《2019年高考數學一輪總復習 專題33 數列求和檢測 文.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數學一輪總復習 專題33 數列求和檢測 文.doc（27頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

專題33數列求和 本專題特別注意： 1.倒序求和 2. 錯位相減求和 3.分組求和 4.分項求和 5.裂項求和 6.構造求和 【學習目標】 1．熟練掌握等差、等比數列前n項和公式． 2．熟練掌握非等差、等比數列求和的幾種方法，如錯位相減、裂項相消以及分組求和等． 【知識要點】 求數列前n項和的基本方法 (1)公式法 數列{an}為等差或等比數列時直接運用其前n項和公式求和． 若{an}為等差數列，則Sn＝＝ ____________________． 若{an}為等比數列，其公比為q， 則當q＝1時，Sn＝_________({an}為常數列)； 當q≠1時，Sn＝______________＝_________ (2)裂項相消求和法 數列{an}滿足通項能分裂為兩項之差，且分裂后相鄰的項正負抵消從而求得其和． (3)倒序相加法 如果一個數列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項的和即可用倒序相加法，如等差數列前n項的和公式就是用此法推導的． (4)錯位相減法 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的． (5)分組轉化求和法 一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減． (6)并項求和法 一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【方法總結】 1.常用基本求和法均對應數列通項的特殊結構特征，分析數列通項公式的特征，聯想相應的求和方法既是根本，又是關鍵. 2.數列求和實質就是求數列{Sn}的通項公式，它幾乎涵蓋了數列中所有的思想策略、方法和技巧，對學生的知識和思維有很高的要求，應充分重視并系統(tǒng)訓練. 【高考模擬】一、單選題 1．設列的前項和，，若數列的前項和為，則（ ） A． 8 B． 9 C． 10 D． 11 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出數列的通項公式，利用裂項相消法求出數列的和． 【詳解】 Sn為等差數列{an}的前n項和，設公差為d，a4=4，S5=15， 則：， 解得d=1， 則an=4+（n﹣4）=n． 由于=， 則， ==， 解得m=10． 故答案為：10． 故選：C． 【考點】 等差數列性質、裂項相消求和. 【點睛】 裂項相消法是指將數列的通項分成兩個式子的代數和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如 (其中是各項均不為零的等差數列，c為常數)的數列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或. 2．已知數列滿足，，，，若恒成立，則的最小值為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 【答案】D 【詳解】 由題意知，，由， 得， ， 恒成立，，故最小值為，故選D. 【點睛】 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤. 3．已知函數的圖象過點，記．若數列的前項和為，則等于（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【詳解】 分析：由函數的圖象過點，求出，從而可得的通項公式，由裂項相消法可得結果. 詳解：因為函數的圖象過點， 所以， 可得 ， ，故選D. 點睛：本題主要考查等差數列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤. 4．定義為個正數的“平均倒數”.若已知數列的前項的“平均倒數”為，又，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 根據題意和“平均倒數”的定義可得: 設數列的前項和為，則 當時， 當時， 當時也適合上式，則 故 故選 【點睛】 本題主要考查了數列的通項公式和求和，遇到形如的通項在求和時往往運用裂項求和法，關鍵在對已知條件的化簡，求數列的通項公式。 5．在數列中，若，，則的值 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：由疊加法求得數列的通項公式，進而即可求解的和. 詳解：由題意，數列中，， 則， 所以 所以，故選A. 點睛：本題主要考查了數列的綜合問題，其中解答中涉及到利用疊加法求解數列的通項公式和利用裂項法求解數列的和，正確選擇方法和準確運算是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力. 6．數列的通項公式，則其前項和（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：先化簡，再利用裂項相消求和. 詳解：由題得， 所以， 故答案為：A. 點睛：（1）本題主要考查裂項相消求和，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等.用裂項相消法求和. 7．對于三次函數，給出定義：設是函數 的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數，則( ) A． 2016 B． 