第二十七章相似271圖形的相似01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1相似圖形1下列各組圖形相似的是(B)2下列各項(xiàng)中不是相似圖形的是(C)A放大鏡里看到的三角板與原來的三角板B同一張底片洗出的2寸相片和1寸相片C哈哈鏡里看到的人像與真人像D課本里的中國(guó)地圖和教室墻上掛的中國(guó)地圖知識(shí)點(diǎn)2成比例線段3下列各組線段成比例的是(D)A2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4已知線段a，b，c，d成比例，且，其中a8 cm，b4 cm，c12 cm，則d6cm.5在比例尺為1200 000的地圖上，測(cè)得A，B兩地間的圖上距離為4.5 cm，則A，B兩地間的實(shí)際距離為9_000m.知識(shí)點(diǎn)3相似多邊形6兩個(gè)相似多邊形一組對(duì)應(yīng)邊分別為3 cm，4.5 cm，那么它們的相似比為(A)A. B. C. D.7(xx重慶A卷)要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5 cm，6 cm和9 cm，另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5 cm，則它的最長(zhǎng)邊為(C)A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm8下列四組圖形中，一定相似的是(D)A正方形與矩形B正方形與菱形C菱形與菱形D正五邊形與正五邊形9如圖是兩個(gè)相似四邊形，已知數(shù)據(jù)如圖所示，則x，8010如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，A，B，C，D分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，判斷四邊形ABCD與四邊形ABCD是否相似，并說明理由解：四邊形ABCD與四邊形ABCD相似理由：A，B分別是OA，OB的中點(diǎn)，ABAB，ABAB.OABOAB，.同理，OADOAD，.BADBAD，.同理，ADCADC，DCBDCB，CBACBA，四邊形ABCD與四邊形ABCD相似易錯(cuò)點(diǎn)沒有分情況討論導(dǎo)致漏解11已知三條線段的長(zhǎng)分別為1 cm、2 cm、 cm，如果另外一條線段與它們是成比例線段，那么另外一條線段的長(zhǎng)為_cm，2_cm或_cm.02中檔題12用一個(gè)10倍的放大鏡看一個(gè)15的角，看到的角的度數(shù)為(C)A150 B105 C15 D無法確定大小13已知四條線段的長(zhǎng)度分別為2，x1，x1，4，且它們是成比例線段，則x的值為(B)A2 B3 C3 D3或314如圖，正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE相似，若ABFG23，則下列結(jié)論正確的是(B)A2DE3MN B3DE2MNC3A2F D2A3F15(教材P28習(xí)題T5變式)如圖，DEBC，DE3，BC9，AD1.5，AB4.5，AE1.8，AC5.4.(1)求，的值；(2)求證：ADE與ABC相似. 解：(1)，. (2)證明：DEBC, DB，EC.又DAEBAC，ADE與ABC相似16如圖，G是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，作GEAD，GFAB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形AFGE與四邊形ABCD相似證明：四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線，DACBAC45.又GEAD，GFAB，EGFG，且AEEG，AFFG.AEEGFGAF.又EAF90，四邊形AFGE為正方形，且EAFDAB，AFGABC，F(xiàn)GEBCD，AEGADC.四邊形AFGE與四邊形ABCD相似03綜合題17(教材P28習(xí)題T8變式)如圖，把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AB4.(1)求AD的長(zhǎng)；(2)求矩形DMNC與矩形ABCD的相似比解：(1)若設(shè)ADx(x0)，則DM.矩形DMNC與矩形ABCD相似，即.解得x4(舍負(fù))AD的長(zhǎng)為4.(2)矩形DMNC與矩形ABCD的相似比為.272相似三角形272.1相似三角形的判定第1課時(shí)平行線分線段成比例01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的有關(guān)概念1如圖所示，ADEACB，AEDB，那么下列比例式成立的是(A)A. B.C. D.2已知ABC和ABC相似，且ABC與ABC的相似比為R1，ABC與ABC的相似比為R2，則R1與R2的關(guān)系是(D)AR1R2 BR1R21CR1R20 DR1R21知識(shí)點(diǎn)2平行線分線段成比例定理及推論3如圖，ABCDEF，則下列結(jié)論不正確的是(C)A. B.C. D.4(教材P31練習(xí)T2變式)如圖，在ABC中，DEBC.若，則(C)A. B. C. D.5(xx臨沂)如圖，已知ABCD，AD與BC相交于點(diǎn)O.若，AD10，則AO46(xx嘉興)如圖，直線l1l2l3，直線AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知，則27如圖，EGBC，GFCD，AE3，EB2，AF6，求AD的值解：EGBC，.GFCD，.，即.FD4.ADAFFD10.知識(shí)點(diǎn)3相似三角形判定的預(yù)備定理8如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DEBC.若BD2AD，則(B)A. B. C. D.9(xx自貢)如圖，在ABC中，MNBC 分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.若AM1，MB2，BC3，則MN的長(zhǎng)為1. 