1.3 算法案例整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 在學(xué)生學(xué)習(xí)了算法的初步知識(shí)，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和程序三種不同方式以后，再結(jié)合典型算法案例，讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)算法解決問題的全過程，體驗(yàn)算法在解決問題中的重要作用，體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.三維目標(biāo)1理解算法案例的算法步驟和程序框圖.2引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法程序.3. 體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法步驟、程序框圖和算法程序.教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.課時(shí)安排 3課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí) 案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家喜歡打乒乓球吧，由于東、西方文化及身體條件的不同，西方人喜歡橫握拍打球，東方人喜歡直握拍打球，對(duì)于同一個(gè)問題，東、西方人處理問題方式是有所不同的.在小學(xué)，我們學(xué)過求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來. 當(dāng)兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時(shí)（如8 251與6 105），使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),由此可以體會(huì)東、西方文化的差異. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了算法步驟、程序框圖和算法語句.今天我們將通過輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來進(jìn)一步體會(huì)算法的思想.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）怎樣用短除法求最大公約數(shù)？（2）怎樣用窮舉法（也叫枚舉法）求最大公約數(shù)？（3）怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？（4）怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)？討論結(jié)果：（1）短除法 求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個(gè)互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.（2）窮舉法（也叫枚舉法） 窮舉法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù).1 / 17（3）輾轉(zhuǎn)相除法 輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，其算法步驟可以描述如下： 第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n. 第二步，求余數(shù)r：計(jì)算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中. 第三步，更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r. 第四步，判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行. 如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止. 這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫歐幾里得算法.（4）更相減損術(shù) 我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù). 九章算術(shù)是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)代語言如下： 第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步. 第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).應(yīng)用示例例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求8 251與6 105的最大公約數(shù),寫出算法分析，畫出程序框圖，寫出算法程序.解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)：8 251=6 1051+2 146.由此可得，6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù)，反過來，8 251與6 105的公約數(shù)也是6 105與2 146的公約數(shù)，所以它們的最大公約數(shù)相等.對(duì)6 105與2 146重復(fù)上述步驟：6 105=2 1462+1 813.同理，2 146與1 813的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復(fù)上述步驟：2 146=1 8131+333，1 813=3335+148，333=1482+37，148=374. 最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8 251與6 105的最大公約數(shù). 這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道，對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù).算法分析：從上面的例子可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復(fù)操作的步驟，因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.算法步驟如下：第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n.第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)為r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.程序框圖如下圖：程序：INPUT m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND點(diǎn)評(píng)：從教學(xué)實(shí)踐看，有些學(xué)生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過程，例如：求8 251與6 105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6 105與2 146的公約數(shù).因?yàn)? 251=6 1051+2 146，可以化為8 251-6 1051=2 164，所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù)，即6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù).變式訓(xùn)練 你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序.解：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖：程序：INPUT m，nr=1WHILE r0 r=m MOD n m=n n=rWENDPRINT mEND例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公約數(shù)等于7.點(diǎn)評(píng)：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的比較：盡管兩種算法分別來源于東、西方古代數(shù)學(xué)名著，但是二者的算理卻是相似的，有異曲同工之妙主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相減，但是實(shí)質(zhì)都是一個(gè)不斷的遞歸過程變式訓(xùn)練 用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個(gè)數(shù)324,243,135的最大公約數(shù).解：324=243181，243=8130，則324與243的最大公約數(shù)為81.又135=81154，81=54127，54=2720，則 81 與 135的最大公約數(shù)為27.所以,三個(gè)數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27.