2017 C． 2018 D． 2019 【答案】C 【解析】分析：對已知函數求兩次導數可得圖象關于點對稱，即，利用倒序相加法即可得到結論. 詳解：函數， 函數的導數，， 由得， 解得，而， 故函數關于點對稱， ， 故設， 則， 兩式相加得，則，故選C. 點睛：本題主要考查初等函數的求導公式，正確理解“拐點”并利用“拐點”求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題. 8．在數列中，，若數列滿足：，則數列的前10項的和等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由題設可以得到是等差數列，從而得到即，利用裂項相消法可求前項和. 詳解：是等差數列，其首項是1，公差為2， 所以，所以， ， 故，故選B. 點睛：數列通項的求法，取決遞推關系的形式，如果滿足，則用累加，特別地如果是常數，則就是等差數列；若，則用累乘，特別地如果是常數，則就是等比數列.其他類型的遞推關系則可通過變形構建新數列且新數列的遞推關系大多數滿足前面兩種情形. 9．定義函數如下表，數列滿足，，若，則（ ） A． 7042 B． 7058 C． 7063 D． 7262 【答案】C 【解析】分析：利用題設條件，結合函數定義能夠推導出數列是周期為6的周期數列，由此能求出數列的前2018項的和. 詳解：由題設知，，，，，，∵，，， ∴，，，，，，……， ∴是周期為6的周期數列， ∵， ∴，故選C. 點睛：本題考查函數的定義和數列的性質的應用，解題的關鍵是推導出數列是周期為6的周期數列. 10．已知函數，且，則（ ） A． 20100 B． 20500 C． 40100 D． 10050 【答案】A 【解析】分析：根據函數表達式得到當n為偶數時，，當n為奇數時，，再由數列中裂項求和的方法得到結果. 詳解：，當n為偶數時，，當n為奇數時，，故 故答案為：A. 點睛：這個題目考查了三角函數的求值，以及三角函數的求值，數列的裂項求和的方法；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等. 11．已知數列滿足：，，，則的整數部分為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：觀察問題則需要進行裂項，再結合條件推導出其變式，然后進行求和 詳解： 原式 當時， 整數部分為 故選 點睛：本題主要考查了裂項求和，由已知條件推導出和問題一致的通項是本題的解題關鍵，在不斷的轉換過程中注意分子和分母的變形，本題有一定的難度。 12．已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推，則該數列的前94項和是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先歸納出的項數和變化規(guī)律，再確定第94項在第幾組，是第幾項，再利用等比數列的前項和公式進行求解． 詳解：由題意，得共有項， 且， 令， 則的最大值為，且， 則該數列的前94項的和為 ． 點睛：歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理，其思維過程如下： 試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論． 13．數列的通項公式，其前項和為，則（ ） A． 1010 B． -1010 C． 2018 D． -504 【答案】B 【解析】分析：根據通項公式，可得看成其是以為周期的周期函數，求出相鄰項的值，即可求解. 詳解：， 其是以為周期的周期函數， ， ，， ， ，故選B. 點睛：本題考查了三角函數的單調性，數列求和，推理能力與計算能力，屬于中檔題.利用遞推關系求數列中的項常見思路為：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數較大時，考慮證明數列是等差、等比數列，或者是周期數列. 14．已知定義在上的函數滿足：；函數的圖象與函數的交點為；則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：先由題得函數f(x)的圖像關于點（2,0）對稱，再得到函數g(x)的圖像關于點（2,1）對稱，最后得到函數f(x)與函數g（x）的圖像的交點滿足，最后求的值. 詳解：因為函數f(x)滿足，所以函數f(x)的圖像關于點（2,0）對稱. 由題得 所以函數g(x)的圖像關于點（2,0）對稱， 所以函數f(x)與函數g（x）的圖像的交點 關于點（2,0）對稱，滿足 由題得 所以.故答案為：A. 點睛：（1）本題主要考查函數的圖像和性質，考查數列求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是推理出函數g(x)的圖像關于點（2,1）對稱，其二是推理得到函數f(x)與函數g（x）的圖像的交點滿足. 15．設表示不超過的最大整數，如．已知數列滿足：，則( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】A 【解析】分析：由題意先求出數列的通項公式，再求出，最后結合的定義求解． 詳解：∵， ∴， ∴ ， 又滿足上式， ∴． ∴， ∴， ∴． 故選A． 點睛：本題考查累加法求數列的通項公式和利用裂項相消法求數列的和，考查學生的運算能力和理解運用新知識解決問題的能力，解題的關鍵是正確理解所給的運算的定義． 16．已知數列的前項和為，對任意的 有，且則的值為( ) A． 2或4 B． 2 C． 3或4 D． 6 【答案】A 【解析】分析：利用的關系，求解的表達式，討論滿足不等式的值。 詳解：則，解得，，所以，當時，；當時，； 點睛：，一定要注意，當時要驗證不滿足數列。