3.7 基于準滑動模態(tài)基于準滑動模態(tài)的滑模變結構控制的滑模變結構控制 其中其中 為切換函數(shù)為切換函數(shù) 0s s0,00,0ssss( )s x(0)x( )0sx(3.1.1)(3.1.2) 由于狀態(tài)由于狀態(tài) 離切換面可以任意遠離切換面可以任意遠, 故到達條件式故到達條件式(3.1.1)也稱為也稱為廣義廣義(全局全局)到達條件到達條件。x 為了保證在有限時刻到達，避免漸近趨近的情況出為了保證在有限時刻到達，避免漸近趨近的情況出現(xiàn)。可對式現(xiàn)。可對式(3.1.1)進行修正，取為進行修正，取為 ss 其中其中 為任意小正數(shù)。為任意小正數(shù)。(3.1.3)通常將式通常將式(3.1.1)表達成表達成李雅普諾夫函數(shù)型到達條件李雅普諾夫函數(shù)型到達條件 2120VsV(3.1.4) 滿足上述到達條件的滑模變結構控制系統(tǒng)，其滿足上述到達條件的滑模變結構控制系統(tǒng)，其狀態(tài)的運動軌跡都將在有限時間內(nèi)到達切換面，并狀態(tài)的運動軌跡都將在有限時間內(nèi)到達切換面，并啟動滑動模態(tài)運動。啟動滑動模態(tài)運動。 3.2.1 等效控制等效控制 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ( , , )fu txx,nuxut如果達到理想的滑動模態(tài)如果達到理想的滑動模態(tài)，則則( )0sx其中其中 為控制輸入為控制輸入， 為時間為時間。 即即0sstxx(, )0sfu txx 或或 (3.2.1) (3.2.2) u式式(3.2.2)中中 稱為系統(tǒng)在滑動模態(tài)區(qū)內(nèi)的等效控稱為系統(tǒng)在滑動模態(tài)區(qū)內(nèi)的等效控制，一般用制，一般用 表示。表示。 equ 例如，對于線性系統(tǒng)例如，對于線性系統(tǒng)uxAxb,nux取切換函數(shù)為取切換函數(shù)為( )sxcx設系統(tǒng)進入滑動模態(tài)后的等效控制為設系統(tǒng)進入滑動模態(tài)后的等效控制為 ， equ (3.2.3) (3.2.4) 則由則由式式(3.2.3)有有 eq()0sucxc Axb (3.2.5) 若矩陣若矩陣cb滿秩，滿秩， 則可解出等效控制則可解出等效控制 1equ cbcAx(3.2.6) 將等效控制將等效控制 代入系統(tǒng)的狀態(tài)方程式代入系統(tǒng)的狀態(tài)方程式(3.2.1)，可得系統(tǒng)滑動模態(tài)運動方程可得系統(tǒng)滑動模態(tài)運動方程equeq( , )( )0futsxxx,nux 將式將式(3.2.6)代入式代入式(3.2.3) 可得線性系統(tǒng)的可得線性系統(tǒng)的滑動模態(tài)滑動模態(tài)運動方程運動方程如下如下：(3.2.7) 1( )0sxIb cbc AxxcxI為單位矩陣為單位矩陣。(3.2.8) 其中其中 不變性：實現(xiàn)滑動模態(tài)運動不依賴于外部擾動和參數(shù)不變性：實現(xiàn)滑動模態(tài)運動不依賴于外部擾動和參數(shù)攝動的性質(zhì)，也可叫魯棒性、自適應性。是滑模變結攝動的性質(zhì)，也可叫魯棒性、自適應性。是滑模變結構控制受到重視的最主要原因。構控制受到重視的最主要原因。 對于線性系統(tǒng)，不變性的成立需滿足滑動模態(tài)的對于線性系統(tǒng)，不變性的成立需滿足滑動模態(tài)的匹配條件。對于擾動和攝動的作用的不同情況，分三匹配條件。對于擾動和攝動的作用的不同情況，分三種情況予以討論：種情況予以討論： （1）當系統(tǒng)受到外干擾時）當系統(tǒng)受到外干擾時 ufxAxBD (3.3.1) 其中其中 表示系統(tǒng)所受的外干擾。表示系統(tǒng)所受的外干擾。滑動模態(tài)運動不受干擾影響的充要條件為滑動模態(tài)運動不受干擾影響的充要條件為frankrank,B DB (3.3.2) 假如式假如式(3.3.2)滿足，則系統(tǒng)可化為滿足，則系統(tǒng)可化為()uf xAxBDBDDu其中有其中有 ，通過設計控制律，通過設計控制律 可實現(xiàn)對干擾的可實現(xiàn)對干擾的完全補償。完全補償。條件式條件式(3.3.2)稱為稱為干擾和系統(tǒng)的完全匹配條件干擾和系統(tǒng)的完全匹配條件。 （2）當系統(tǒng)存在不確定性時）當系統(tǒng)存在不確定性時 (3.3.3)u xAxBAx (3.3.4)滑動模態(tài)與不確定性無關的充分必要條件為滑動模態(tài)與不確定性無關的充分必要條件為rank,rankBAB (3.3.5)假如式假如式(3.3.5)滿足，則系統(tǒng)可化為滿足，則系統(tǒng)可化為 ()u xAxBAx (3.3.6)其中有其中有 。通過設計控制律可實現(xiàn)對不確定。通過設計控制律可實現(xiàn)對不確定性的完全補償。性的完全補償。 條件式條件式(3.3.5)稱為稱為不確定性和系統(tǒng)的完全匹配條件不確定性和系統(tǒng)的完全匹配條件。 （3）當系統(tǒng)同時存在外干擾和不確定性時）當系統(tǒng)同時存在外干擾和不確定性時 B AAf xAxAxBD (3.3.7)若同時滿足匹配條件式（若同時滿足匹配條件式（3.3.2）和（）和（3.3.5），則），則系統(tǒng)可化為系統(tǒng)可化為 ()uf xAxBAxD (3.3.8)通過設計控制律實現(xiàn)同時對不確定性和外干擾的完通過設計控制律實現(xiàn)同時對不確定性和外干擾的完全補償。全補償。 xcxs 由于選擇由于選擇 和和 為狀態(tài)，所以，只有為狀態(tài)，所以，只有 時，時，在切換面上的狀態(tài)運動軌跡才會漸近趨向原點，即在切換面上的狀態(tài)運動軌跡才會漸近趨向原點，即保證了系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。保證了系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 xx 0c c【注】規(guī)范空間【注】規(guī)范空間：以狀態(tài)和狀態(tài)變化率為坐標構成的空間以狀態(tài)和狀態(tài)變化率為坐標構成的空間 (3.4.1) 而選擇不同的而選擇不同的 值時，切換面上的狀態(tài)運動軌跡趨值時，切換面上的狀態(tài)運動軌跡趨向原點的速度是不同的，向原點的速度是不同的， 越大，對于相同的越大，對于相同的 ， 的變化率越大，從而趨近速度越快。的變化率越大，從而趨近速度越快。 圖圖3.4.1，切換函數(shù)的參數(shù)分別選取，切換函數(shù)的參數(shù)分別選取 和和 作出圖示說明。作出圖示說明。cxx8 . 0c7 . 1c圖圖3.4.1c 1 12211( )nnnsc xc xcxxx 參數(shù)參數(shù) 的確定是至關重要的，所的確定是至關重要的，所設計的參數(shù)必須使系統(tǒng)在切換面上的滑動模態(tài)運設計的參數(shù)必須使系統(tǒng)在切換面上的滑動模態(tài)運動是漸近穩(wěn)定的。動是漸近穩(wěn)定的。 一般地，考慮如下系統(tǒng)：一般地，考慮如下系統(tǒng)：121,1nc cccusxAxbcxnxu (3.4.2) (3.4.3) 2. 設計控制律，使到達條件得到滿足，從而在切設計控制律，使到達條件得到滿足，從而在切換面上形成滑動模態(tài)區(qū)。換面上形成滑動模態(tài)區(qū)。 下面給出幾種常用的控制結構形式下面給出幾種常用的控制結構形式 通過通過Ackermann公式來求解其參數(shù)，具體方法如下：公式來求解其參數(shù)，具體方法如下：T( )PceA其中其中1T100 1neb AbAb121( )()()()nPAAIAIAI121,n為期望選取的特征值。為期望選取的特征值。 (3.4.4) 1) 常值切換控制（常值切換控制（bang-bang控制）控制） 0sgn( ( )uusx (3.4.5)其中其中 為待求常數(shù)。為待求常數(shù)。 0u2) 函數(shù)切換控制函數(shù)切換控制eq0sgn( ( )uuusx (3.4.6)這是以等效控制為基礎的控制結構形式。這是以等效控制為基礎的控制結構形式。 3) 比例切換控制比例切換控制 kiiinkxu1,0,0iiiiix sx s其中，其中， ， 和和 為常數(shù)。為常數(shù)。 ii (3.4.7) 1. 控制對象控制對象 【例【例3.5.1】考慮如下被控對象模型：】考慮如下被控對象模型：assbsGp2)(3.5.1)其中，其中， ， 。相應狀態(tài)空間模型方程為：相應狀態(tài)空間模型方程為：10a 120b uxAxB其中，其中， ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221(3.5.2)(3.5.3) 2. 