第2講排列與組合【2013年高考會(huì)這樣考】1考查排列組合的概念及其公式的推導(dǎo)2考查排列組合的應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)時(shí)要掌握好基本計(jì)算公式和基本解題指導(dǎo)思想，掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法，如指標(biāo)分配問(wèn)題、均勻分組問(wèn)題、雙重元素問(wèn)題、涂色問(wèn)題、相鄰或不相鄰問(wèn)題等基礎(chǔ)梳理1排列(1)排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A表示(3)排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)(4)全排列數(shù)公式An(n1)(n2)21n！(叫做n的階乘)2組合(1)組合的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)C表示(3)組合數(shù)公式C(n，mN*，且mn)特別地C1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：CC；CCC. 一個(gè)區(qū)別排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無(wú)序”取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)是排列，如果與順序無(wú)關(guān)即是組合 兩個(gè)公式(1)排列數(shù)公式A(2)組合數(shù)公式C利用這兩個(gè)公式可計(jì)算排列問(wèn)題中的排列數(shù)和組合問(wèn)題中的組合數(shù)解決排列組合問(wèn)題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問(wèn)題主要是判斷“有序”和“無(wú)序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無(wú)序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無(wú)序”要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫(xiě)出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣既可以加深對(duì)問(wèn)題的理解，檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問(wèn)題的解決起到事半功倍的效果四字口訣求解排列組合問(wèn)題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類相加，分步相乘”雙基自測(cè)18名運(yùn)動(dòng)員參加男子100米的決賽已知運(yùn)動(dòng)場(chǎng)有從內(nèi)到外編號(hào)依次為1,2,3,4,5,6,7,8的八條跑道，若指定的3名運(yùn)動(dòng)員所在的跑道編號(hào)必須是三個(gè)連續(xù)數(shù)字(如：4,5,6)，則參加比賽的這8名運(yùn)動(dòng)員安排跑道的方式共有()A360種 B4 320種 C720種 D2 160種解析本題考查排列組合知識(shí)，可分步完成，先從8個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)連續(xù)的三個(gè)數(shù)字共有6種可能，將指定的3名運(yùn)動(dòng)員安排在這三個(gè)編號(hào)的跑道上，最后剩下的5個(gè)排在其他的編號(hào)的5個(gè)跑道上，故共有6AA4 320種方式答案B2以一個(gè)正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A200個(gè) B190個(gè) C185個(gè) D180個(gè)解析正五棱柱共有10個(gè)頂點(diǎn)，若每四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四面體，共可構(gòu)成C210個(gè)四面體其中四點(diǎn)在同一平面內(nèi)的有三類：(1)每一底面的五點(diǎn)中選四點(diǎn)的組合方法有2C個(gè)(2)五條側(cè)棱中的任意兩條棱上的四點(diǎn)有C個(gè)(3)一個(gè)底面的一邊與另一個(gè)底面相應(yīng)的一條對(duì)角線平行(例如ABE1C1)，這樣共面的四點(diǎn)共有2C個(gè)所以C2CC2C180(個(gè))，選D.答案D3(2010山東)某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有()A36種 B42種 C48種 D54種解析因?yàn)楸仨毰旁谧詈笠晃?，因此只需考慮其余五人在前五位上的排法當(dāng)甲排在第一位時(shí)，有A24種排法，當(dāng)甲排在第二位時(shí)，有AA18種排法，所以共有方案241842(種)，故選B.答案B1233122314.如圖，將1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫(xiě)方法共有()A6種 B12種C24種 D48種解析只需要填寫(xiě)第一行第一列，其余即確定了因此共有AA12(種)答案B5某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析可將6項(xiàng)工程分別用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五個(gè)元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共AC20種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA20種排法答案20考向一排列問(wèn)題【例1】六個(gè)人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站在兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間恰有兩人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人順序已定審題視點(diǎn) 根據(jù)題目具體要求，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，如捆綁法、插空法等?1)AA480；(2)AA240；(3)AA480；(4)AAA144；(5)A2AA504；(6)A120. 有條件的排列問(wèn)題大致分四種類型(1)某元素不在某個(gè)位置上問(wèn)題，可從位置考慮用其它元素占上該位置，可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問(wèn)題)；可間接計(jì)算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個(gè)數(shù)(2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個(gè)元素(即捆綁法)然后與其它元素排列(3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進(jìn)行插空(即插空法)(4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個(gè)位置，先排上剩余的其它元素，這個(gè)元素也就一種排法【訓(xùn)練1】 用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，分別有多少個(gè)？(1)0不在個(gè)位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù)；(5)1不在個(gè)位；(6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列解(1)AA480；(2)AAA192；(3)AAAAA408，(4)AAAAA120；(5)A2AA504；(6)AA60.考向二組合問(wèn)題【例2】某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？