或1.1.3 集合的基本運算整體設(shè)計教學(xué)分析課本從學(xué)生熟悉的集合出發(fā),結(jié)合實例,通過類比實數(shù)加法運算引入集合間的運算,同時,結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內(nèi)容時,課本繼續(xù)注重體現(xiàn)邏輯思考的方法,如類比等.值得注意的問題:在全集和補集的教學(xué)中,應(yīng)注意利用圖形的直觀作用,幫助學(xué)生理解補集的概念,并能夠用直觀圖進行求補集的運算.三維目標1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義,掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法,會求給定子集的補集,感受集合作為一種語言,在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔和準確,進一步提高類比的能力.2.通過觀察和類比,借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.重點難點教學(xué)重點:交集與并集,全集與補集的概念.教學(xué)難點:理解交集與并集的概念,以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.我們知道,實數(shù)有加法運算,兩個實數(shù)可以相加,例如5+3=8.類比實數(shù)的加法運算,集合是否也可以“相加”呢?教師直接點出課題.思路2.請同學(xué)們考察下列各個集合,你能說出集合C與集合A、B之間的關(guān)系嗎?(1)A=1,3,5,B=2,4,6,C=1,2,3,4,5,6;(2)A=x|x是有理數(shù),B=x|x是無理數(shù),C=x|x是實數(shù).引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、思考和交流,得出結(jié)論.教師強調(diào)集合也有運算,這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.思路3.(1)如圖1131甲和乙所示,觀察兩個圖的陰影部分,它們分別同集合A、集合B有什么關(guān)系？圖1-1-3-1觀察集合A與B與集合C=1,2,3,4之間的關(guān)系.學(xué)生思考交流并回答,教師直接指出這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的課題:集合的運算.(2)已知集合A=1,2,3,B=2,3,4,寫出由集合A,B中的所有元素組成的集合C.已知集合A=x|x>1,B=x|x<0,在數(shù)軸上表示出集合A與B,并寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.推進新課新知探究提出問題通過上述問題中集合A與B與集合C之間的關(guān)系,類比實數(shù)的加法運算,你發(fā)現(xiàn)了什么？用文字語言來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關(guān)系.用數(shù)學(xué)符號來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關(guān)系.試用Venn圖表示AB=C.請給出集合的并集定義.求集合的并集是集合間的一種運算,那么,集合間還有其他運算嗎？請同學(xué)們考察下面的問題,集合A與B與集合C之間有什么關(guān)系？()A=2,4,6,8,10,B=3,5,8,12,C=8;()A=x|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級女同學(xué),B=x|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級男同學(xué),C=x|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級同學(xué).類比集合的并集,請給出集合的交集定義？并分別用三種不同的語言形式來表達.活動：先讓學(xué)生思考或討論問題,然后再回答,經(jīng)教師提示、點撥,并對回答正確的學(xué)生及時表揚,對回答不準確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路,主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運算并能用數(shù)學(xué)符號來刻畫,用Venn圖來顯示.