控制器設計（以位置跟蹤系統(tǒng)為例）控制器設計（以位置跟蹤系統(tǒng)為例） 設位置給定信號為設位置給定信號為 ，將系統(tǒng)的位置誤差，將系統(tǒng)的位置誤差 和和位置誤差變化率位置誤差變化率 作為狀態(tài)變量，即：作為狀態(tài)變量，即： ree 21xrexre取切換函數(shù)為取切換函數(shù)為eces根據(jù)比例切換控制方法，取控制律為根據(jù)比例切換控制方法，取控制律為(3.5.4)(3.5.5)sgn()(seeu(3.5.6)其中其中 和和 為大于零的常數(shù)。為大于零的常數(shù)。 系統(tǒng)運動包括趨近運動和滑動模態(tài)運動兩個過程。系統(tǒng)運動包括趨近運動和滑動模態(tài)運動兩個過程。根據(jù)滑模變結構控制原理，滑動模態(tài)到達條件僅保證根據(jù)滑模變結構控制原理，滑動模態(tài)到達條件僅保證狀態(tài)運動點由狀態(tài)空間中任意初始位置在有限時間內(nèi)狀態(tài)運動點由狀態(tài)空間中任意初始位置在有限時間內(nèi)到達切換面，而對于趨近運動的具體軌跡未做任何限到達切換面，而對于趨近運動的具體軌跡未做任何限制，制，若采用趨近律的方法，則可以改善趨近運動的動若采用趨近律的方法，則可以改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)態(tài)品質(zhì)。 在在2.3.4節(jié)中介紹了常見的幾種趨近律。節(jié)中介紹了常見的幾種趨近律。 3.6.1 基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng) 1. 控制器的設計控制器的設計 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：uxAxB(3.6.1) 3.6.1 基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)采用趨近律的控制方式，設切換函數(shù)為采用趨近律的控制方式，設切換函數(shù)為s Cx從而從而 slaws Cx 其中其中slaw代表趨近律，例如，采用指數(shù)趨近律，則有代表趨近律，例如，采用指數(shù)趨近律，則有 kssssgnslaw其中其中 和和 皆為正實數(shù)。皆為正實數(shù)。將式將式(3.6.1)代入代入(3.6.3)中，即有中，即有 k(3.6.2) (3.6.3) (3.6.4) ()slawuCxC AxB(3.6.5) 從而可以得到控制作用如下：從而可以得到控制作用如下： 1() (slaw)uCBCAx(3.6.7) 3.6.1 基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)2. 實例實例 【例【例3.6.1】選擇被控對象為】選擇被控對象為(3.6.8)uxAxB其中其中 ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221(3.6.9)采用指數(shù)趨近律為例。選擇切換函數(shù)為采用指數(shù)趨近律為例。選擇切換函數(shù)為 21xcxs取取 ，即，即 。指數(shù)趨近律為。指數(shù)趨近律為 20ckssssgnslaw ，其中取，其中取 ， 。 250k20,1C3.6.1 基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)將將 的值代入的值代入(3.6.7)式式 ，可得控制律式為，可得控制律式為21 302sgn( )50 120uxssslawABC， ， ，(3.6.10)采用采用Matlab的的M語言建立仿真程序，可得到直觀結果。語言建立仿真程序，可得到直觀結果?；Ｗ兘Y構控制滑模變結構控制MATLAB仿真仿真，劉金琨，清華大學出版社，2005。 趨近律參數(shù)選擇原則趨近律參數(shù)選擇原則： 以如下指數(shù)趨近律為例：以如下指數(shù)趨近律為例：指數(shù)趨近律是趨近效果比較好的一種趨近律。在趨指數(shù)趨近律是趨近效果比較好的一種趨近律。在趨近過程中，指數(shù)趨近律的趨近速度是變化的，具有近過程中，指數(shù)趨近律的趨近速度是變化的，具有既可以加快趨近時間又也可以削弱抖振的優(yōu)點。既可以加快趨近時間又也可以削弱抖振的優(yōu)點。 