2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】 專題18幾何變式探究和類比變換綜合類問題 【方法指導(dǎo)】 圖形的類比變換是近年來中考的常考點(diǎn)，常以三角形、四邊形為背景，與翻折、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，考查三角形全等或相似的性質(zhì)與判定，難度較大．此類題目第一問相對簡單，后面的問題需要結(jié)合第一問的方法進(jìn)行類比解答．根據(jù)其特征大致可分為：幾何變換類比探究問題、旋轉(zhuǎn)綜合問題、翻折類問題等． 解決此類問題要善于將復(fù)雜圖象分解為幾個基本圖形，通過添加副主席補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，借助轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想解決幾何證明問題，計算則把幾何與代數(shù)知識綜合起來，滲透數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題的能力、邏輯思維和推理能力. 【題型剖析】 【類型1】幾何類比變換綜合題 【例1】（2018秋?鹽都區(qū)期中）【閱讀理解】 截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題． （1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系． 解題思路：延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，可證易證得，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關(guān)系． 根據(jù)上述解題思路，請直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系是　??； 【拓展延伸】 （2）如圖2，在中，，．若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； 【知識應(yīng)用】 （3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離的長分別為　?。? 【分析】（1）由等邊三角形知，，結(jié)合知，由知，證得，，再證是等邊三角形得． （2）延長到點(diǎn)，使，連接，先證得，，據(jù)此可得，由勾股定理知，繼而可得； （3）由直角三角形的性質(zhì)知，，利用（2）中的結(jié)論知，據(jù)此可得答案． 【解析】（1）如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接， 是等邊三角形， ，， ， ， 又， ， ， ，， ，即， ，即， 是等邊三角形， ，即， 故答案為：； （2）， 如圖2，延長到點(diǎn)，使，連接， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）如圖3，連接， ，， ， ， 由（2）知， ， 故答案為：． 【點(diǎn)評】此題是三角形的綜合題，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 【變式1-1】（2019?亭湖區(qū)二模）【閱讀材料】 小明遇到這樣一個問題：如圖1，點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)，且，，，求的長． 小明發(fā)現(xiàn)，以為邊作等邊三角形，連接，得到；由等邊三角形的性質(zhì)，可證，得；由已知，可知的大小，進(jìn)而可求得的長． （1）請回答：在圖1中，　　，　　． 【問題解決】 （2）參考小明思考問題的方法，解決下面問題： 如圖2，中，，，點(diǎn)在內(nèi)，且，，，求的長． 【靈活運(yùn)用】 （3）如圖3，在中，，，且，點(diǎn)在外，且，，直接寫出長的最大值． 【分析】（1）由，得，，，因為為等邊三角形，所以，，可得，在中，用勾股定理可求得的長； （2）如圖2中，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到．首先證明，再證明，，共線，利用勾股定理即可解決問題． （3）如圖3中，作，使得，則，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可解決問題． 【解析】（1）如圖1中， ， ，，， 為等邊三角形， ，， ， ． 故答案為：，5； （2）如圖2中，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到． 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知；，，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ，，共線， ， 在中，． （3）如圖3中，作，使得，則， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值為． 【變式1-2】（2018?亭湖區(qū)二模）如圖，在等腰與等腰中，． （1）連接，（如圖①，請直接寫出線段，的數(shù)量關(guān)系　　； （2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長交于點(diǎn)，連接（如圖②，試探究線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）連接，取的中點(diǎn)，連接（如圖③，若，，，求的長． 【分析】（1）結(jié)論：．只要證明即可解決問題； （2）結(jié)論：．如圖②中，作交于．想辦法證明，是等腰直角三角形即可解決問題； （3）如圖③中，作交的延長線于，作交的延長線于，作于．想辦法求出，即可解決問題； 【解析】（1）結(jié)論：． 理由：如圖①中， ，，， ， ． 故答案為． （2）結(jié)論：． 理由：如圖②中，作交于． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． （3）如圖③中，作交的延長線于，作交的延長線于，作于． 在中，，設(shè)，， 則有， 解得， ， ， ，， ， ， 由，可得，， 在中，，設(shè)， ， ， 解得， ，， 在中，． 【類型2】幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題 【例2】（2019?海州區(qū)一模）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，． （1）操作發(fā)現(xiàn)： 如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時，填空： ①線段與的位置關(guān)系是　　； ②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是　　． （2）猜想論證： 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請你證明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，點(diǎn)是角平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)（如圖，若在射線上存在點(diǎn)，使，請求出相應(yīng)的的長． 