10如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC上，EFBC，分別交AB，AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，圖中共有幾對(duì)相似三角形？分別是哪幾對(duì)？解：共有3對(duì)相似三角形，分別是：AEGABD，AGFADC，AEFABC.易錯(cuò)點(diǎn)圖形的不唯一導(dǎo)致漏解11在ABC中，AB6，AC9，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且AP2，過點(diǎn)P作BC邊的平行線，交直線AC于點(diǎn)M，則MC的長(zhǎng)為6或1202中檔題12如圖，在ABC中，ABAC12，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，且DE2AE，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，則線段AF長(zhǎng)為(C)A4 B3 C2.4 D213如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫格線上若線段AB4 cm，則線段BC12cm.14小明正在攀登一個(gè)如圖所示的攀登架，DE和BC是兩根互相平行的固定架，DE10米，BC18米，小明從底部固定點(diǎn)B開始攀登，攀行8米，遇上第二個(gè)固定點(diǎn)D，小明再攀行多少米可到達(dá)這個(gè)攀登架的頂部A?解：DEBC，ABCADE.，即.AD10.答：小明再攀行10米可到達(dá)這個(gè)攀登架的頂部A.15如圖，已知：ABAD，ACAE，F(xiàn)GDE.求證：ABCAFG.證明：ABAD，ACAE，BACDAE，ABCADE.BCDE，BADE，CAED.FGDE，AFGADE.又CAEDG，BADEF，BACFAG，ABCAFG.03綜合題16如圖，ADEGBC，EG分別交AB，DB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，已知AD6，BC10，AE3，AB5，求EG，F(xiàn)G的長(zhǎng)解：在ABC中，EGBC，AEGABC.，即.EG6.在BAD中，EFAD，BEFBAD.，即.EF.FGEGEF.第2課時(shí)相似三角形的判定定理1，201基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1三邊成比例的兩個(gè)三角形相似1有甲、乙兩個(gè)三角形木框，甲三角形木框的三邊長(zhǎng)分別為1，乙三角形木框的三邊長(zhǎng)分別為5，則甲、乙兩個(gè)三角形(A)A一定相似 B一定不相似C不一定相似 D無法判斷2(教材P34練習(xí)T3變式)已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為6 cm，7.5 cm，9 cm，DEF的一邊長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)DEF的另兩邊長(zhǎng)是下列哪一組數(shù)據(jù)時(shí)，這兩個(gè)三角形相似(C)A2 cm，3 cm B4 cm，5 cmC5 cm，6 cm D6 cm，7 cm3下列四個(gè)三角形中，與圖甲中的三角形相似的是(B)4如圖，在ABC中，AB25，BC40，AC20.在ADE中，AE12，AD15，DE24，試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由解：相似理由：，.ABCADE.知識(shí)點(diǎn)2兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似5如圖，已知ABC，則下列4個(gè)三角形中，與ABC相似的是(C)6如圖，在ABC與ADE中，BACD，要使ABC與ADE相似，還需滿足下列條件中的(C)A. B. C. D.7在ABC和ABC中，若BB，AB6，BC8，BC4，則當(dāng)AB3時(shí)，ABCABC.8如圖，已知ABADACAE，B30，則E309如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：ADQQCP.證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則ADCDBC4a.Q是CD的中點(diǎn)，BP3PC，DQCQ2a，PCa.又DC90，ADQQCP.易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊沒有確定時(shí)容易漏解10. (xx隨州)在ABC中，AB6，AC5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE或時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似02中檔題11如圖，在正方形網(wǎng)格上，若使ABCPBD，則點(diǎn)P應(yīng)在_處(C)AP1 BP2 CP3 DP412如圖，在等邊ABC中，D，E分別在AC，AB上，且ADAC13，AEBE，則有(B)AAEDBED BAEDCBDCAEDABD DBADBCD13如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AEDB，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且.(1)求證：ADFACG；(2)若，求的值解：(1)證明：AEDB，DAEBAC，ADFC.又，ADFACG.(2)ADFACG.1.14如圖，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0t2)，連接PQ.若以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求t的值解：由題意，得BP5t，QC4t，AB10 cm，BC8 cm.PBQABC，若BPQBAC，則還需，即.解得t1.PBQCBA，若BPQBCA，則還需，即.解得t.綜上所述，當(dāng)t1或時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似03綜合題15如圖，在ABC中，ABAC1，BC，在AC邊上截取ADBC，連接BD.