形如：為擺動數列，為奇數或偶數時表達式不一樣，要分類討論。 17．數列的前項和為，若， 則 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 點睛：，一定要注意，當時要驗證是否滿足數列。 18．已知數列的前項和為，令，記數列的前項和為，則（ ） A． -2018 B． 2018 C． -2017 D． 2017 【答案】A 【解析】分析：利用當，.當時，，即可得到，于是，由于函數的周期，利用周期性和等差數列的前項和公式即可得出. 詳解：由數列的前項和為， 當時，； 當時，， 上式對時也成立， . ， 函數的周期， . 故選：A. 點睛：本題考查了利用“當，.當時，”求、余弦函數的周期性、等差數列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力和計算能力. 19．已知數列滿足：當且時，有，則數列的前200項的和為（ ） A． 300 B． 200 C． 100 D． 50 【答案】A 【解析】分析：由條件分別令，再求和，即可得到答案. 詳解：由題意當且時，有， 可得到， 所以數列的前項的和為， 故選A. 點睛：點本題主要考查了數列的分組求和，其中解答中注意數列的遞推關系的合理運用是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力. 20．已知數列中，，且對任意的，，都有，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：令m=1，可得an+1﹣an=n+1，再利用累加法可得的通項，再利用裂項法得到==2（﹣），從而可求得的值． 詳解：∵a1=1，且對任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an+mn， ∴令m=1，則an+1=a1+an+n=an+n+1， 即an+1﹣an=n+1， ∴an﹣an﹣1=n（n≥2）， …， a2﹣a1=2， ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=， ∴==2（﹣）， ∴=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）]=2（1﹣）=， 故選：D． 點睛：：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤. 二、填空題 21．設是函數的導數，若是的導數，若方程方有實數解，則稱. 點為函數的“拐點”.已知：任何三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設，數列的通項公式為，則__________． 【答案】4034 【解析】 【分析】 由題意對已知函數求兩次導數可得f′′（x）=2x﹣4，由題意可得函數的圖象關于點（2，2）對稱，即f（x）+f（4﹣x）=2，由數列{an}的通項公式分析可得{an}為等差數列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），結合f（x）+f（4﹣x）=2，計算可得答案． 即（2，2）是三次函數的對稱中心， 則有f（x）+f（4﹣x）=4， 數列{an}的通項公式為an=n﹣1007，為等差數列， 則有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4 則=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017） =f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009） =41008+2=4034； 故答案為：4034． 【點睛】 本題考查了三次函數的中心對稱性，考查了數列求和，解題關鍵是利用對稱性成對求和即可,屬于中檔題. 22．已知數列滿足，且對任意的，都有，若數列滿足，則數列的前項和的取值范圍是_______. 【答案】 【詳解】 由題意m，n∈N*，都有=an， 令m=1，可得：， 可得an=3n， ∵bn=log3（an）2+1， ∴bn=2n+1， 那么數列{}的通項cn==． 那么：Tn=c1+c2+……cn =（+++……+） = =， 當n=1時，可得T1=， 故得Tn的取值范圍為[，）， 故答案為：[，）． 【點睛】 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤. 23．已知數列對任意，總有成立，記，則數列的前項和為__________． 【答案】 【解析】分析：由數列的遞推公式即可求出通項公式，再裂項相消法求出答案. 解析： …① 當n=1時，； 當時，…② ①②兩式相除得， 當n=1時，適合上式. ， ， . 故答案為：. 點睛：利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等． 24．等差數列中，，.若記表示不超過的最大整數，（如）.令，則數列的前2000項和為__________． 【答案】5445. 【解析】分析：設等差數列{an}的公差為d，由a3+a4=12，S7=49．可得2a1+5d=12，d=49，解出即可得出； bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]，n=1，2，3，4，5時，bn=0.6≤n≤50時，bn=1；51≤n≤500時，bn=2；501≤n≤2000時，bn=3．即可得出． 詳解：設等差數列{an}的公差為d，∵a3+a4=12，S7=49． ∴2a1+5d=12，d=49， 解得a1=1，d=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]， n=1，2，3，4，5時，bn=0． 