另法：324243=81,24381=162,16281=81，則324與243的最大公約數(shù)為81.13581=54,8154=27,5427=27，則81與135的最大公約數(shù)為27.所以，三個(gè)數(shù)324、243.135的最大公約數(shù)為27.例3 （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù).（2）用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù).解：（1）輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：12324827，4812721，271216，21363，623+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3.（2）我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，因?yàn)?0和36都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2.802=40，362=18.40和18都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2.402=20，182=9.下面來求20與9的最大公約數(shù)，209=11，119=2，92=7，72=5，52=3，32=1，21=1，可得80和36的最大公約數(shù)為221=4.點(diǎn)評(píng)：對(duì)比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等.變式訓(xùn)練 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1 734，816的最大公約數(shù)解：輾轉(zhuǎn)相除法：1 734=8162+102，816=1028（余0），1 734與816的最大公約數(shù)是102更相減損術(shù)：因?yàn)閮蓴?shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867，408，再求867與408的最大公約數(shù)867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.1 734與816的最大公約數(shù)是512=102利用更相減損術(shù)可另解：1 734816918，918816102，816102714，714102612，612102510，510102408，408102306，306102204，204102102.1 734與816的最大公約數(shù)是102知能訓(xùn)練 求319，377，116的最大公約數(shù)解：377=3191+58，319=585+29，58=292.377與319的最大公約數(shù)為29，再求29與116的最大公約數(shù)116=294.29與116的最大公約數(shù)為29.377，319，116的最大公約數(shù)為29.拓展提升 試寫出利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的程序解：更相減損術(shù)程序：INPUT “m，n=”；m，nWHILE m<>nIF m>n THENm-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND課堂小結(jié)（1）用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù).（2）用更相減損術(shù)求最大公約數(shù).思想方法：遞歸思想.作業(yè) 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261，319的最大公約數(shù).分析：本題主要考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)及其應(yīng)用使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m=nq+r，反復(fù)執(zhí)行，直到r=0為止；用更相減損術(shù)就是根據(jù)m-n=r，反復(fù)執(zhí)行，直到n=r為止解：輾轉(zhuǎn)相除法：319=2611+58,261=584+29,58=292.319與261的最大公約數(shù)是29更相減損術(shù)：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,319與261的最大公約數(shù)是29設(shè)計(jì)感想 數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，本節(jié)的引入從東、西方文化的不同開始，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化.從知識(shí)方面主要學(xué)習(xí)用兩種方法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，從思想方法方面，主要學(xué)習(xí)遞歸思想.本節(jié)設(shè)置精彩例題，不僅讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)，而且讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)算法的思想，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義情操第2課時(shí) 案例2 秦九韶算法導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個(gè)問題的方法多種多樣.怎樣求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)， 今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值有哪些方法？比較它們的特點(diǎn).（2）什么是秦九韶算法？（3）怎樣評(píng)價(jià)一個(gè)算法的好壞？討論結(jié)果：（1）怎樣求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值呢？ 一個(gè)自然的做法就是把5代入多項(xiàng)式f(x)，計(jì)算各項(xiàng)的值，然后把它們加起來，這時(shí)，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算. 另一種做法是先計(jì)算x2的值，然后依次計(jì)算x2x，（x2x）x，（x2x）x）x的值，這樣每次都可以利用上一次計(jì)算的結(jié)果，這時(shí)，我們一共做了4次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算. 第二種做法與第一種做法相比，乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了，因而能夠提高運(yùn)算效率，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，做一次乘法運(yùn)算所用的時(shí)間比做一次加法運(yùn)算要長(zhǎng)得多，所以采用第二種做法，計(jì)算機(jī)能更快地得到結(jié)果.（2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約12021261）在他的著作數(shù)書九章中提出了下面的算法： 把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改寫成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（anxn-2+an-1xn-3+a2）x+a1)x+a0=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，這樣，求n次多項(xiàng)式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法.（3）計(jì)算機(jī)的一個(gè)很重要的特點(diǎn)就是運(yùn)算速度快，但即便如此，算法好壞的一個(gè)重要標(biāo)志仍然是運(yùn)算的次數(shù).如果一個(gè)算法從理論上需要超出計(jì)算機(jī)允許范圍內(nèi)的運(yùn)算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個(gè)理論的算法.應(yīng)用示例例1 已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值：v0=5；v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以，當(dāng)x=5時(shí)，多項(xiàng)式的值等于17 255.2.算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個(gè)一次式，可見vk的計(jì)算要用到vk-1的值，若令v0=an，我們可以得到下面的公式：這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn).算法步驟如下：第一步，輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值.