sgn( ),ssks 0,0k(3.6.11)3.6.1 基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng)基于趨近律的調(diào)節(jié)系統(tǒng) 當狀態(tài)運動點遠離切換面時，趨近速度主要當狀態(tài)運動點遠離切換面時，趨近速度主要取決于取決于 項。而當?shù)竭_切換面附近時，由于項。而當?shù)竭_切換面附近時，由于 變得很小，趨近速度則主要取決于變得很小，趨近速度則主要取決于 項的大項的大小。常將小。常將 值取得較大，使狀態(tài)點快速趨近切換值取得較大，使狀態(tài)點快速趨近切換面；而將面；而將 值取得較小，從而使切換面附近的趨值取得較小，從而使切換面附近的趨近速度較小，這樣就可以保證系統(tǒng)以較小的速度近速度較小，這樣就可以保證系統(tǒng)以較小的速度到達切換面，削弱了抖振。到達切換面，削弱了抖振。kss)sgn(sksgn( ),ssks 3.6.2 基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)1. 控制器設計控制器設計 系統(tǒng)狀態(tài)方程如下系統(tǒng)狀態(tài)方程如下 uxAxB (3.6.12)其中其中 12nxxx11122122n nAAAAA120n mBBB2m mBmu此時的系統(tǒng)稱為滑模變結構控制系統(tǒng)的此時的系統(tǒng)稱為滑模變結構控制系統(tǒng)的簡約型簡約型，對，對于任意能控系統(tǒng)，均可以選擇適當?shù)臓顟B(tài)變換將系于任意能控系統(tǒng)，均可以選擇適當?shù)臓顟B(tài)變換將系統(tǒng)轉換為簡約型。此處，設定上式中的統(tǒng)轉換為簡約型。此處，設定上式中的 ， ，即系統(tǒng)為單輸入二階系統(tǒng)。即系統(tǒng)為單輸入二階系統(tǒng)。 1m2n 3.6.2 基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)則則uBxAxAx22221212 (3.6.13)設給定信號為設給定信號為 ，則誤差為，則誤差為 r1xre誤差變化率為誤差變化率為21xrxre (3.6.14)設設 ，誤差向量為誤差向量為 ，則切換函數(shù)為，則切換函數(shù)為 , 1cC ee 即有即有12()sc rxrx CE (3.6.15)22()sc rxrxCE (3.6.16)3.6.2 基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)采用趨近律采用趨近律slaw，將式，將式(3.6.13)代入式（代入式（3.6.16）中，）中，得控制律為得控制律為12221 1222( ()slaw)uBc rxrA xA x (3.6.17)2. 實例實例 【例【例3.6.2】選擇被控對象為】選擇被控對象為(3.6.18)uxAxB其中其中 ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221(3.6.19)按照控制器的設計步驟設計控制系統(tǒng)。按照控制器的設計步驟設計控制系統(tǒng)。 3.6.2 基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)誤差為誤差為 1xre誤差變化率為誤差變化率為21xrxre (3.6.21) 切換函數(shù)為切換函數(shù)為12()sceec rxrx取取 ， 從而，由式從而，由式(3.6.15)得系統(tǒng)控制作用為得系統(tǒng)控制作用為 (3.6.20) (3.6.22)20c221(20()10slaw)120urxrx (3.6.23)slaw取為指數(shù)趨近律：取為指數(shù)趨近律：3.6.2 基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)基于趨近律的位置跟蹤系統(tǒng)kssssgnslaw (3.6.23)250k其中其中 ， 。 1 準滑動模態(tài)定義準滑動模態(tài)定義 所謂準滑動模態(tài)，是指系統(tǒng)的運動軌跡被限制在所謂準滑動模態(tài)，是指系統(tǒng)的運動軌跡被限制在切換面的某一切換面的某一 鄰域內(nèi)的模態(tài)。鄰域內(nèi)的模態(tài)。