討論結(jié)果：集合之間也可以相加,也可以進行運算,但是為了不和實數(shù)的運算相混淆,規(guī)定這種運算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為AB=C,讀作A并B.所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成了集合C.C=x|xA,或xB.如圖1131所示.一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為AB=x|xA,或xB,用Venn圖表示,如圖1131所示.集合之間還可以求它們的公共元素組成集合的運算,這種運算叫求集合的交集,記作AB,讀作A交B.()AB=C,()AB=C.一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集.其含義用符號表示為:AB=x|xA,且xB.用Venn圖表示,如圖1132所示.圖1-1-3-2應(yīng)用示例思路11.設(shè)A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求AB,AB.圖1-1-3-3活動：讓學(xué)生回顧集合的表示法和交集、并集的含義,由于本例題難度較小,讓學(xué)生自己解決,重點是總結(jié)集合運算的方法.根據(jù)集合并集、交集的含義,借助于Venn圖寫出.觀察這兩個集合中的元素,或用Venn圖來表示,如圖1133所示.解：AB=4,5,6,83,5,7,8=3,4,5,6,7,8.AB=4,5,6,83,5,7,8=5,8.點評：本題主要考查集合的并集和交集.用列舉法表示的集合,運算時常利用Venn圖或直接觀察得到結(jié)果.本題易錯解為AB=3,4,5,5,6,7,8,8.其原因是忽視了集合元素的互異性.解決集合問題要遵守集合元素的三條性質(zhì).變式訓(xùn)練1.集合M=1,2,3,N=-1,5,6,7,則MN=_.MN=_.答案：-1,1,2,3,5,6,7 2.集合P=1,2,3,m,M=m2,3,PM=1,2,3,m,則m=_.分析:由題意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,0.因m=1不合題意,故舍去.答案：-1,03.2007河南實驗中學(xué)月考,理1滿足AB=0,2的集合A與B的組數(shù)為 ( )A.2 B.5 C.7 D.9分析:AB=0,2,A0,2.則A=或A=0或A=2或A=0,2.當(dāng)A=時,B=0,2;當(dāng)A=0時,則集合B=2或0,2;當(dāng)A=2時,則集合B=0或0,2;當(dāng)A=0,2時,則集合B=或0或2或0,2,則滿足條件的集合A與B的組數(shù)為1+2+2+4=9.答案：D4.2006遼寧高考,理2設(shè)集合A=1,2,則滿足AB=1,2,3的集合B的個數(shù)是 ( )A.1 B.3 C.4 D.8分析:轉(zhuǎn)化為求集合A子集的個數(shù).很明顯3A,又AB=1,2,3,必有3B,即集合B中至少有一個元素3,其他元素來自集合A中,則集合B的個數(shù)等于A=1,2的子集個數(shù),又集合A中含有22=4個元素,則集合A有22=4個子集,所以滿足條件的集合B共有4個.答案：C2.設(shè)A=x|-1<x<2,B=x|1<x<3,求AB,AB.活動：學(xué)生回顧集合的表示法和并集、交集的含義.利用數(shù)軸,將A、B分別表示出來,則陰影部分即為所求.用數(shù)軸表示描述法表示的數(shù)集.解：將A=x|-1<x<2及B=x|1<x<3在數(shù)軸上表示出來.如圖1134所示的陰影部分即為所求.圖1-1-3-4由圖得AB=x|-1<x<2x|1<x<3=x|-1<x<3,AB=x|-1<x<2x|1<x<3=x|1<x<2.點評：本類題主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,運算時常利用數(shù)軸來計算結(jié)果.變式訓(xùn)練1.設(shè)A=x|2x-4<2,B=x|2x-4>0,求AB,AB.答案：AB=R,AB=x|2<x<3.2.設(shè)A=x|2x-4=2,B=x|2x-4=0,求AB,AB.答案：AB=3,2,AB=.3.2007惠州高三第一次調(diào)研考試,文1設(shè)集合A=x|-1x2,B=x|0x4,則AB等于( )A.0,2 B.1,2 C.0,4 D.1,4分析:在同一條數(shù)軸上表示出集合A、B,如圖1135所示.由圖得AB=0,2.圖1-1-3-5答案：A課本P11例6、例7.思路21.A=x|x<5,B=x|x>0,C=x|x10,則AB,BC,ABC分別是什么?活動：學(xué)生先思考集合中元素特征,明確集合中的元素.