【分析】（1）①證明即可判斷． ②首先證明，推出與的面積相等，再證明與的面積相等即可． （2）作交的延長線于，于，證明即可解決問題． （3）分兩種情形分別求解即可解決問題． 【解析】（1）①如圖1中， 由旋轉(zhuǎn)可知：， ，， ， 是等邊三角形， ， ，， ， ， ， ②，， ， ， ， ， ． 故答案為：，． （2）如圖3中， 是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ． （3）如圖4中，作交于．延長交于． ，， 四邊形是平行四邊形， ，， ， ，平分， ， ， ， ， ， 四邊形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，易知， 在中，， ， 綜上所述，滿足條件的的值為或． 【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸． 【變式2-1】（2019?遼陽模擬）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題． 已知，中，，，點(diǎn)、在邊上，且． （1）如圖1，當(dāng)時，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接， ①求的度數(shù)； ②求證：； （2）如圖2，當(dāng)時，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）如圖3，當(dāng)，，時，請直接寫出的長為　?。? 【分析】（1）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再用角的和即可得出結(jié)論； ②利用判斷出，即可得出結(jié)論； （2）先判斷出，，再判斷出，即可得出結(jié)論； （3）同（2）的方法判斷出，再用含30度角的直角三角形求出，，最后用勾股定理即可得出結(jié)論． 【解析】（1）①由旋轉(zhuǎn)得，， ， ； ②由旋轉(zhuǎn)知，，， ， 在和中，， ； （2）， 理由：如圖2，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接， ，， 由（1）知，， ， ，， ， ， 根據(jù)勾股定理得，， 即：； （3）如圖3，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接， ，， 由（1）知，， ，， ，， ， ， 過點(diǎn)作于， 在中，， ， ，， ， ， 根據(jù)勾股定理得，， ， 故答案為． 【變式2-2】（2019?宜興市二模）【問題提出】如圖1，四邊形中，，，，，，求四邊形的面積． 【嘗試解決】 旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題． （1）如圖2，連接，由于，所以可將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，則的形狀是 ?。? （2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形的面積． 類比應(yīng)用如圖3，四邊形中，，，，，，求四邊形的面積． 【分析】（1）易證，則，，所以是等邊三角形； （2）知等邊三角形的邊長為3，求出即可； 【類比應(yīng)用】類比（1），連接，由于，所以可將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，延長，作；易證是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理計算，，求和的面積和即可． 【解析】（1）如圖2，連接，由于，所以可將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到， ， 是等邊三角形； （2）由（1）知，△， 四邊形的面積等邊三角形的面積， ， ； 【類比應(yīng)用】如圖3，連接，由于，所以可將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到， 連接，延長，作； ， △ ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【類型3】幾何翻折變換綜合題 【例3】（2019?江都區(qū)三模）如圖1，有一張矩形紙片，已知，，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：首先將紙片沿折痕進(jìn)行折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)在上（如圖；然后將紙片沿折痕進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)落在第一次的折痕上的點(diǎn)處，點(diǎn)在上（如圖． （1）如圖2，判斷四邊形的形狀，并說明理由； （2）如圖3，求的長． 【分析】（1）由折疊可得：，且，即可得出結(jié)論；’ （2）過點(diǎn)作，交、于點(diǎn)、，由四邊形為正方形，可求得的長，得出和為等腰直角三角形，設(shè)，則可表示出、、，利用折疊的性質(zhì)可得到，在中，利用勾股定理可求得，即可得出結(jié)果． 【解析】（1）四邊形是正方形，理由如下： 四邊形為矩形， ，， 由折疊可得：，且， 四邊形為正方形； （2）過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，如圖3所示： 四邊形是正方形， ， ， 和為等腰直角三角形，且， 設(shè)，則，，， 又由折疊的性質(zhì)可知：， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：， ， ． 【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2019?廣陵區(qū)校級二模）如圖，將矩形先過點(diǎn)的直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊上，直線交于點(diǎn)；再將矩形沿過點(diǎn)的直線翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，的延長線交于點(diǎn)． （1）當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的度數(shù)． （2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)剛好重合時，試判斷的形狀，并說明理由． 【分析】（1）如圖1中，在中，由推出，再證明四邊形是菱形即可解決問題． （2）如圖2中，先證明△△得出，發(fā)現(xiàn)、、都是等腰直角三角形，再證明即可解決問題． 【解析】（1）如圖1中，四邊形是平行四邊形， ， ， 四邊形是菱形， ， 是由翻折得到， ， 四邊形是矩形， ， ， ． （2）結(jié)論：是等腰直角三角形． 理由：如圖2中，連接． 四邊形是矩形， ，，，， ， ， ， 在△ 和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定等知識，第一問的關(guān)鍵是菱形性質(zhì)的應(yīng)用，第二個問題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用特殊三角形解決問題，屬于中考?？