第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1.第三步，輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai.第四步，v=vx+ai,i=i-1.第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v.程序框圖如下圖：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND點(diǎn)評(píng)：本題是古老算法與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)語言的完美結(jié)合，詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個(gè)典型的算法案例.變式訓(xùn)練 請(qǐng)以5次多項(xiàng)式函數(shù)為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖.解：設(shè)f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，讓我們以5次多項(xiàng)式一步步地進(jìn)行改寫：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分層計(jì)算,只用了小括號(hào)，計(jì)算時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層的括號(hào)，然后由里向外逐層計(jì)算，直到最外層的括號(hào)，然后加上常數(shù)項(xiàng)即可.程序框圖如下圖：例2 已知n次多項(xiàng)式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an，如果在一種算法中，計(jì)算（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計(jì)算P3(x0)的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算P10(x0)的值共需要_次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k0，1，2，n1）利用該算法，計(jì)算P3(x0)的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算P10(x0)的值共需要_次運(yùn)算.答案：65 20點(diǎn)評(píng)：秦九韶算法適用一般的多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運(yùn)算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運(yùn)算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求當(dāng)x=5時(shí)的函數(shù)的值.解析：把多項(xiàng)式變形為：f(x)=2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.計(jì)算的過程可以列表表示為：最后的系數(shù)2 677即為所求的值.算法過程：v0=2；v1=255=5；v2=554=21；v3=215+3=108；v4=10856=534；v5=5345+7=2 677.點(diǎn)評(píng)：如果多項(xiàng)式函數(shù)中有缺項(xiàng)的話，要以系數(shù)為0的項(xiàng)補(bǔ)齊后再計(jì)算.知能訓(xùn)練當(dāng)x=2時(shí)，用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值解法一：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=2時(shí)的值.v0=3;v1=v02+8=32+8=14;v2=v12-3=142-3=25;v3=v22+5=252+5=55;v4=v32+12=552+12=122;v5=v42-6=1222-6=238.當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值為238.解法二：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，則f(2)=(32+8)23)2+5)2+12)26238拓展提升 用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=3時(shí)的值.解：f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=73+6=27；v2=273+5=86；v3=863+4=262；v4=2623+3=789；v5=7893+2=2 369；v6=2 3693+1=7 108；v7=7 1083+0=21 324.f(3)=21 324.課堂小結(jié)1.秦九韶算法的方法和步驟.2.秦九韶算法的計(jì)算機(jī)程序框圖.作業(yè)已知函數(shù)f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)95)9+8=530.設(shè)計(jì)感想 古老的算法散發(fā)濃郁的現(xiàn)代氣息，這是一節(jié)充滿智慧的課.本節(jié)主要介紹了秦九韶算法. 通過對(duì)秦九韶算法的學(xué)習(xí)，對(duì)算法本身有哪些進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？ 教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括，小結(jié)時(shí)要關(guān)注如下幾點(diǎn)：（1）算法具有通用的特點(diǎn)，可以解決一類問題；（2）解決同一類問題，可以有不同的算法，但計(jì)算的效率是不同的，應(yīng)該選擇高效的算法；（3）算法的種類雖多，但三種邏輯結(jié)構(gòu)可以有效地表達(dá)各種算法等等.第3課時(shí) 案例3 進(jìn)位制導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入 在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個(gè)月、一小時(shí)六十分的歷法.今天我們來學(xué)習(xí)一下進(jìn)位制.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）你都了解哪些進(jìn)位制？（2）舉出常見的進(jìn)位制.（3）思考非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法.（4）思考十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)及非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法.活動(dòng)：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路討論結(jié)果：（1）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制等等.也就是說：“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)（都是大于1的整數(shù)）就是幾.（2）在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計(jì)數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年十二個(gè)月、一小時(shí)六十分的歷法.（3）十進(jìn)制使用09十個(gè)數(shù)字.計(jì)數(shù)時(shí)，幾個(gè)數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個(gè)位，個(gè)位上的數(shù)字是幾，就表示幾個(gè)一；第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾，就表示幾個(gè)十；接著依次是百位、千位、萬位例如：十進(jìn)制數(shù)3 721中的3表示3個(gè)千，7表示7個(gè)百，2表示2個(gè)十，1表示1個(gè)一.于是，我們得到下面的式子：3 721=3103+7102+2101+1100.與十進(jìn)制類似，其他的進(jìn)位制也可以按照位置原則計(jì)數(shù).由于每一種進(jìn)位制的基數(shù)不同，所用的數(shù)字個(gè)數(shù)也不同.如二進(jìn)制用0和1兩個(gè)數(shù)字，七進(jìn)制用06七個(gè)數(shù)字.一般地，若k是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式 anan-1a1a0（k）（0ank，0an-1，a1，a0k).其他進(jìn)位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如110 011（2）=125+124+023+022+121+120， 7 342（8）=783+382+481+280.