將集合中元素利用數(shù)形結(jié)合在數(shù)軸上找到,那么運算結(jié)果尋求就易進行.這三個集合都是用描述法表示的數(shù)集,求集合的并集和交集的關(guān)鍵是找出它們的公共元素和所有元素.解：因A=x|x<5,B=x|x>0,C=x|x10,在數(shù)軸上表示,如圖1136所示,所以AB=x|0<x<5,BC=x|x>0,ABC=.圖1-1-3-6點評：本題主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集時,明確集合中的元素;依據(jù)并集和交集的含義,借助于直觀(數(shù)軸或Venn圖)寫出結(jié)果.變式訓(xùn)練1.設(shè)A=x|x=2n,nN*,B=x|x=2n,nN,求AB,AB.解：對任意mA,則有m=2n=22n-1,nN*,因nN*,故n-1N,有2n-1N,那么mB,即對任意mA有mB,所以AB.而10B但10A,即AB,那么AB=A,AB=B.2.求滿足1,2B=1,2,3的集合B的個數(shù).解：滿足1,2B=1,2,3的集合B一定含有元素3,B=3;還可含1或2其中一個,有1,3,2,3;還可含1和2,即1,2,3,那么共有4個滿足條件的集合B.3.設(shè)A=-4,2,a-1,a2,B=9,a-5,1-a,已知AB=9,求a.解：因AB=9,則9A,a-1=9或a2=9,a=10或a=3,當(dāng)a=10時,a-5=5,1-a=-9;當(dāng)a=3時,a-1=2不合題意.當(dāng)a=-3時,a-1=-4不合題意.故a=10,此時A=-4,2,9,100,B=9,5,-9,滿足AB=9.4.2006北京高考,文1設(shè)集合A=x|2x+1<3,B=x|-3<x<2,則AB等于 ( )A.x|-3<x<1 B.x|1<x<2 C.x|x>-3 D.x|x<1分析:集合A=x|2x+1<3=x|x<1,觀察或由數(shù)軸得AB=x|-3<x<1.答案：A2.設(shè)集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,aR,若AB=B,求a的值.活動：明確集合A、B中的元素,教師和學(xué)生共同探討滿足AB=B的集合A、B的關(guān)系.集合A是方程x2+4x=0的解組成的集合,可以發(fā)現(xiàn),BA,通過分類討論集合B是否為空集來求a的值.利用集合的表示法來認識集合A、B均是方程的解集,通過畫Venn圖發(fā)現(xiàn)集合A、B的關(guān)系,從數(shù)軸上分析求得a的值.解：由題意得A=-4,0.AB=B,BA.B=或B.當(dāng)B=時,即關(guān)于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實數(shù)解,則=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.當(dāng)B時,若集合B僅含有一個元素,則=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此時,B=x|x2=0=0A,即a=-1符合題意.若集合B含有兩個元素,則這兩個元素是-4,0,即關(guān)于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.則有解得a=1,則a=1符合題意.綜上所得,a=1或a-1.變式訓(xùn)練1.已知非空集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|3x22,則能使A(AB)成立的所有a值的集合是什么？解：由題意知A(AB),即AB,A非空,利用數(shù)軸得解得6a9,即所有a值的集合是a|6a9.2.已知集合A=x|-2x5,集合B=x|m+1x2m-1,且AB=A,試求實數(shù)m的取值范圍.分析:由AB=A得BA,則有B=或B,因此對集合B分類討論.解：AB=A,BA.又A=x|-2x5,B=,或B.當(dāng)B=時,有m+1>2m-1,m<2.當(dāng)B時,觀察圖1-1-3-7:圖1-1-3-7由數(shù)軸可得解得-2m3.綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是m<2或-2m3,即m3.點評：本題主要考查集合的運算、分類討論的思想,以及集合間關(guān)系的應(yīng)用.已知兩個集合的運算結(jié)果,求集合中參數(shù)的值時,由集合的運算結(jié)果確定它們的關(guān)系,通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換,把相關(guān)問題化歸為其他常見的方程、不等式等數(shù)學(xué)問題.