(1)通過計(jì)算，判斷AD2與ACCD 的大小關(guān)系；(2)求ABD 的度數(shù)解：(1)ADBC，AD2()2.AC1，CD1.AD2ACCD.(2)AD2ACCD，BC2ACCD，即.又CC，ABCBDC.又ABAC，BDBCAD.AABD，ABCCBDC.設(shè)AABDx，則BDCAABD2x.ABCCBDC2x.AABCCx2x2x180.解得x36.ABD36.第3課時(shí)相似三角形的判定定理301基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似1有一個(gè)角為30的兩個(gè)直角三角形一定(B)A全等 B相似 C既全等又相似 D無法確定2(教材P36練習(xí)T2變式)如圖，在ABC中，ACB90，CDAB于點(diǎn)D，則下列說法中錯(cuò)誤的是(C)AACDCBD BACDABCCBCDABC DBCDBAC3(xx永州)如圖，在ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，ADCACB，AD2，BD6，則邊AC的長(zhǎng)為(B)A2 B4 C6 D84(xx邵陽)如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，連接BF.寫出圖中任意一對(duì)相似三角形：答案不唯一如：EFCAFD，EABAFD，EFCEAB5已知在ABC中，A40，B75，下圖各三角形中與ABC相似的是EFD，HGK.6如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FDAB，F(xiàn)EAC.求證：ABCFDE.證明：FDAB，F(xiàn)EAC，BFDE，CFED.ABCFDE.7甲、乙兩位同學(xué)同解一道題目：“如圖，F(xiàn)，G是直線AB上的兩點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn)，且DFCB，EC，請(qǐng)寫出與ABC相似的三角形，并加以證明”甲同學(xué)的解答得到了老師的好評(píng)乙同學(xué)的解答是這樣的：“與ABC相似的三角形只有AFD，證明如下：DFCB，AFDABC.”乙同學(xué)的解答正確嗎？若不正確，請(qǐng)你改正解：乙同學(xué)的解答不正確與ABC相似的三角形還有GFE，應(yīng)該補(bǔ)上證明如下：DFBC，GFEABC.又EC，GFEABC.知識(shí)點(diǎn)2斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似8在ABC和A1B1C1中，AA190，添加下列條件不能判定兩個(gè)三角形相似的是(D)ABB1 B.C. D.9一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)分別為8 cm和15 cm，另一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)分別為6 cm和 cm，這兩個(gè)直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形10在ABC和ABC中，CC90，AC12，AB15，AC8，則當(dāng)AB10時(shí)，ABCABC.易錯(cuò)點(diǎn)斜邊和直角邊比例不唯一導(dǎo)致漏解11如圖，已知ACBABD90，AB，AC2，則AD的長(zhǎng)為3或3時(shí)，圖中兩直角三角形相似02中檔題12如圖，點(diǎn)P在ABC的邊AC上，要判斷ABPACB，添加一個(gè)條件，不正確的是(D)AABPC BAPBABC C. D.13如圖，在ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，CE，ADDE35，AE8，BD4，則DC的長(zhǎng)等于(A)A. B. C. D.14下列命題：所有的等腰三角形都相似；有一個(gè)角是50的兩個(gè)等腰三角形相似；有一個(gè)角是60的兩個(gè)等腰三角形相似；有一個(gè)角是110的兩個(gè)等腰三角形相似；所有的等腰直角三角形都相似其中真命題是(填序號(hào))15(xx齊齊哈爾)經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”如圖，線段CD是ABC的“和諧分割線”，ACD為等腰三角形，CBD和ABC相似，A46，則ACB的度數(shù)為113或9216如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD3，ADE60，求AE的長(zhǎng)解：ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，BC60，ABBCAC9.BADADB120.ADE60，CDEADB120.BADCDE.又BC，ABDDCE.，即.CE2.AE927.03綜合題17如圖，在矩形ABCD中，AB20，BC10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q.(1)求證：APQCDQ；(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，DPAC?解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ABCD.APQCDQ.又AQPCQD，APQCDQ.(2)當(dāng)t5時(shí)，DPAC.理由：t5，AP5.又，.又PADADC90，PADADC.ADPDCA.ADPCDPADC90，DCACDP90.DQC90，即DPAC.小專題(四)相似三角形的基本模型模型1X字型及其變形(1)如圖1，對(duì)頂角的對(duì)邊平行，則ABODCO；(2)如圖2，對(duì)頂角的對(duì)邊不平行，且OABOCD，則ABOCDO.1(xx恩施)如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)交BC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，對(duì)角線BD交AG于點(diǎn)F，已知FG2，則線段AE的長(zhǎng)度為(D)A6 B8 C10 D122將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是3如圖，已知ADEACB，BD8，CE4，CF2，求DF的長(zhǎng)解：ADEACB，180ADE180ACB，即BDFECF.