課時(shí)作業(yè)49拋物線一、選擇題1(2019年吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中)拋物線x2y的準(zhǔn)線方程是()Ay ByCx Dx解析：由拋物線方程可知其準(zhǔn)線方程為y.答案：A2(2019年福建省八縣一中高二上學(xué)期期末)拋物線C：y4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(0，1) B(1，0)C. D.解析：由所給拋物線的方程可以得出其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.答案：C3(2019年山東省德州市某中學(xué)高二1月月考(理)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(0，1)的拋物線方程是()Ay22x B. y24xC. x22y D. x24y答案：D4(2019年山西省太原市高三模擬)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|AF|BF|AB|，則AFB的最大值為()A. B.C. D.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)拋物線y28x的焦點(diǎn)為FF(2，0)，|AF|BF|AB|由余弦定理得cosAFB1又|AF|BF|AB|2|AF|BF|AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|BF|取等號(hào)cosAFB1AFB的最大值為.故選D.答案：D5(2019年四川省南充市高三考試)拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，連接PF并延長(zhǎng)交拋物線C于點(diǎn)Q，若|PF|PQ|，則|QF|()A3 B4C5 D6解析：設(shè)Q到l的距離為d，則由拋物線的定義可得，|QF|d，圖1|PF|PQ|，4直線PF的斜率為2，F(xiàn)(2，0)，直線PF的方程為y2(x2)，與y28x聯(lián)立可得x3，(由于Q的橫坐標(biāo)大于2)|QF|d325，故選：C.答案：C6(2019年陜西省漢中市漢臺(tái)中學(xué)西鄉(xiāng)中學(xué)高二上學(xué)期期末)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A、B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AFB. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最大值是()A. B1C. D.解析：設(shè)|AF|a，|BF|b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab.由余弦定理得，|AB|2a2b22abcos60a2b2ab，配方得，|AB|2(ab)23ab，又ab(ab)23ab(ab)2(ab)2(ab)2得到|AB|(ab)1，即的最大值為1.故選B.答案：B7(2019年廣東省高三第一次模擬考試)已知拋物線C：y2x，M為x軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)， MA，MB為拋物線的切線， A，B分別為切點(diǎn)，則的最小值為 ()A BC D解析：設(shè)切線MA的方程為xtym，代入拋物線方程得y2tym0，由直線與拋物線相切得t24m0, y>0時(shí)y，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，xA，則A，同理可得B，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入xtym，得m，M，故，當(dāng)t時(shí)， 的最小值為，故選A.答案：A8(2019年河南省豫南九校下學(xué)期第二次聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線y24x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A(2，3)，則|PA|PM|的最小值是()A.1 B.1C.2 D.2解析：過點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂直為N，則|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1，當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|PF|最小|AF|，所以|PA|PM|的最小值是1.故選B.答案：B9(2019年廣西南寧市高二下學(xué)期期中)拋物線y22px與直線axy40交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2)該拋物線的焦點(diǎn)為F，則|FA|FB|()A7 B3C6 D5解析：將點(diǎn)A(1，2)的坐標(biāo)代入拋物線y22px與直線axy40，得ap2，所以得拋物線y24x與直線2xy40，由得或所以得B(4，4)，又拋物線的準(zhǔn)線是x1，再結(jié)合拋物線的定義得|FA|FB|1(1)4(1)7，故選A.答案：A10(2019年廣西河池市高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期第二次月考)已知拋物線x22py和y21的公切線PQ (P是PQ與拋物線的切點(diǎn)，未必是PQ與雙曲線的切點(diǎn))，與拋物線的準(zhǔn)線交于Q，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|PQ|PF|，則拋物線的方程是()圖2Ax24y Bx22yCx26y Dx22y解析：如圖3過P作PE拋物線的準(zhǔn)線于E，根據(jù)拋物線的定義可知，PEPF圖3|PQ|PF|，在RtPQE中，sinPQE，tanPQE，即直線PQ的斜率為，故設(shè)PQ的方程為：yxm(m0)由消去y得3x24mx2m220.則18m2240，解得m，即PQ：yx由得x22px2p0，28p28p0，得p.則拋物線的方程是x22y.故選：B.答案：B11(2019年東北三省三校(哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))高三第一次模擬考試)已知拋物線C：y22x，直線l：yxb與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與x軸相切，則b的值是()A BC D解析：由題意，可設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得x2(b2)xb20，則x1x24(b2)，x1x24b2，y1y24，由|AB|，即2，解得b.故選C.