審題視點(diǎn) “無(wú)序問(wèn)題”用組合，注意分類處理解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有C816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有C8 568(種)；(3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有CCC6 936(種)；(4)法一(直接法)：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有CCCCCCCC14 656(種)法二(間接法)：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得C(CC)14 656(種) 對(duì)于有條件的組合問(wèn)題，可能遇到含某個(gè)(些)元素與不含某個(gè)(些)元素問(wèn)題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問(wèn)題的計(jì)算，此類問(wèn)題要注意分類處理或間接計(jì)算，切記不要因?yàn)椤跋热≡俸笕　碑a(chǎn)生順序造成計(jì)算錯(cuò)誤【訓(xùn)練2】 甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，(1)甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有多少種？(2)甲、乙所選的課程中至少有一門(mén)不相同的選法有多少種？解(1)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，且甲、乙所選課程中恰有1門(mén)相同的選法種數(shù)共有CCC24(種)(2)甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選兩門(mén)不同的選法種數(shù)為CC，又甲乙兩人所選的兩門(mén)課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為CCC30(種)考向三排列、組合的綜合應(yīng)用【例3】(1)7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，試問(wèn)：每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？(2)計(jì)算xyz6的正整數(shù)解有多少組；(3)計(jì)算xyz6的非負(fù)整數(shù)解有多少組審題視點(diǎn) 根據(jù)題目要求分類求解，做到不重不漏解(1)法一先將其中4個(gè)相同的小球放入4個(gè)盒子中，有1種放法；再將其余3個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，有以下3種情況：某一個(gè)盒子放3個(gè)小球，就可從這4個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這3個(gè)小球，有C種不同的放法；這3個(gè)小球分別放入其中的3個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從4個(gè)不同的盒子中任選3個(gè)盒子，分別放入這3個(gè)相同的小球，有C種不同放法；這3個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在1個(gè)盒子中，另1個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這4個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有A種不同的方法綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為CCA20(種)法二“每個(gè)盒子都不空”的含義是“每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球”，若用“擋板法”，可易得C20.(2)可看做將6個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放法轉(zhuǎn)化為6個(gè)0,2個(gè)1的排列，要求1不排在兩端且不相鄰，共有C10種排法，因此方程xyz6有10組不同的正整數(shù)解；(3)可看做將6個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為6個(gè)0,2個(gè)1的排列，共有C28種排法，因此方程xyz6有28組不同的非負(fù)整數(shù)解 排列與組合的根本區(qū)別在于是“有序”還是“無(wú)序”，對(duì)于將若干個(gè)相同小球放入幾個(gè)不同的盒子中，此類問(wèn)題可利用“擋板法”求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題(2)在計(jì)算排列組合問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到“分組”問(wèn)題，要特別注意是平均分組還是不平均分組可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類比的方法去理解分組問(wèn)題，比如將4個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有CC種不同的分法；而平均分為兩組則有種不同的分法【訓(xùn)練3】 有6本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三組；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每組都是2本的三組；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本解(1)分三步：先選一本有C種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C種選法；對(duì)于余下的三本全選有C種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有CCC60種選法(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問(wèn)題，因此共有CCCA360種選法(3)先分三步，則應(yīng)是CCC種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記6本書(shū)為分別A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，則CCC種分法中還有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A種情況，而且這A種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有15(種)(4)在問(wèn)題(3)的基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有ACCC90(種)閱卷報(bào)告16實(shí)際問(wèn)題意義不清，計(jì)算重復(fù)、遺漏致誤【問(wèn)題診斷】 排列組合問(wèn)題由于其思想方法獨(dú)特計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問(wèn)題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問(wèn)題時(shí)必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.【防范措施】 “至少、至多型”問(wèn)題不能利用分步計(jì)數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對(duì)立事件求解【示例】 有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有多少種？錯(cuò)因第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序，從而使取法重復(fù)實(shí)錄按分步原理，第一步確保1個(gè)一等品，有C種取法；第二步從余下的19個(gè)零件中任意取2個(gè)，有C種不同的取法，故共有CC2 736種取法正解法一將“至少有1個(gè)是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個(gè)一等品”，“恰有2個(gè)一等品”，“恰有3個(gè)一等品”，由分類計(jì)數(shù)原理有：CCCCC1 136(種)法二考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，用間接法：CC1 136(種)【試一試】 在10名演員中，5人能歌，8人善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個(gè)由1人獨(dú)唱4人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？嘗試解答本題中的“雙面手”有3個(gè)，僅能歌的2人，僅善舞的5人把問(wèn)題分為：(1)獨(dú)唱演員從雙面手中選，剩下的2個(gè)雙面手和只能善舞的5個(gè)演員一起參加伴舞人員的選拔；(2)獨(dú)唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的2人中選拔，這樣3個(gè)雙面手就可以和只能善舞的5個(gè)演員一起參加伴舞人員的選拔故選法種數(shù)是CCCC245.7