又BFDEFC，BDFECF.，即.DF4.模型2A字型及其變形(1)如圖1，公共角的對(duì)邊平行，則ADEABC；(2)如圖2，公共角的對(duì)邊不平行，且有另一對(duì)角相等，則ADEABC；(3)如圖3，公共角的對(duì)邊不平行，兩個(gè)三角形有一條公共邊，且有另一對(duì)角相等，則ACDABC.常見的結(jié)論有：AC2ADAB.)4如圖，在ABC中，AD是中線，BC8，BDAC，則線段AC的長(zhǎng)為(B)A4 B4 C6 D45如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AGBC于點(diǎn)G，AFDE于點(diǎn)F，EAFGAC.求證：ADEABC.證明：AFDE，AGBC，AFEAGC90，EAFGAC，AEFACG.又DAEBAC，ADEABC.6如圖，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且ABEFCD，求證：.證明：ABEF，DEFDAB.又EFCD，BEFBCD.1.模型3雙垂型直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即ACDABCCBD.常見的結(jié)論有：CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.7如圖，在RtABC中，CDAB，D為垂足，且AD3，AC3，則斜邊AB的長(zhǎng)為(B)A3 B15 C9 D338如圖，在ABC中，ACB90，CD是斜邊AB上的高，AD9，BD4，那么CD6，AC3模型4一線三等角型(1)如圖1，RtABD與RtBCE的斜邊互相垂直，則有ABDCEB；(2)如圖2，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，BACDE，則ABCCED.特殊地，連接AD，當(dāng)點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)時(shí)，ABCCEDACD. 圖1 圖29(xx江西)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且EFG90.求證：EBFFCG.證明：四邊形ABCD為正方形，BC90.BEFBFE90.EFG90，BFECFG90.BEFCFG.EBFFCG.10如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合)，滿足DEFB，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上(1)求證：BDECEF；(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分DFC.證明：(1)ABAC，BC.BDE180BDEB，CEF180DEFDEB，且DEFB，BDECEF.BDECEF.(2)BDECEF，.點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BECE.DEFBC，DEFECF.DFECFE，即FE平分DFC.11如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且BEF90.(1)求證：ABEDEF；(2)若AB4，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求BG的長(zhǎng)解：(1)證明：四邊形ABCD為正方形，AD90.ABEAEB90.BEF90，AEBDEF90.ABEDEF.ABEDEF.(2)ABAD4，E為AD的中點(diǎn)，AEDE2.由(1)知，ABEDEF，即.DF1.CF3.EDCG，EDFGCF.，即.GC6.BGBCGC10.周測(cè)(27.127.2.1)(時(shí)間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(每小題4分，共32分)1如圖，已知直線abc，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若，則(B)A. B. C. D12下列兩個(gè)圖形一定相似的是(D)A任意兩個(gè)等腰三角形 B任意兩個(gè)矩形C任意兩個(gè)菱形 D任意兩個(gè)等邊三角形3如圖，在ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，DEBC，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，連接AF交DE于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中一定正確的是(C) A. B. C. D.4如圖，在ABCD中，EFAB，DEEA23，EF4，則AB的長(zhǎng)為(C)A. B8 C10 D165在三角形紙片ABC中，AB8，BC4，AC6，按下列方法沿虛線剪下，能使陰影部分的三角形與ABC相似的是(D)ABCD6如圖，D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，下列條件：ACDB；AC2ADAB；AB邊上與點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩個(gè)；BACB，其中一定使ABCACD的有(B)A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)7如圖，在ABC中，AD平分BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn)A，D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M，N；第二步，連接MN分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)；第三步，連接DE，DF.