碱}型． 【變式3-2】（2018?深圳模擬）已知矩形紙片中，，． 操作：將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上． 探究：（1）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，你認(rèn)為和全等嗎？如果全等，請給出證明，如果不全等，請說明理由； （2）如圖2，若點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，請你判斷、△和△之間的關(guān)系，如果全等，只需寫出結(jié)果，如果相似，請寫出結(jié)果和相應(yīng)的相似比； （3）如圖2，請你探索，當(dāng)點(diǎn)落在邊上何處，即的長度為多少時，與△全等． 【分析】（1）由四邊形是矩形，可得，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，然后利用同角的余角相等，可證得，則可利用證得和全等； （2）易得△和△全等，與△相似，然后設(shè)，由勾股定理可得方程，解此方程即可求得答案； （3）設(shè)，則有，，在直角中，可得，解此方程即可求得答案． 【解析】（1）全等． 證明：四邊形是矩形， ，， 由題意知：，，， ，， ， 在和中， ， ； （2）△和△全等，與△相似， 設(shè)， 則，， ， ， 與△相似，相似比為． （3）與△全等． 設(shè)，則有，， 在直角中，可得， 整理得， 解得：（另一解舍去）， 當(dāng)時，與△全等． 【達(dá)標(biāo)檢測】 1．如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩動點(diǎn)，且∠DAE＝45，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF． （1）試說明：△AED≌△AFD； （2）當(dāng)BE＝3，CE＝9時，求∠BCF的度數(shù)和DE的長； （3）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90，D是斜邊BC所在直線上一點(diǎn)，BD＝3，BC＝8，求DE2的長． 【分析】（1）想辦法證明∠DAE＝∠DAF，由DA＝DA，AE＝AF，即可證明； （2）如圖1中，設(shè)DE＝x，則CD＝9﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，推出x2＝（9﹣x）2+32，解方程即可； （3）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，如圖2中，連接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90，推出DE2＝BE2+BD2＝52+32＝34； ②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時，如圖3中，同法可得DE2＝130； 【解析】（1）如圖1中， ∵△BAE≌△CAF， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF， ∵∠BAC＝90，∠EAD＝45， ∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45， ∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF， ∴△AED≌△AFD； （2）如圖1中，設(shè)DE＝x，則CD＝9﹣x． ∵AB＝AC，∠BAC＝90， ∴∠B＝∠ACB＝45， ∵∠ABE＝∠ACF＝45， ∴∠DCF＝90， ∵△AED≌△AFD， ∴DE＝DF＝x， 在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3， ∴x2＝（9﹣x）2+32， ∴x＝5， ∴DE＝5． （3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，如圖2中，連接BE． ∵∠BAC＝∠EAD＝90， ∴∠EAB＝∠DAC， ∵AE＝AD，AB＝AC， ∴△EAD≌△ADC， ∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45，EB＝CD＝5， ∴∠EBD＝90， ∴DE2＝BE2+BD2＝52+32＝34， ②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時，如圖3中，連接BE． 同法可證△DBE是直角三角形，EB＝CD＝11，DB＝3， ∴DE2＝EB2+BD2＝121+9＝130， 綜上所述，DE2的值為34或130． 2．如圖①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接CD，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MN、PN、PM，判斷△PMN的形狀，并說明理由； （3）在（2）中，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝6，請分別求出△PMN周長的最小值與最大值． 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定證明即可； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定解答即可； （3）根據(jù)點(diǎn)D在AB上時，BD最小和點(diǎn)D在BA延長線上時，BD最大矩形分析解答即可． 【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝120， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ADE； （2）△PMN是等邊三角形．理由： ∵點(diǎn)P，M分別是CD，DE的中點(diǎn)， ∴PM=12CE，PM∥CE， ∵點(diǎn)N，M分別是BC，DE的中點(diǎn)， ∴PN=12BD，PN∥BD， 同理可得BD＝CE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， ∵PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝120， ∴∠ACB+∠ABC＝60， ∴∠MPN＝60， ∴△PMN是等邊三角形． （3）由（2）知，△PMN是等邊三角形，PM＝PN=12BD， ∴PM最大時，△PMN面積最大， ∴點(diǎn)D在AB上時，BD最小， ∴BD＝AB﹣AD＝2，△PMN周長的最小值為3； 點(diǎn)D在BA延長線上時，BD最大， ∴BD＝AB+AD＝10，△PMN周長的最大值為15． 故答案為：△PMN周長的最小值為3，最大值為15． 