6≤n≤50時，bn=1； 51≤n≤500時，bn=2； 501≤n≤2000時，bn=3． ∴數列{bn}的前2000項和=45+4502+15003=5445． 故答案為：5445. 點睛：本題考查了等差數列的通項公式、取整函數的性質、數列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．數列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。 25．已知函數，則 _________. 【答案】 【解析】分析：由題意可得，利用倒序相加法，從而即可得到答案. 詳解： ， 設 ① 則 ② ①+②得， . 故答案為：2018. 點睛：本題考查數列與函數的應用，考查推理能力以及運算求解能力. 26．已知等差數列，，若函數，記，用課本中推導等差數列前項和的方法，求數列的前9項和為__________． 【答案】9 【解析】分析：由等差中項可知，所以 故，由此得此結論。 詳解：，所以數列的前9項和為，由等差數列，，則，由 所以，則，所以。由倒序相加可得 所以， 點睛：知識儲備，等差數列的性質：若，則。 為周期函數，周期。 27．已知數列滿足，，則數列的前n項和 ______ ． 【答案】 【解析】分析：可設an+1+t=3（an+t），求得t=，運用等比數列的通項公式，可得數列{an}的通項，再由數列的求和方法：分組求和，結合等比數列的求和公式，化簡即可得到所求和． 詳解：由a1=1，an+1=3an+1， 可設an+1+t=3（an+t）， 即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=， 則an+1+=3（an+）， 可得數列{an+}是首項為，公比為3的等比數列， 即有an+=?3n﹣1， 即an=?3n﹣1﹣， 可得數列{an}的前n項和Sn=（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n =（3n+1﹣2n﹣3）． 故答案為：（3n+1﹣2n﹣3）． 點睛：這個題目考查的是數列通項公式的求法及數列求和的常用方法；數列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。 28．.已知數列滿足.記，則數列的前項和=__________． 【答案】. 【解析】分析：首先從題中所給的遞推公式推出數列成等差數列，利用等差數列的通項公式求得，代入題中的條件，可以求得，可以發(fā)現是由一個等差數列和一個等比數列對應項積所構成的新數列，用錯位相減法求和即可得結果. 詳解：由得， 所以數列是以為首項，以為公差的等差數列， 所以，即， 記，則 （1），式子兩邊都乘以2得 （2），兩式相減得： 所以，故答案為. 點睛：該題考查的是有關數列求和的問題，涉及的知識點有由倒數型的遞推公式通過構造等差數列求得通項公式，以及錯位相減法求和，在操作的過程中，需要時刻保持頭腦清醒，再者就是在求和時，涉及到等比數列求和時，一定要分清項數. 29．已知數列的前項和，數列滿足，若，則__________． 【答案】18. 【解析】分析：先根據已知得到數列的通項，再求出，最后利用裂項相消化簡即得n的值. 詳解：當n=1時，. 當n≥2時，，適合n=1.故 所以 所以 所以=， 解之得n=18. 點睛：（1）本題主要考查數列通項的求法和裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理的能力.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等,用裂項相消法求和. 30．已知公差不為零的等差數列中，，且，，成等比數列，的前項和為，.則數列的前項和__________． 【答案】 那么{bn}的前n項和Tn= . 故答案為： 點睛：本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，考查等比數列的性質，考查運算能力，屬于基礎題． 三、解答題 31．已知數列是等比數列，，是和的等差中項. （1）求數列的通項公式； （2）設，求數列的前項和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 (1)根據已知求出q的值，即得數列的通項公式.(2)先求得，再利用錯位相減求數列的前項和. （2）因為，所以． 所以． 則， ① . ② ①－②得， ， 所以． 【點睛】 （1）本題主要考查等比數列通項的求法，考查錯位相減求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 若數列，其中是等差數列，是等比數列，則采用錯位相減法. 32．已知為等差數列的前項和，且，． （1）求數列的通項公式； （2）設，求數列的前項和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根據，得到的方程組，解方程組即得數列的通項公式.(2)利用裂項相消求數列的前項和. 【詳解】 【點睛】 (1)本題主要考查等差數列的通項求法，考查裂項相消求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等.用裂項相消法求和. 33．等差數列中， ，其前項和為，等比數列的各項均為正數， ，公比為（），且， . （1）求與； （2）求數列的前項和. 【答案】（1）， ;（2）. 【解析】 【分析】 （1）等差數列的公差為，， ，求出公比和公差，然后求解通項公式． （2）求出數列前項和為，化簡通項公式，利用裂項相消法求和即可． 