若BD6，AF4，CD3，則BE的長(zhǎng)是(D)A2 B4 C6 D88在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是(A) 圖1圖2A兩人都對(duì) B兩人都不對(duì)C甲對(duì)，乙不對(duì) D甲不對(duì)，乙對(duì)二、填空題(每小題4分，共24分)9在比例尺為110 000 000的地圖上，量得甲、乙兩個(gè)城市之間的距離是8 cm，那么甲、乙兩個(gè)城市之間的實(shí)際距離應(yīng)為800_km.10如圖，x211如圖，已知AD，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是ABDE(答案不唯一)(只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母)12如圖，點(diǎn)O是ABC中任意一點(diǎn)，且ADOD，BEBO，CFCO，則ABCDEF，其相似比為3213如圖，在ABC中，AB6，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，且MEDM.則當(dāng)AMBM時(shí)，BC的長(zhǎng)為814如圖，AB是半圓直徑，半徑OCAB于點(diǎn)O，AD平分CAB交弧BC于點(diǎn)D，連接CD，OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：ACOD；CEOE；ODEADO；2CD2CEAB.其中正確結(jié)論的序號(hào)是三、解答題(共44分)15(10分)如圖，在ABC中，已知DEBC，AD4，DB8，DE3.求：(1)的值；(2)BC的長(zhǎng)解：(1)AD4，DB8，ABADDB4812.(2)DEBC，ADEABC.又DE3，.BC9.16(10分)如圖，在ABC中，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，DBCA.(1)求證：BDCABC；(2)如果BC，AC3，求CD的長(zhǎng)解：(1)證明：DBCA，CC，BDCABC.(2)BDCABC，即.CD2.17(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA12 cm，OB6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用t(單位：s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0t6)，那么當(dāng)t為何值時(shí)，POQ與AOB相似？解：POQBOA，若POQBOA，則，即.解得t2.POQAOB，若POQAOB，則，即.解得t4.綜上所述，當(dāng)t2或4 s時(shí)，POQ與AOB相似18(12分)如圖，在RtACB中，ACB90，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD.(1)求證：ADOACB；(2)若O的半徑為1，求證：ACADBC.證明：(1)AB是O的切線，ODAB.ADO90.ACB90，ACBADO.又AA，ADOACB.(2)由(1)，知ADOACB，.ADBCACOD.又OD1，ACADBC.272.2相似三角形的性質(zhì)01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比1已知ABCDEF，ABC與DEF的相似比為41，則ABC與DEF對(duì)應(yīng)邊上的高之比為41 .2如圖，ABCABC，相似比為34，AD，AD分別是邊BC，BC上的中線，則ADAD343若兩個(gè)三角形相似，相似比為89，則它們對(duì)應(yīng)角平分線之比是89，若其中較小三角形的一條角平分線的長(zhǎng)為6 cm，則另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角平分線長(zhǎng)為_cm4已知ABCABC，CD是AB邊上的中線，CD是AB邊上的中線，CD4 cm，CD10 cm，AE是ABC的一條高，AE4.8 cm.求ABC中對(duì)應(yīng)高線AE的長(zhǎng)解：ABCABC，CD是AB邊上的中線，CD是AB邊上的中線，且AE，AE是對(duì)應(yīng)的高線，即.AE12 cm.知識(shí)點(diǎn)2相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比5如圖，ABCD，則AOB的周長(zhǎng)與DOC的周長(zhǎng)的比是(D)A. B. C. D.6如果兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為3 cm和5 cm，且較小三角形的周長(zhǎng)為15 cm，那么較大三角形的周長(zhǎng)為25cm.7已知ABCDEF，ABC和DEF的周長(zhǎng)分別為20 cm和25 cm，且BC5 cm，DF4 cm，求EF和AC的長(zhǎng)解：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，.EFBC5(cm)同理，.ACDF4(cm)EF的長(zhǎng)是 cm，AC的長(zhǎng)是 cm.知識(shí)點(diǎn)3相似三角形面積的比等于相似比的平方8(xx內(nèi)江)已知ABC與A1B1C1相似，且相似比為13，則ABC與A1B1C1的面積比為(D)A11 B13 C16 D199(xx自貢)如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)若ADE的面積為4，則ABC的面積為(D)A8 B12 C14 D1610(xx荊門)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接AF，BE交于點(diǎn)G，則SEFGSABG(C)A13 B31 C19 D9102中檔題11如圖，在ABC中，DEBC，則下列結(jié)論中正確的是(C)A. B.C. D.12(教材P43習(xí)題T12變式)(xx隨州)如圖，平行于BC的直線DE把ABC分成面積相等的兩部分，則的值為(C)A1 B. C.1 D.113如圖，直線l1，l2，l6是一組等距離的平行線，過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線，分別與直線l3，l6相交于點(diǎn)B，E和C，F(xiàn).