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，42），B（﹣42，0），C（42，0），D（0，﹣42），連接AB，AC，BD，點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，連接PD，過點(diǎn)P作PE⊥PD，交線段AC于點(diǎn)E，將線段EP繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90至EF． （1）過點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，則AE＝　1.5?。? （2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動到何處時，線段AE最長？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）連接OF．當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，線段OF的長度隨之變化，求線段OF長度的最小值． 【分析】（1）先判斷出AP＝2，BP＝8﹣2＝6，進(jìn)而判斷出△BDP∽△APE，即可得出結(jié)論； （2）設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，由△BDP∽△APE，得出AE8-x=x8，即可得出結(jié)論； （3）先判斷出△PEG≌△EFH，得出FH＝GE，表示出BP＝8+2m，由△BDP∽△APE，得出AE=-14m2-2m， 即：GE＝GM+ME=-28m2-2m=-28（m+42）2+42，即可得出結(jié)論． 【解析】（1）由題可得，AO＝BO＝CO＝42， ∴△AOB、△AOC都是等腰直角三角形，AB＝8， ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2， ∴AP＝2，BP＝8﹣2＝6， ∵∠DBP＝∠EAP＝∠DPE＝90， ∴∠BDP+∠BPD＝∠APE+∠BPD＝90， ∴∠BDP＝∠APE， ∴△BDP∽△APE， ∴AEBP=APBD，即AE6=28， 解得AE＝1.5， 故答案為：1.5； （2）設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x， 由（1）可得△BDP∽△APE， ∴AEBP=APBD，即AE8-x=x8， ∴AE=x(8-x)8=-(x-4)2+168， ∴當(dāng)x＝4時，AE有最大值， 此時AP＝4，即P為AB的中點(diǎn)， ∴P（﹣22，22）； （3）如圖，過E作x軸的平行線，交y軸于M，過點(diǎn)P作PG⊥ME于G，過點(diǎn)F作FH⊥ME于H， 由∠PEG＝∠EFH，∠PGH＝∠EHF＝90，PE＝EF可得，△PEG≌△EFH， ∴FH＝GE， 設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，則G的橫坐標(biāo)為m，AP=-2m， ∴BP＝8+2m， ∵△BDP∽△APE， ∴AEBP=APBD，即AE8+2m=-2m8， ∴AE=-14m2-2m， ∴ME=-28m2-m， ∴GE＝GM+ME=-28m2-2m=-28（m+42）2+42， 當(dāng)m＝﹣42時，DE的最大值為42， 即：F點(diǎn)到過點(diǎn)E平行于x軸的直線的最大距離為42． 4．如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝15，BC＝9，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，CD＝4x，CE＝3x，其中0＜x＜3． （1）求證：DE∥AB； （2）當(dāng)x＝1時，求點(diǎn)E到AB的距離； （3）將△DCE繞點(diǎn)E逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上的D′處．在旋轉(zhuǎn)的過程中，若點(diǎn)D′的位置有且只有一個，求x的取值范圍． 【分析】（1）欲證明DE∥AB，利用相似三角形的性質(zhì)只要證明∠CED＝∠CBA即可； （2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．由△BEH∽△BAC，可得EHCA=BEAB，由此構(gòu)建方程即可解決問題； （3）當(dāng)ED’⊥AB于點(diǎn)D’，ED′＝5x，EB＝9﹣3x，可得5x9-3x=1215，推出x=3637，當(dāng)D’與點(diǎn)B重合時，ED′+EC＝9，可得3x+5x＝9，推出x=98，由此即可判斷； 【解答】（1）解：∵∠C＝90，AB＝15，BC＝9，∴AC＝12． ∵CD＝4x，CE＝3x， ∴CDCE=ACBC， ∵∠C＝90，∴△CDE∽△CAB． ∴∠CED＝∠CBA， ∴DE∥AB． （2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H． ∵x＝1， ∴CE＝3，BE＝6， ∵∠C＝∠EHB＝90，∠B＝∠B， ∴△BEH∽△BAC， ∵EHCA=BEAB， ∴EH12=615， ∴EH=245． （3）當(dāng)ED’⊥AB于點(diǎn)D’，ED′＝5x，EB＝9﹣3x， ∴5x9-3x=1215， ∴x=3637， 當(dāng)D’與點(diǎn)B重合時，ED′+EC＝9， ∴3x+5x＝9， ∴x=98， ∴98＜x＜3． 綜上：x=3637或98＜x＜3． 5．在△ABC中，∠B＝45，∠C＝30，作AP⊥AB，交BC于P點(diǎn)． （1）如圖1，若AB＝32，求BC的長； （2）點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到線段AE． ①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時，求證：CE＝2BD； ②如圖3，當(dāng)AD⊥BC時，直接寫出CE2AB2的值． 【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)求出BH，AH，進(jìn)而求出AC，CH，即可得出結(jié)論； （2）①先判斷出BD＝PE，進(jìn)而判斷出∠EPB＝90，即可得出結(jié)論； ②先判斷出AD＝BD＝DP，進(jìn)而判斷出四邊形ADPE是正方形，再設(shè)出AD，進(jìn)而表示出AB，進(jìn)而得出PC，最后用勾股定理得出CE的平方，即可得出結(jié)論． 【解答】（1）如圖1，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB＝∠AHC＝90， 在Rt△AHB中， ∵AB＝32，∠B＝45， ∴BH＝ABcosB＝3，AH＝ABsinB＝3， 在Rt△AHC中， ∵∠C＝30， ∴AC＝2AH＝6，CH＝ACcosC＝33， ∴BC＝BH+CH＝3+33 （2）①如圖2，連接PE， 易知，△ABD≌△APE， ∴BD＝PE，∠B＝∠APE＝45， ∴∠EPB＝∠EPC＝90， ∵∠C＝30， ∴CE＝2PE， ∴CE＝2BD， ②如圖3，連接PE， ∵AD⊥BC，∠B＝45， ∴BD＝AD， ∵∠PAB＝90， ∴∠PAD＝45， ∴AD＝DP， ∴AD＝BD＝DP， 由旋轉(zhuǎn)知，∠DAE＝90＝∠ADP，AE＝AD， ∴AE∥DP， ∴四邊形ADPE是正方形， ∴∠CPE＝90，PE＝DP＝BD， 設(shè)AD＝x，∴BD＝DP＝PE＝x， 在Rt△ABD中，∠B＝45， ∴AB2＝2x2， 在Rt△ADC中，∠ACB＝30， ∴CD=3AD=3x， ∴CP＝CD﹣DP＝（3-1）x， 在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得，CE2＝PE2+PC2＝x2+[（3-1）x]2＝5﹣23， ∴CE2AB2=5-232． 