2019-2020年高考數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點27 立體幾何中的向量方法（理）（學(xué)生版） 新課標(biāo)【高考再現(xiàn)】熱點一 求角問題1.(xx年高考陜西卷理科5)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） （D） 2.(xx年高考四川卷理科14)如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是_。3.(xx年高考全國卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等， BAA1=CAA1=60則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_.4.(xx年高考湖北卷理科19)（本小題滿分12分）如圖1，ACB=45，BC=3，過動點A作ADBC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將ABD折起，使BDC=90（如圖2所示），（1）當(dāng)BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，設(shè)點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得ENBM，并求EN與平面BMN所成角的大小 5.(xx年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點，已知，求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小.6.(xx年高考浙江卷理科20) (本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA，M，N分別為PB，PD的中點()證明：MN平面ABCD；() 過點A作AQPC，垂足為點Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值7.(xx年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60，F(xiàn)C平面ABCD，8.(xx年高考遼寧卷理科18) (本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，點M，N分別為和的中點. ()證明：平面; ()若二面角為直二面角，求的值.9(xx年高考江西卷理科19)（本題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。（1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長；（2）求平面與平面BB1C1C夾角的余弦值。10.(xx年高考新課標(biāo)全國卷理科19)（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點，（1）證明：（2）求二面角的大小。 【方法總結(jié)】1利用向量法求異面直線所成的角時，注意向量的夾角與異面直線所成的角的異同同時注意根據(jù)異面直線所成的角的范圍(0，得出結(jié)論2利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.3利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；二是通過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)4利用空間向量求二面角時，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角熱點二 求距離問題11.(xx年高考全國卷理科4)已知正四棱柱中，為的中點，則直線 與平面的距離為（ ）A2 B C D112.(xx年高考遼寧卷理科16)已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_.13.(xx年高考天津卷理科17)（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，丄平面，丄，丄，.()證明：丄；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱上的點，滿足異面直線與所成的角為，求的長.14.(xx年高考重慶卷理科19)（本小題滿分12分（）小問4分（）小問8分） 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點（）求點C到平面 的距離;（）若,求二面角 的平面角的余弦值?！痉椒偨Y(jié)】點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實上，作BH平面CMN于H.由及nn，得|n|n|n|，所以|，即d.熱點三 折疊問題15.(xx年高考安徽卷理科18)（本小題滿分12分）平面圖形如圖4所示，其中是矩形，。現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。（）證明：； （）求的長；（）求二面角的余弦值?！究键c剖析】一明確要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題4.能用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 二命題方向利用向量法求空間角的大小是命題的熱點著重考查學(xué)生建立空間坐標(biāo)系及空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的能力題型多為解答題，難度中檔.三規(guī)律總結(jié)一種方法用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相關(guān)向量；(3)通過運(yùn)算完成證明或計算問題 兩個理解(1)共線向量定理還可以有以下幾種形式：abab；空間任意兩個向量，共線的充要條件是存在，R使ab.若，不共線，則P，A，B三點共線的充要條件是且1.(2)對于共面向量定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點共線、線線平行、四點共面、線面平行的工具，三個定理保證了由向量作為橋梁由實數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問題的完美“嫁接” 四種運(yùn)算空間向量的四種運(yùn)算與平面向量的四種運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全 一致可類比學(xué)習(xí)學(xué)生要特別注意共面向量的概念而對于四種運(yùn)算的運(yùn)算律，要類比實數(shù)加、減、乘的運(yùn)算律進(jìn)行學(xué)習(xí)三種成角(1)異面直線所成的角的范圍是；(2)直線與平面所成角的范圍是；(3)二面角的范圍是0， 易誤警示利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面、的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點【基礎(chǔ)練習(xí)】2(人教A版教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為() A45 B135C45或135 D904.(經(jīng)典習(xí)題)平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、兩兩的夾角均為60，且|1，|2，|3，則|等于()A5 B6 C4 D8【名校模擬】一基礎(chǔ)扎實1.(浙江省xx屆重點中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )有六根細(xì)木棒，其中較長的兩根分別為a、a，其余四根均為a，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線的夾角的余弦值為_2.(北京市東城區(qū)xx第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理)（本小題共13分） 如圖,矩形所在的平面與直角梯形所在的平面互相垂直，,，且，（）求證：平面；（）求二面角的余弦值.3.(中原六校聯(lián)誼xx年高三第一次聯(lián)考理)（本小題滿分12分）如右圖所示，四棱錐PABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是ADC=60的菱形，M為PB的中點（1）求PA與底面ABCD所成角的大小；（2）求證：PA平面CDM；（3）求二面角DMCB的余弦值二能力拔高 6.(河北省唐山市xx高三年級第二次模擬考試?yán)?（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB= 2AD =2CD =2E是PB的中點 （I）求證：平面EAC平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值8.(xx年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理) (本小題滿分12分)9. (山西省xx年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練文)（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，M，N分別是PB，AC的中點。（1） 求證：MN/平面PAD；（2） 求點B到平面AMN的距離10. (山西省xx年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，M，N分別是線段PB，AC上的動點，且不與端點重合，（1）求證：平面PAD；（2）當(dāng)MN的長最小時，求二面角的余弦值三提升自我12.【xx學(xué)年浙江省第二次五校聯(lián)考理】三棱錐中，兩兩垂直且相等，點，分別是和上的動點，且滿足，則和所成角余弦值的取值范圍是 13. (浙江省xx屆浙南、浙北部分學(xué)校高三第二學(xué)期3月聯(lián)考試題理)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，ABE20，CDF30將ABE繞直線BE、CDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為_15(河北唐山市xx屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABBC，ABCD，AB=2BC=2CD=2。（1）求證：平面PBC平面PAB；（2）若二面角BPCD的余弦值為，求 四棱錐PABCD的體積?！驹瓌?chuàng)預(yù)測】