若BC2，則EF的長(zhǎng)是514在ABCD中，M，N是AD邊上的三等分點(diǎn)，連接BD，MC相交于O點(diǎn)，則SMODSCOB或15如圖，D是ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB4，AD2，DACB，如果ABD的面積為15，求ACD的面積解：DACB，CC，ACDBCA.()2()2.ABD的面積為15，SACD5.16兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別是35 cm和14 cm，它們的周長(zhǎng)相差60 cm，求這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)解：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比是351452，周長(zhǎng)的比等于相似比，可以設(shè)一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是5x，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是2x.周長(zhǎng)相差60 cm，5x2x60，解得x20.這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為100 cm，40 cm.17如圖，在ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DCAC，ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF.(1)求證：EFBC；(2)若四邊形BDFE的面積為6，求ABD的面積解：(1)證明：DCAC，CF平分ACB，AFDF.又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，EF是ABD的中位線EFBD，即EFBC.(2)由(1)知，EFBD，AEFABD.()2.又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，.SAEFSABD.SABD6SABD.SABD8.03綜合題18(xx內(nèi)江)如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，CM是BCD的平分線，且CMAB，M為垂足，AMAB.若四邊形ABCD的面積為，則四邊形AMCD的面積是1小專題(五)三角形內(nèi)接特殊四邊形問題 教材P58T11的變式與應(yīng)用教材母題：如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC120 mm，高AD80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？【母題分析】(1)從總體上講本題考查的是相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比(2)解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)：由EFGH，得到AEFABC.(3)考查形式：正方形內(nèi)接于三角形，解決正方形的邊長(zhǎng)與三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x mm，則EFx mm，ADBC，AD80 mm，AK(80x)mm.正方形EFHG內(nèi)接于ABC，EFGH.AEFABC.，即.解得x48.這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48 mm.解決本題的關(guān)鍵：(1)“內(nèi)接”，所謂內(nèi)接就是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上，正因如此，故：正方形的一邊與三角形的一邊平行，從而得到三角形相似；大三角形的高等于正方形的邊長(zhǎng)與小三角形的高之和(2)方程思想：利用相似三角形的性質(zhì)“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”這個(gè)等量關(guān)系，將已知邊和未知邊放在一個(gè)方程中1如圖，矩形DEFG的邊EF在ABC的邊BC上，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)G在邊AC上，ADG的面積是40，ABC的面積是90，AMBC于點(diǎn)M，交DG于點(diǎn)N，則ANAM232(xx岳陽)九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長(zhǎng)為5步，股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步？”該問題的答案是步3如圖，矩形EFGH內(nèi)接于ABC，且邊FG落在BC上，ADBC，BC3，AD2，EFEH，那么EH的長(zhǎng)為4如圖，已知銳角三角形ABC中，邊BC長(zhǎng)為12，高AD長(zhǎng)為8.矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K.(1)求的值；(2)設(shè)EHx，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值解：(1)EFBC，AEFABC.AK，AD分別是AEF，ABC的高，.(2)EHBC，ADBC，EHAD.BEHBAD.EFBC，AEFABC.，得1.EHx，AD8，BC12，EF12x.SEHEFx212x(x4)224.0x8，當(dāng)x4時(shí)，S有最大值，最大值為24.小專題(六)相似三角形的性質(zhì)與判定類型1利用相似三角形求線段長(zhǎng)1(xx北京)如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F.若AB4，AD3，則CF的長(zhǎng)為2如圖，已知菱形BEDF內(nèi)接于ABC，點(diǎn)E，D，F(xiàn)分別在AB，AC和BC上若AB15 cm，BC12 cm，則菱形的邊長(zhǎng)為cm.3如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且ADEB.