6．【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)，∠DCE＝30，將線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段CF，連接AF、EF，請直接寫出下列結(jié)果： ①∠EAF的度數(shù)為　 ?。? ②DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。? 【類比探究】如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90，點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn)，∠DCE＝45，將線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段CF，連接AF、EF． ①則∠EAF的度數(shù)為　 　； ②線段AE，ED，DB之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由； 【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，△ABC是一個三角形的余料，小張同學(xué)量得∠ACB＝120，AC＝BC，他在邊BC上取了D、E兩點(diǎn)，并量得∠BCD＝15、∠DCE＝60，這樣CD、CE將△ABC分成三個小三角形，請求△BCD、△DCE、△ACE這三個三角形的面積之比． 【分析】操作發(fā)現(xiàn)：①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC＝BC，∠BAC＝∠B＝60，求出∠ACF＝∠BCD，證明△ACF≌△BCD，得出∠CAF＝∠B＝60，求出∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120； ②證出∠DCE＝∠FCE，由SAS證明△DCE≌△FCE，得出DE＝EF即可； 類比探究：①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45，證出∠ACF＝∠BCD，由SAS證明△ACF≌△BCD，得出∠CAF＝∠B＝45，AF＝DB，求出∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90； ②證出∠DCE＝∠FCE，由SAS證明△DCE≌△FCE，得出DE＝EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2＝EF2，即可得出結(jié)論； 實(shí)際應(yīng)用：同類比探究的方法：判斷出∠EAF＝60，△AEF是直角三角形，即可得出BD，DE，AE的關(guān)系，最后用同高的三角形的面積比等于底的比即可得出結(jié)論． 【解析】操作發(fā)現(xiàn)：①∵△ABC是等邊三角形， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝60， 由旋轉(zhuǎn)知，CD＝CF，∠DCF＝60， ∴∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝60， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120； ②DE＝EF；理由如下： ∵∠DCF＝60，∠DCE＝30， ∴∠FCE＝60﹣30＝30， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， CD=CF∠DCF=∠FCECE=CE， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF； 類比探究：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45， 由旋轉(zhuǎn)知，CD＝CF，∠DCF＝90， ∴∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝45，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90； ②AE2+DB2＝DE2，理由如下： ∵∠DCF＝90，∠DCE＝45， ∴∠FCE＝90﹣45＝45， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 又∵AF＝DB， ∴AE2+DB2＝DE2． 實(shí)際應(yīng)用：如圖3， 將△BCD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120，連接AF，EF， ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30， 由旋轉(zhuǎn)知，CD＝CF，∠DCF＝120， ∴∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝30，AF＝DB，∠AFC＝∠BDC＝180﹣∠B﹣∠BCD＝135 ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60， ∵∠DCF＝120，∠DCE＝60， ∴∠FCE＝120﹣60＝60， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF，∠CFE＝∠ADE＝∠B+∠BCD＝45， ∴∠AFE＝90， 在Rt△AEF中，∠EAF＝60， ∴∠AEF＝30， ∴EF=3AF，AE＝2AF， ∴DE＝EF=3AF，BD＝AF． ∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝BD：DE：AE＝AF：3AF：2AF＝1：3：2． 故答案為：120，DE＝EF，90． 7．綜合與實(shí)踐： 如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)． （1）觀察猜想 在圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是　PM＝PN　，∠MPN的度數(shù)是　120　； （2）探究證明 把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置， ①判斷△PMN的形狀，并說明理由； ②求∠MPN的度數(shù)； （3）拓展延伸 若△ABC為直角三角形，∠BAC＝90，AB＝AC＝10，點(diǎn)DE分別在邊AB，AC上，AD＝AE＝4，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，請直接寫出△PMN面積的最大值． 【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可知PM＝PN，∠MPN＝120； （2）①結(jié)論：△PMN是等腰三角形．只要證明△BAD≌△CAE，推出BD＝CE，再利用三角形中位線定理即可解決問題； ②利用三角形的外角，三角形內(nèi)角和定理即可解決問題； （3）首先證明△PMN是等腰直角三角形，先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可． 