【詳解】 （1）等差數列的公差為， ， ，∴，∴. 整理得： ，解得： 或（舍去）， ∴， ，∴ （2）數列前項和為， ， ， 數列的前項和 數列的前項和 【點睛】 本題考查等差數列以及等比數列的應用，數列求和的方法，考查計算能力． 34．數列的前項和為，已知，. （Ⅰ）證明：數列是等比數列； （Ⅱ）求數列的前項和. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】 【分析】 (1)由，可得，即，從而可得結論；（2）由（1）知，，可得，利用錯位相減法，結合等比數列求和公式，即可得結果. 【詳解】 （1）證明：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴數列是以1為首項，2為公比的等比數列. （2）由（1）知，， ∴， ∴ ，① . ② ①-②得 ， ∴. 【點睛】 本題主要考查等比數列的定義和等比數列的求和公式，以及錯位相減法求數列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式. 35．設數列的前項和為，且. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若，設，求數列的前項和 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 （Ⅰ）直接利用項和公式求數列的通項公式.( Ⅱ)先求出，再利用裂項相消求數列的前項和. 【詳解】 （1）由得， 兩式相減得：， 即 ， 即 所以數列是公比為的等比數列， 又由得， 所以； （2）因為， 所以， 所以 【點睛】 (1)本題主要考查項和公式求數列的通項，考查裂項相消求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等.用裂項相消法求和. 36．已知公差不為0的等差數列的前三項的和為15，且. （1）求數列的通項公式； （2）設，數列的前項和為，若恒成立，求實數的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 (1)先根據已知列方程組求出，再求數列的通項公式.(2)先利用裂項相消求出，再求的最大值為，即得m的取值范圍和最小值. 【詳解】 （1）依題意，即， 即，故. 又，即，故. 故數列的通項公式. （2）依題意，. 則 ， 故恒成立，則，所以實數的最小值為. 【點睛】 (1)本題主要考查等差數列的性質，考查等差數列通項的求法和裂項相消求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等.用裂項相消法求和. 37．設數列的首項，前項和滿足關系式. （1）求證：數列是等比數列； （2）設數列的公比為，作數列，使，求數列的通項公式； （3）數列滿足條件（2），求和：. 【答案】（1）見解析. （2）. （3）. 【解析】 【分析】 （1）利用，求得數列的遞推式，整理得，進而可推斷出時，數列成等比數列，然后分別求得和，驗證亦符合，進而可推斷出是一個首項為1，公比為的等比數列；（2）把 的解析式代入，進而可知，判斷出是一個首項為1，公差為1的等差數列．進而根據等差數列的通項公式求得答案；（3）由是等差數列．進而可推斷出和也是首項分別為1和2，公差均為2的等差數列，進而用分組法可求得結果． （2）由，得 . 所以是一個首項為1，公差為1的等差數列.于是. （3）由，可知和是首項分別為1和2，公差均為2的等差數列，于是， 所以 . 【點睛】 本題主要考查了等比關系的確定，考查了學生綜合分析問題的能力，考查了利用分組求和法求數列的和. 38．設數列滿足. （Ⅰ）求及的通項公式; （Ⅱ）求數列的前項和. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分別令可求出，因為是恒等式，故也成立，兩式相減可得，結合前者可得通項. （Ⅱ）用裂項相消法求數列的前項和. 【詳解】 （Ⅰ）令，則. 令，則，故. ，① 時，，② ①②得：. 又時，滿足上式， （Ⅱ）由（Ⅰ）: 【點睛】 數列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數列與等比數列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現，則用并項求和法. 39．已知數列中，，又數列是首項為、公差為的等差數列. （1）求數列的通項公式； （2）求數列的前項和. 【答案】(1) (2) 【詳解】 （1）∵數列是首項為，公差為的等差數列， ∴， 解得. （2）∵. ∴ . 【點睛】 利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等． 40．已知等差數列滿足，，公比為正數的等比數列滿足，. （Ⅰ）求數列，的通項公式； （Ⅱ）設，求數列的前項和. 【答案】(Ⅰ ) （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ ）利用等差數列、等比數列的通項公式即可求得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用錯位相減法即可得到數列的前項和. 【詳解】 （Ⅰ）設等差數列的公差為，等比數列的公比為， 因為，所以，解得. 所以. 由及等比中項的性質，得， 又顯然必與同號，所以. 所以.又公比為正數，解得. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 則 ①. ②. ①-②，得 . 所以. 【點睛】 用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.