從相軌跡方面來說，從相軌跡方面來說，具有理想滑動模態(tài)的控制是使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點均具有理想滑動模態(tài)的控制是使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點均被吸引至切換面。而準滑動模態(tài)控制則是使一定范圍被吸引至切換面。而準滑動模態(tài)控制則是使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點均被吸引至切換面的某一內(nèi)的狀態(tài)點均被吸引至切換面的某一 鄰域內(nèi)。通常鄰域內(nèi)。通常稱此鄰域為滑動模態(tài)切換面的邊界層。稱此鄰域為滑動模態(tài)切換面的邊界層。 在邊界層內(nèi)，準滑動模態(tài)不要求滿足滑動模態(tài)的在邊界層內(nèi)，準滑動模態(tài)不要求滿足滑動模態(tài)的存在條件。因此，準滑動模態(tài)不要求在切換面上進行存在條件。因此，準滑動模態(tài)不要求在切換面上進行控制的切換。它可以是在邊界層上進行結構變換的控控制的切換。它可以是在邊界層上進行結構變換的控 控制系統(tǒng)，也可以是根本不進行結構變換的連續(xù)狀態(tài)控制系統(tǒng)，也可以是根本不進行結構變換的連續(xù)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。反饋控制系統(tǒng)。 準滑動模態(tài)控制在實現(xiàn)上的這種差別，使它從根準滑動模態(tài)控制在實現(xiàn)上的這種差別，使它從根本上本上避免或削弱了抖振（作用）避免或削弱了抖振（作用），從而在實際中得到，從而在實際中得到了廣泛的應用。了廣泛的應用。 在連續(xù)系統(tǒng)中，常用的準滑動模態(tài)控制有以下兩在連續(xù)系統(tǒng)中，常用的準滑動模態(tài)控制有以下兩種方法。種方法。 (1) 用飽和函數(shù)用飽和函數(shù) 代替理想滑動模態(tài)控制作用代替理想滑動模態(tài)控制作用中的符號函數(shù)中的符號函數(shù) 。 )(sat s)sgn(s1( )1ssat sksss 1k其中其中 稱為稱為“邊界層邊界層”。飽和函數(shù)如圖。飽和函數(shù)如圖3.7.1所示。所示。 圖圖3.7.1(3.7.1) 控制律中采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，其控制作用在控制律中采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，其控制作用在本質(zhì)上已變?yōu)椋涸谶吔鐚油?，采用切換控制；在邊界本質(zhì)上已變?yōu)椋涸谶吔鐚油?，采用切換控制；在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制。層內(nèi)采用線性化反饋控制。， (2) 將繼電特性連續(xù)化，用連續(xù)函數(shù)將繼電特性連續(xù)化，用連續(xù)函數(shù) 取代符號函取代符號函數(shù)數(shù))(ssss)(其中其中 是很小的正常數(shù)。是很小的正常數(shù)。 【例【例3.7.1】仍選擇被控對象為】仍選擇被控對象為(3.7.2)uxAxB其中其中 ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221 (3.7.3)(3.7.4) 按照按照3.6節(jié)控制器的設計步驟設計一個基于準節(jié)控制器的設計步驟設計一個基于準滑動模態(tài)的位置跟蹤滑模變結構控制系統(tǒng)。滑動模態(tài)的位置跟蹤滑模變結構控制系統(tǒng)。 由式由式(3.6.22)得系統(tǒng)控制作用為得系統(tǒng)控制作用為221( ()10slaw)120uc rxrx(3.7.5) slaw取為指數(shù)趨近律：取為指數(shù)趨近律：kssssgnslaw (3.7.6)250k其中其中 ， 。 現(xiàn)采用飽和函數(shù)取代控制作用中的符號函數(shù)，現(xiàn)采用飽和函數(shù)取代控制作用中的符號函數(shù)，即可實現(xiàn)準滑動模態(tài)下的滑模變結構控制。即可實現(xiàn)準滑動模態(tài)下的滑模變結構控制。 作用作用：準滑動模態(tài)下的滑模變結構控制具有削弱準滑動模態(tài)下的滑模變結構控制具有削弱 抖振的效果抖振的效果