第6課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)1.某袋中裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球,現(xiàn)從中隨機(jī)摸取1個(gè)球,有放回地摸取5次,設(shè)摸到的白球數(shù)為X,若E(X)=3,則D(X)=().A.85B.65C.45D.25【解析】由題意知XB5,3m+3,因?yàn)镋(X)=53m+3=3,解得m=2,所以XB5,35,故D(X)=53525=65.【答案】B2.設(shè)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的點(diǎn)數(shù)為,則().A.E()=72,D()=494B.E()=72,D()=3512C.E()=494,D()=72D.E()=494,D()=3516【解析】由題意知,的可能取值為1,2,3,4,5,6.P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=16,E()=116+216+316+416+516+616=72,D()=1-722+2-722+3-722+4-722+5-722+6-72216=3512.【答案】B3.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(=k)=Cnk23k13n-k,k=0,1,2,n,且E()=24,則D()的值為().A.8B.12C.29D.16【解析】由題意可知Bn,23,E()=23n=24,n=36.D()=n231-23=3629=8.【答案】A4.某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位,若每個(gè)單位在一天中使用電的機(jī)會(huì)是p,則供電網(wǎng)絡(luò)一天中平均用電的單位個(gè)數(shù)是().A.np(1-p) B.npC.nD.p(1-p)【解析】由題意知,一天中用電單位的個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即XB(n,p),故E(X)=np.【答案】B5.甲、乙、丙三位學(xué)生各自獨(dú)立地解同一道題,甲做對(duì)的概率為12,乙、丙做對(duì)的概率分別為m、n(m>n),且三位學(xué)生是否做對(duì)相互獨(dú)立,記X為這三位學(xué)生中做對(duì)該題的人數(shù),其分布列為X0123P14ab124則X的數(shù)學(xué)期望為.【解析】由題意,得1-12(1-m)(1-n)=14,12mn=124,又m>n,解得m=13,n=14.由題意知,a=122334+121334+122314=1124,b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-14-1124-124=14.故E(X)=014+11124+214+3124=1312.【答案】13126.一個(gè)人有n把鑰匙,其中只有一把能打開他的房門,他隨意地試開,并將打不開房門的鑰匙除去,則打開房門所試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是.【解析】由于每次打開房門的概率都是1n,因此E(X)=11n+21n+n1n=n+12. 【答案】n+127.某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)團(tuán)體競賽.根據(jù)比賽規(guī)則,某中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊(duì),其中初中部選出的3名同學(xué)中有2名女生;高中部選出的5名同學(xué)中有3名女生.競賽組委會(huì)將從這8名同學(xué)中隨機(jī)選出4人參加比賽.(1)設(shè)“選出的4人中恰有2名女生,而且這2名女生來自同一個(gè)部”為事件A,求事件A的概率P(A);(2)設(shè)X為選出的4人中女生的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由已知得P(A)=C22C32+C32C32C84=635,所以事件A的概率為635.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.由已知得P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1143737114所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1114+237+337+4114=52.拓展提升(水平二)8.如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體切割成125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體,記它的涂油漆面數(shù)為X,則X的均值為().A.126125B.65C.168125D.75【解析】X的可能取值為0,1,2,3.大正方體8個(gè)頂點(diǎn)處的8個(gè)小正方體涂有3個(gè)面,所以P(X=3)=8125;大正方體每條棱上對(duì)應(yīng)的小正方體除了兩個(gè)頂點(diǎn)處的還有3個(gè),一共312=36個(gè)小正方體涂有2個(gè)面,所以P(X=2)=36125;大正方體每個(gè)面上對(duì)應(yīng)的小正方體除去棱上的還有9個(gè),一共96=54個(gè)小正方體涂有1個(gè)面,所以P(X=1)=54125;還有125-(8+36+54)=27個(gè)沒有涂漆的小正方體,所以P(X=0)=27125.故E(X)=027125+154125+236125+38125=65.【答案】B9.體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是:每位學(xué)生最多可發(fā)3次球,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值范圍是().A.0,712B.712,1C.0,12D.12,1【解析】由已知可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,則E(X)=1p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>52或p<12.又p(0,1),所以p0,12.【答案】C10.已知離散型隨機(jī)變量X滿足P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,若E(X)=43,D(X)=29,則x1+x2的值為.【解析】由題意得x123+x213=43,x1-43223+x2-43213=29,即2x1+x2=4,2x1-432+x2-432=23,解得x1=53,x2=23或x1=1,x2=2.x1<x2,x1=1,x2=2,x1+x2=3.【答案】311.從一批產(chǎn)品中抽取4件做檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n,如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件做檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件做檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率;(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)設(shè)“第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品”為事件A,“第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品”為事件B,“第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品”為事件C,“第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品”為事件D,“這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)”為事件E,P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4312312124+C4412412=364.(2)X的可能取值為400,500,800,并且P(X=400)=1-C4312312-124=1116,P(X=500)=124=116,P(X=800)=C4312312=14,X的分布列為X400500800P111611614E(X)=4001116+500116+80014=506.25.