x(0,+)時(shí),g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0,x0,12a時(shí),g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x12a,+時(shí),g(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)a0時(shí),g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+);當(dāng)a>0時(shí),g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,12a,單調(diào)遞減區(qū)間為12a,+.(2)由(1)知,f(1)=0.當(dāng)a0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x(1,+)時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.當(dāng)0<a<12時(shí),12a>1,由(1)知f(x)在0,12a內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)<0,當(dāng)x1,12a時(shí),f(x)>0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在1,12a內(nèi)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.當(dāng)a=12時(shí),12a=1,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.當(dāng)a>12時(shí),0<12a<1,當(dāng)x12a,1時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(1,+)時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在x=1處取極大值,符合題意 .綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>12.請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是直線(xiàn)2x+2y-1=0上的一點(diǎn),Q是射線(xiàn)OP上的一點(diǎn),滿(mǎn)足|OP|OQ|=1.(1)求Q點(diǎn)的軌跡.(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y)是(1)中軌跡上任意一點(diǎn),求x+7y的最大值.【解析】(1)以O(shè)為極點(diǎn),Ox 為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)Q,P的極坐標(biāo)分別為(,),(1,),由題意1=1,0,得1=1,所以點(diǎn)P直角坐標(biāo)為cos,sin,P在直線(xiàn)2x+2y-1=0上,所以2cos+2sin-1=0,=2cos +2sin ,化成直角坐標(biāo)方程得(x-1)2+(y-1)2=2(x0,且y0),所以Q點(diǎn)的軌跡是以(1,1)為圓心,2為半徑的圓(原點(diǎn)除外).(2)Q點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為x=1+2cosy=1+2sin( 為參數(shù),54),則x+7y=1+2cos +7+72sin =8+10sin(+),其中tan =17,所以x+7y的最大值是18.23.(本題滿(mǎn)分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8.(2)若|a|<1,|b|<1,且a0,求證:f(ab)>|a|fba.【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=-2x-2,x<-3,4,-3x1,2x+2,x>1當(dāng)x<-3時(shí),由-2x-28,解得x-5;當(dāng)-3x1時(shí),f(x)8不成立;當(dāng)x>1時(shí),由2x+28,解得x3;所以不等式f(x)+f(x+4)8的解集為x|x-5或x3.(2)f(ab)>|a|fba,即|ab-1|>|a-b|.因?yàn)閨a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|,故所證不等式成立.