這稱為數(shù)學(xué)的化歸思想,是數(shù)學(xué)中的常用方法,學(xué)會應(yīng)用化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)問題.知能訓(xùn)練課本P11練習(xí)1、2、3.【補充練習(xí)】1.設(shè)a=3,5,6,8,B=4,5,7,8,(1)求AB,AB.(2)用適當(dāng)?shù)姆?、)填空:AB_A,B_AB,AB_A,AB_B,AB_AB.解：(1)因A、B的公共元素為5、8,故兩集合的公共部分為5、8,則AB=3,5,6,84,5,7,8=5,8.又A、B兩集合的元素3、4、5、6、7、8,故AB=3,4,5,6,7,8.(2)由文氏圖可知ABA,BAB,ABA,ABB,ABAB.2.設(shè)A=x|x<5,B=x|x0,求AB.解：因x<5及x0的公共部分為0x<5,故AB=x|x<5x|x0=x|0x<5.3.設(shè)A=x|x是銳角三角形,B=x|x是鈍角三角形,求AB.解：因三角形按角分類時,銳角三角形和鈍角三角形彼此孤立.故A、B兩集合沒有公共部分.所以AB=x|x是銳角三角形x|x是鈍角三角形=.4.設(shè)A=x|x>-2,B=x|x3,求AB.解：在數(shù)軸上將A、B分別表示出來,得AB=x|x>-2.5.設(shè)A=x|x是平行四邊形,B=x|x是矩形,求AB.解：因矩形是平行四邊形,故由A及B的元素組成的集合為AB,AB=x|x是平行四邊形.6.已知M=1,N=1,2,設(shè)A=(x,y)|xM,yN,B=(x,y)|xN,yM,求AB,AB.分析:M、N中元素是數(shù).A、B中元素是平面內(nèi)點集,關(guān)鍵是找其元素.解：M=1,N=1,2,則A=(1,1),(1,2),B=(1,1),(2,1),故AB=(1,1),AB=(1,1),(1,2),(2,1).7.2006江蘇高考,7若A、B、C為三個集合,AB=BC,則一定有( )A.AC B.CA C.AC D.A=分析:思路一:(BC)B,(BC)C,AB=BC,ABB,ABC.ABC.AC.思路二:取滿足條件的A=1,B=1,2,C=1,2,3,排除B、D,令A(yù)=1,2,B=1,2,C=1,2,則此時也滿足條件AB=BC,而此時A=C,排除C.答案：A拓展提升觀察：(1)集合A=1,2,B=1,2,3,4時,AB,AB這兩個運算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系;(2)當(dāng)A=時,AB,AB這兩個運算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系;(3)當(dāng)A=B=1,2時,AB,AB這兩個運算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系.由(1)(2)(3)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？活動：依據(jù)集合的交集和并集的含義寫出運算結(jié)果,并觀察與集合A,B的關(guān)系.用Venn圖來發(fā)現(xiàn)運算結(jié)果與集合A,B的關(guān)系.(1)(2)(3)中的集合A,B均滿足AB,用Venn圖表示,如圖1138所示,就可以發(fā)現(xiàn)AB,AB與集合A,B的關(guān)系.圖1-1-3-8解：AB=AABAB=B.可用類似方法,可以得到集合的運算性質(zhì),歸納如下:AB=BA,A(AB),B(AB);AA=A,A=A,ABAB=B;AB=BA;(AB)A,(AB)B;AA=A;A=;ABAB=A.課堂小結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)了:1.集合的交集和并集.2.通常借助于數(shù)軸或Venn圖來求交集和并集.作業(yè)1.課外思考:對于集合的基本運算,你能得出哪些運算規(guī)律？2.請你舉出現(xiàn)實生活中的一個實例,并說明其并集、交集和補集的現(xiàn)實含義.3.書面作業(yè):課本P12習(xí)題1.1A組6、7、8.設(shè)計感想由于本節(jié)課內(nèi)容比較容易接受,也是歷年高考的必考內(nèi)容之一,所以在教學(xué)設(shè)計上注重加強練習(xí)和拓展課本內(nèi)容.設(shè)計中通過借助于數(shù)軸或Venn圖寫出集合運算的結(jié)果,這是突破本節(jié)教學(xué)難點的有效方法.(設(shè)計者：尚大志)中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司