【解析】（1）如圖1中， ∵AB＝AC＝BC，AD＝AE， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACB＝60， ∵點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)， ∴PN∥BD，PM∥EC，PN=12BD，PM=12CE， ∴PN＝PM，∠PNC＝∠B，∠DPM＝∠ACD， ∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠PNC+∠DCB＝∠ACD+∠DCB+∠B＝∠ACB+∠B＝120， 故答案為PM＝PN，120． （2）如圖2中，連接BD、EC． ①∵∠BAC＝∠DAE＝60， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵BA＝CA，DA＝EA， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)， ∴PN∥BD，PM∥EC，PN=12BD，PM=12CE， ∴PN＝PM， ∴△PMN是等腰三角形． ②∵PN∥BD，PM∥EC ∴∠PNC＝∠DBC，∠DPM＝∠A＝ECD， ∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ECD+∠PNC+∠DCB＝∠ECD+∠DCB+∠DBC＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝∠ABD+∠ACB+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝120． （3）如圖3中， 由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 同（2）的方法，利用三角形的中位線得，PN=12BD，PM=12CE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（2）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（2）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90， ∴∠ACB+∠ABC＝90， ∴∠MPN＝90， ∴△PMN是等腰直角三角形， ∵PM＝PN=12BD， ∴BD最大時，PM最大，△PMN面積最大， ∴點(diǎn)D在BA的延長線上， ∴BD＝AB+AD＝14， ∴PM＝7， ∴S△PMN最大=12PM2=1272=492 8．【問題提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．（不必解答） 【特例探究】小聰先從特殊問題開始研究，當(dāng)α＝90，β＝30時，利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構(gòu)造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α＝90，β＝30以及等邊三角形等相關(guān)知識便可解決這個問題． 請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，在這種特殊情況下填空：△D′BC的形狀是　等邊　三角形；∠ADB的度數(shù)為 　． 【問題解決】 在原問題中，當(dāng)∠DBC＜∠ABC（如圖1）時，請計算∠ADB的度數(shù)； 【拓展應(yīng)用】在原問題中，過點(diǎn)A作直線AE⊥BD，交直線BD于E，其他條件不變?nèi)鬊C＝7，AD＝2．請直接寫出線段BE的長為　 　． 【分析】【特例探究】①如圖2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等邊三角形； ②借助①的結(jié)論，再判斷出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解決問題． 【問題解決】當(dāng)60＜α≤120時，如圖3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，連接CD′，AD′，證明方法類似（1）． 【拓展應(yīng)用】第①種情況：當(dāng)60＜α≤120時，如圖3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，連接CD′，AD′，證明方法類似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出結(jié)論； 第②種情況：當(dāng)0＜α＜60時，如圖4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′．證明方法類似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解析】【特例探究】①如圖2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′， ∵AB＝AC，∠BAC＝90， ∴∠ABC＝45， ∵∠DBC＝30， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15， 在△ABD和△ABD′中，AB=AB∠ABD=∠ABDBD=BD ∴△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝15，∠ADB＝∠AD′B， ∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60， ∵BD＝BD′，BD＝BC， ∴BD′＝BC， ∴△D′BC是等邊三角形， ②∵△D′BC是等邊三角形， ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60， 在△AD′B和△AD′C中，AD=ADDB=DCAB=AC ∴△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∴∠AD′B=12∠BD′C＝30， ∴∠ADB＝30． 故答案為：等邊，30； 【問題解決】解：∵∠DBC＜∠ABC， ∴60＜α≤120， 如圖3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAC＝α， ∴∠ABC=12（180﹣α）＝90-12α， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90-12α﹣β， 同（1）①可證△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝90-12α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B ∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90-12α﹣β+90-12α＝180﹣（α+β）， ∵α+β＝120， ∴∠D′BC＝60， 由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∴∠AD′B=12∠BD′C＝30， ∴∠ADB＝30． 