如果DEAD25，BD3，那么AC.4(xx深圳)如圖，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，在RtMPN中，MPN90，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE2PF時(shí)，AP3.5(xx江西)如圖，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)解：BD為ABC的平分線，ABDDBC.又ABCD，DABD.DBCD.BCCD4.AEBCED，AEBCED.2.AE2EC，即ECAE.ACAEEC6，AEAE6，即AE4.類型2利用相似三角形求角度6如圖，A，B，C，P四點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則BAC的度數(shù)是135.7如圖，在等腰ABC中，ABAC，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB2BDCE.若BAC40，則DAE110.類型3利用相似三角形求比值8如圖，ABDC，AC與BD交于點(diǎn)E，EFDC交BC于點(diǎn)F，CE5，CF4，AEBC，則等于(B)A. B. C. D.9如圖，D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且DEAC，AE，CD相交于點(diǎn)O.若SDOESCOA125，則SBDE與SCDE的比是(B)A13 B14 C15 D12510(xx達(dá)州)如圖，E，F(xiàn)是ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AECFAC.連接DE，DF并延長(zhǎng)，分別交AB，BC于點(diǎn)G，H，連接GH，則的值為(C)A. B. C. D111(xx桂林)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作EACA交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB3，BC4，則的值為.類型4利用相似三角形證明等積式與比例式12如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BD2AD，CE2AE.求證：(1)ADEABC；(2)DFBFEFCF.證明：(1)BD2AD，CE2AE，AB3AD，AC3AE.AA，ADEABC.(2)，DEBC.DEFCBF.DFBFEFCF.13如圖，在ABC中，ACB90，CDAB于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證：.證明：ACB90，CDAB，AACDACDBCD，ACBBDC90.ABCD.ABCCBD.，即.又E為AC中點(diǎn)，AECEED.AEDA.EDABDF，F(xiàn)CDBDF.又F為公共角，F(xiàn)DBFCD.類型5利用相似求點(diǎn)的坐標(biāo)14如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(4，0)，B(0，2)，連接AB并延長(zhǎng)到C，連接CO.若COBCAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(B)A(1，) B(，)C(，2) D(，2)15如圖，已知直線yx2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一點(diǎn)C，使B，O，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AOB相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)或(1，0)或(1，0)小專題(七)圓與相似1如圖，O是ABC的外接圓，已知AD平分BAC交O于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，AD5，BD2，則DE的長(zhǎng)為(D)A. B. C. D.2如圖，已知O是等腰RtABC的外接圓，D是上一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E.若BC4，AD，則AE的長(zhǎng)是(C)A3 B2 C1 D1.23(xx巴中)如圖所示，O的兩弦AB，CD交于點(diǎn)P，連接AC，BD，得SACPSDBP169，則ACBD434如圖，已知AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，ACB的平分線交O于點(diǎn)D，作PDAB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接AD，BD.求證：(1)PD是O的切線；(2)PADDBC.證明：(1)連接OD.DCADCB，.ODAB.ABPD，ODPD.點(diǎn)D在O上，OD為O的半徑，PD是O的切線(2)PADCAD180，DBCCAD180，PADDBC.由(1)可得：PDABCD45，PADDBC.5如圖，以ABC的邊AC為直徑的O交AB邊于點(diǎn)M，交BC邊于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，BCPBAN.求證：(1)ABC為等腰三角形；(2)AMCPANCB.證明：(1)AC為O的直徑，ANC90.PC是O的切線，BCPCAN.BCPBAN，BANCAN.又ANBC，ABAC.ABC為等腰三角形(2)連接MNABC為等腰三角形，ABAC，ABCACB.PBCABCAMNACN180，PBCAMN.由(1)知BCPBAN，BPCMNA.，即AMCPANCB.6(xx聊城)如圖，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，作EDEB交AB于點(diǎn)D，O是BED的外接圓(1)求證：AC是O的切線；(2)已知O的半徑為2.5，BE4，求BC，AD的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OE，OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBEEBC.OEBEBC.OEBC.