非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡(jiǎn)單，只要計(jì)算下面的式子值即可：anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k+a0.第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)anan-1a1a0(k)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即ankn,an-1kn-1,a1k,a0k0；第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù).（4）關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是，計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲(chǔ)和計(jì)算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時(shí)計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.1十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法“除k取余法”.2非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換一個(gè)自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁.教科書上提供了一個(gè)二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù).應(yīng)用示例思路1例1 把二進(jìn)制數(shù)110 011(2)化為十進(jìn)制數(shù).解：110 011(2)=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51.點(diǎn)評(píng)：先把二進(jìn)制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)一個(gè)算法，把k進(jìn)制數(shù)a（共有n位）化為十進(jìn)制數(shù)b.算法分析：從例1的計(jì)算過程可以看出，計(jì)算k進(jìn)制數(shù)a的右數(shù)第i位數(shù)字ai與ki-1的乘積aiki-1，再將其累加，這是一個(gè)重復(fù)操作的步驟.所以，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法. 算法步驟如下：第一步，輸入a，k和n的值.第二步，將b的值初始化為0，i的值初始化為1.第三步，b=b+aiki-1，i=i+1.第四步，判斷in是否成立.若是，則執(zhí)行第五步；否則，返回第三步.第五步，輸出b的值.程序框圖如下圖：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DO b=b+t*k（i-1） a=a10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL inPRINT bEND例2 把89化為二進(jìn)制數(shù).解：根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體計(jì)算方法如下：因?yàn)?9=244+1，44=222+0，22=211+0，11=25+1，5=22+1，2=21+0，1=20+1，所以89=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=2（2（2（2（22+1）+1）+0）+0）+1=126+025+124+123+022+021+120=1 011 001(2).這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的算法，稱為除k取余法.變式訓(xùn)練 設(shè)計(jì)一個(gè)程序，實(shí)現(xiàn)“除k取余法”.算法分析：從例2的計(jì)算過程可以看出如下的規(guī)律： 若十制數(shù)a除以k所得商是q0，余數(shù)是r0，即a=kq0+r0，則r0是a的k進(jìn)制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù). 若q0除以k所得的商是q1，余數(shù)是r1，即q0=kq1+r1，則r1是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第2位數(shù). 若qn-1除以k所得的商是0，余數(shù)是rn，即qn-1=rn，則rn是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù). 這樣，我們可以得到算法步驟如下： 第一步，給定十進(jìn)制正整數(shù)a和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)k. 第二步，求出a除以k所得的商q，余數(shù)r. 第三步，把得到的余數(shù)依次從右到左排列. 第四步，若q0，則a=q，返回第二步；否則，輸出全部余數(shù)r排列得到的k進(jìn)制數(shù). 程序框圖如下圖：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DO q=ak r=a MOD k b=b+r*10i i=i+1 a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 將8進(jìn)制數(shù)314 706(8)化為十進(jìn)制數(shù)，并編寫出一個(gè)實(shí)現(xiàn)算法的程序.解：314 706(8)=385+184+483+782+081+680=104 902.所以，化為十進(jìn)制數(shù)是104 902.點(diǎn)評(píng)：利用把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)314 706(8)化為十進(jìn)制數(shù).例2 把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù)，并寫出程序語句.解：具體的計(jì)算方法如下：89=329+2，29=39+2，9=33+0，3=31+0，1=30+1，所以:89(10)=10 022(3).點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三進(jìn)制數(shù)滿三進(jìn)一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所得的商，然后按倒序的順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可.知能訓(xùn)練 將十進(jìn)制數(shù)34轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)分析：把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，用2反復(fù)去除這個(gè)十進(jìn)制數(shù)，直到商為0，所得余數(shù)（從下往上讀）就是所求解：即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分別轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)解：1 234(5)=153+252+35+4194則1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194302(8)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查進(jìn)位制以及不同進(jìn)位制數(shù)的互化五進(jìn)制數(shù)直接利用公式就可以轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；五進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間需要借助于十進(jìn)制數(shù)來轉(zhuǎn)化課堂小結(jié)（1）理解算法與進(jìn)位制的關(guān)系.（2）熟練掌握各種進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化.作業(yè) 習(xí)題1.3A組3、4.設(shè)計(jì)感想 計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲(chǔ)和計(jì)算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計(jì)算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時(shí)，計(jì)算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.因此學(xué)好進(jìn)位制是非常必要的，另外，進(jìn)位制也是高考的重點(diǎn)，本節(jié)設(shè)置了多種題型供學(xué)生訓(xùn)練，所以這節(jié)課非常實(shí)用. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！