【拓展應(yīng)用】第①情況：當(dāng)60＜α＜120時，如圖3﹣1， 由（2）知，∠ADB＝30， 作AE⊥BD， 在Rt△ADE中，∠ADB＝30，AD＝2， ∴DE=3， ∵△BCD是等邊三角形， ∴BD＝BC＝7， ∴BD＝BD＝7， ∴BE＝BD﹣DE＝7-3； 第②情況：當(dāng)0＜α＜60時， 如圖4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，連接CD′，AD′． 同理可得：∠ABC=12（180﹣α）＝90-12α， ∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90-12α）， 同（1）①可證△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90-12α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B， ∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90-12α﹣[β﹣（90-12α）]＝180﹣（α+β）， ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60． 同（1）②可證△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360， ∴∠ADB＝∠AD′B＝150， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30，AD＝2， ∴DE=3， ∴BE＝BD+DE＝7+3， 故答案為：7+3或7-3． 9．點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，∠ACB＝90，AC＝BC． （1）如圖1，∠DCE＝90，CD＝CE，求證：∠ADC＝∠BEC； （2）如圖2，若∠CDB＝45，AE∥BD，CE⊥CD，求證：AE＝BD； （3）如圖3，若∠ADC＝15，CD=2，BD＝n，請直接用含n的式子表示AD的長． 【分析】（1）易證△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC； （2）延長DC交AE于F，連BF，易證△ACE≌△BCF，則AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45＝∠FDB，結(jié)論得證； （3）過點(diǎn)C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，連BE、DE．由（1）知△ACD≌△BCE，則∠BEC＝∠ADC＝15，求出∠BED＝30，可求出OE，OB的長，則AD可求出． 【解答】（1）證明：∵∠DCE＝∠ACB＝90， ∴∠ACD＝∠BCE， 又∵AC＝BC，CE＝CD， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC． （2）如圖1，延長DC交AE于F，連BF， ∵AE∥BD， ∴∠EFC＝∠CDB＝45． ∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45， ∴EC＝CF． ∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45＝∠FDB， ∴BF＝BD， ∴AE＝BD； （3）如圖2，過點(diǎn)C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，連BE、DE． 設(shè)AD、BE交于點(diǎn)O，由（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15， ∴∠DOE＝∠DCE＝90． 又∵∠CED＝∠CDE＝45， ∴DE=2CD=2， ∴∠BED＝30， ∴OD=12DE=122＝1， ∴OE=DE2-OD2=3，OB=BD2-OD2=n2-1， ∴AD＝BE＝OB+OE=n2-1+3． 10．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個120的角，角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點(diǎn)．以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)∠MDN（∠MDN的度數(shù)不變），當(dāng)DM與AB垂直時（如圖①所示），易證BM+CN＝BD． （1）如圖②，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC上時，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由； （2）如圖③，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC的延長線上時，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，請寫出BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明． 【分析】（1）過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E，易證△BDE是等邊三角形，∠EDC＝120，得出BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120，證明∠CDN＝∠EDM，由D是BC邊的中點(diǎn)，得出DE＝BD＝CD，由ASA證得△CDN≌△EDM得出CN＝EM，即可得出結(jié)論； （2）過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E，易證△BDE是等邊三角形，∠MED＝∠EDC＝120，得出BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120，證明∠CDN＝∠EDM，由D是BC邊的中點(diǎn)得出DE＝BD＝CD，由ASA證得△CDN≌△EDM得出CN＝EM，即可得出結(jié)果． 【解析】（1）結(jié)論BM+CN＝BD成立，理由如下： 如圖②，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60，∠BDE＝∠C＝60， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60， ∴△BDE是等邊三角形，∠EDC＝120， ∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120， ∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D是BC邊的中點(diǎn)， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN和△EDM中， ∠C=∠DEM=60CD=DE∠CDN=∠EDM， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN； （2）上述結(jié)論不成立，BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系為：BM﹣CN＝BD；理由如下： 如圖③，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60， ∴∠NCD＝120， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60，∠BDE＝∠C＝60， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60， ∴△BDE是等邊三角形，∠MED＝∠EDC＝120， ∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120， ∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D是BC邊的中點(diǎn)， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN和△EDM中， ∠NCD=∠MEDCD=DE∠CDN=∠EDM， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN， ∴BM﹣CN＝BD． 