2014年女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題 第一天 2014年8月12日 上午8：00-12：00 廣東中心華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué) 1、 如圖， 與 交于 、 兩點(diǎn)，延長(zhǎng) 交于點(diǎn) ，延長(zhǎng) 交于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 交于另一點(diǎn) 。若 ，求證： 。（鄭煥供題） 解答： 2、 設(shè) ，且 是 的一個(gè)排列，其中 是給定的整數(shù)。求 的最大值和最小值。 注： 表示不超過實(shí)數(shù) 的最大整數(shù)。（梁應(yīng)德供題） 3、 在 名學(xué)生中，每名學(xué)生恰好認(rèn)識(shí) 名男生和 名女生（認(rèn)識(shí)是相互的）。求所有可能的正整數(shù)對(duì) 。（王新茂供題） 4、 對(duì)整數(shù) ，定義 為滿足下列條件的數(shù)列 的個(gè)數(shù)： （1） 對(duì)每個(gè)； （2） （3） 對(duì)每個(gè) 求證：存在各項(xiàng)均為正數(shù)的正比數(shù)列 ，使得對(duì)任意整數(shù) ，都有 （朱華偉供題） 第二天 2014年8月13日 上午8：00-12：00 廣東中心華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué) 5.設(shè)正整數(shù) 不是完全平方數(shù)， 是關(guān)于 的方程 的一個(gè)實(shí)根。求證： 是無(wú)理數(shù)。（李勝宏供題） 6.如圖，在銳角 中， 、 分別是邊 、 的中點(diǎn)， 的外接圓與 的外接圓交于點(diǎn) （異于點(diǎn) ）， 的外接圓與 的外接圓交于點(diǎn) （異于點(diǎn) ）。求證： 。（付云皓供題） 7.對(duì)有限非空實(shí)數(shù)集 ，記 的元素個(gè)數(shù)為 ， 集合對(duì) 滿足 且 任取 ，令 對(duì)所有滿足上述條件的 與 ，求 的最大值。（何憶捷供題） 8.設(shè) 是正整數(shù)， 是 中所有與 互素的數(shù)構(gòu)成的集合，記 如果 的元素個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，求證：集合 的元素個(gè)數(shù)相等。（王彬供題）