11．在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)D、Q分別為邊BC上的點(diǎn)，線段AD的延長線與線段PQ的延長線交于點(diǎn)F，連接CP交AF于點(diǎn)E，若∠BPF＝∠APC，F(xiàn)D＝FQ． （1）如圖1，求證：AF⊥CP； （2）如圖2，作∠AFP的平分線FM交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若FN＝MN，求證：DQ=13BC； （3）在（2）的條件下，連接DM、MQ，分別交PC于點(diǎn)G、H，求EGHP的值． 【分析】（1）∠APC＝∠BPQ，∠A＝∠B，推出∠ACP＝∠PQB，由∠FDQ＝∠CDA，∠FQD＝∠PQB，推出∠ACP＝∠CDA，由∠ACP＝∠CDA，推出CP⊥AF． （2）證明：作WB⊥BC，交CP延長線于點(diǎn)W．由△ACD≌△CBW得出CD＝QB，由FM平分∠DFQ，DF＝FQ，得到 ND＝NQ，再利用平行線分線段成比例定理證明CD＝DQ＝QB即可． （3）證出△EDG～△HQP即可解決問題． 【解答】（1）證明：如圖1中， ∵∠APC＝∠BPQ，∠A＝∠B， ∴∠ACP＝∠PQB， ∵FD＝FQ， ∴∠FDQ＝∠FQD， ∵∠FDQ＝∠CDA，∠FQD＝∠PQB， ∴∠ACP＝∠CDA， ∵∠ACP+∠BCP＝90， ∴∠BCP+∠CDA＝90， ∴∠CED＝90， ∴CP⊥AF． （2）證明：如圖2中，作WB⊥BC，交CP延長線于點(diǎn)W． ∵AF⊥PC，∠ACD＝90，WB⊥CB ∴∠CAD+∠ACE＝90，∠ACE+∠BCW＝90，∠ACD＝∠CBW＝90， ∴∠CAD＝∠BCW， ∵CA＝CB， ∴△ACD≌△CBW， ∴CD＝BW， ∵∠QBP＝∠WBP＝45，PB＝PB，∠APC＝∠BPW＝∠QPB， ∴△PBQ≌△PBW（SAS）， ∴BW＝BQ， ∴CD＝BQ， ∵FM平分∠DFQ，DF＝FQ， ∴ND＝NQ，F(xiàn)N⊥BC， ∴CN＝BN， ∵M(jìn)N∥AC， ∴AM＝BM， ∴AC＝2MN＝2FN， ∵AC∥FN， ∴ACFN=CDDN=2， ∴CD＝2DN＝DQ， ∴QD＝CD＝BQ， ∴DQ=13BC． （3）解：∵DN＝NB，MN＝FN，F(xiàn)M⊥DQ， ∴四邊形DMQF是菱形， ∴EF∥MQ，DM∥PF， ∴∠PHQ＝∠GED，∠EDG＝∠DMQ＝∠PQH， ∴△GED∽△PHQ， ∴EGPH=DEHQ， ∴CD＝DQ，DE∥HQ， ∴CE＝EH， ∴HQ＝2DE， ∴EGPH=DE2DE=12． 12．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF，CF． （1）如圖1，點(diǎn)D在AC上，請你判斷此時線段DF，CF的關(guān)系，并證明你的判斷； （2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45時，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此時線段CF的長． 【分析】（1）如圖1，延長DF交BC于H，由“AAS”可證△DEF≌△HBF，可得DF＝FH，DE＝BH，可證DC＝CH，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得DF＝CF，DF⊥CF； （2）延長DF交BA于點(diǎn)H，連接CH，CD，由“AAS”可證△DEF≌△HBF，可得DF＝FH，DE＝BH，由“SAS”可證△ADC≌△BHC，可得CH＝CD，∠ACD＝∠BCH，由由勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF的長． 【解析】（1）DF＝CF，DF⊥CF， 理由如下：如圖1，延長DF交BC于H， ∵點(diǎn)F為BE中點(diǎn)， ∴BF＝EF， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AD＝ED，AC＝BC，∠ACB＝∠ADE＝∠CDE＝90， ∴BC∥DE， ∴∠BHF＝∠EDF，且BF＝EF，∠DFE＝∠BFH， ∴△DEF≌△HBF（AAS） ∴DF＝FH，DE＝BH， ∵AD＝ED＝BH，AC＝BC ∴DC＝CH，且DF＝FH，∠ACB＝90， ∴CF＝DF，CF⊥DF； （2）如圖2，延長DF交BA于點(diǎn)H，連接CH，CD， ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，AD＝DE． ∴∠AED＝∠ABC＝45， ∵由旋轉(zhuǎn)可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90， ∵AE∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠DEF＝∠HBF． ∵F是BE的中點(diǎn)， ∴EF＝BF，且∠DEF＝∠HBF，∠EFD＝∠BFH， ∴△DEF≌△HBF（AAS）， ∴ED＝HB＝2，DF＝FH， ∵AB＝6， ∴AH＝4 在Rt△HAD中，DH=AH2+AD2=16+4=25， ∵AD＝BH＝DE，AC＝BC，∠DAC＝∠ABC＝45， ∴△ADC≌△BHC（SAS） ∴CH＝CD，∠ACD＝∠BCH， ∵∠BCH+∠ACH＝90， ∴∠ACD+∠ACH＝90， ∴∠DCH＝90，且CH＝CD，DF＝FH， ∴CF＝DF＝FH=5． 13．如圖①，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0，0），點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處． （1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)； （2）如圖2，若點(diǎn)P是線段DA上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，A重合），過P作PH⊥DB于H，設(shè)OP的長為x，△DPH的面積為S，試用關(guān)于x的代數(shù)式表示S． 【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，可得ABFD是正方形，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OD，AE即可