答案：C圖412(2019年四川省德陽市高三二診考試)如圖4，過拋物線y24x的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l，l與拋物線及其準(zhǔn)線從上到下依次交于A、B、C點(diǎn)，令1，2，則當(dāng)時(shí)，12的值為()A3 B4C5 D6解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2) ，則由過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)可得|AB|x1x22，x1x2. 又x1x21 ，可得x13，x2，圖5分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，則13，同理可得22，125故選C.答案：C二、填空題13(2019年陜西省漢中市漢臺(tái)中學(xué)西鄉(xiāng)中學(xué)高二上學(xué)期期末)若拋物線y22px(p>0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是_解析：由題得68，p4，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p4.故填4.答案：414(2019年四川省外國(guó)語學(xué)校高二下學(xué)期入學(xué)考試)已知點(diǎn)A是拋物線yx2的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為該拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足|PF|m|PA|，則m的最小值為_解析： 解法1：F(0，1)，A(0，1)，設(shè)P(x，y)，由|PF|m|PA|得m，m的最小值為.解法2：設(shè)直線PA的傾斜角為，則sinm，當(dāng)m取得最小值時(shí)， sin最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切設(shè)直線的方程為ykx1，代入拋物線方程，化簡(jiǎn)得x24kx40，16k2160，k1， 故m的最小值為.答案：15(2019年甘肅省高三第一次高考診斷性考試)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過準(zhǔn)線上一點(diǎn)N作NF的垂線交y軸于點(diǎn)M，若拋物線C上存在點(diǎn)E，滿足2，則MNF的面積為_解析：由2可得E為MF的中點(diǎn)，準(zhǔn)線方程x1，焦點(diǎn)F(1，0)，不妨設(shè)點(diǎn)N在第三象限，因?yàn)镸NF為直角，所以|NE|MF|EF|，由拋物線的定義得NEx軸，則可求得E，M(0，2)，N(1，)，即|NF|，|MN|，所以SMNF.故答案為：.答案：16(2019年河北省唐山一中高二下學(xué)期期中考試)如圖6，拋物線C1：y22x和圓C2：y2，直線l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)，依次交C1，C2于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為_圖6解析：拋物線C1：y22x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)F，設(shè)直線l的方程為yk，聯(lián)立得k2x2(k22)x0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|AF|BFx1x1，同理|CD|x2，|cos，x1x2.答案：三、解答題17(2019年廣西桂林市高二上學(xué)期期末考試)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l：yk(x2)1.(1)若拋物線C和直線l沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍；(2)若k<0，且拋物線C和直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)M時(shí)，求|MF|的值解：(1)聯(lián)立方程整理得ky24y4(2k1)0，由拋物線C和直線l沒有公共點(diǎn)，則<0，即16(2k2k1)<0，解得k<1或k>.(2)當(dāng)拋物線C和直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，記公共點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0)，由0，即16(2k2k1)0，解得k1或k，因?yàn)閗<0，故k1，將yx1代入y24x得x22x10，解得x01，由拋物線的定義知：|MF|x0112.18(2019年貴州省貴陽市普通高中高三摸底考試)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，求證：直線BD恒過定點(diǎn)并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)F的坐標(biāo)為(1，0)，設(shè)l的方程為yk(x1)代入拋物線y24x得k2x2(2k24)xk20，由題意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由拋物線的定義知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直線l的方程為y(x1)(2)直線BD的斜率為kBD，直線BD的方程為yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y24x，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(因?yàn)閥1，y2異號(hào))，BD的方程為4(x1)(y1y2)y0，恒過(1，0)19(2019年陜西省西安市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知拋物線C：y22px(p>0)，直線l交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)當(dāng)直線l過點(diǎn)M(p，0)時(shí)，證明y1y2為定值(2)當(dāng)y1y2p時(shí)，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反之，請(qǐng)說明理由(3)記N(p，0)，如果直線l過點(diǎn)M(p，0)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，線段PN的中點(diǎn)為Q.問是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)Q到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)證明：l過點(diǎn)M(p，0)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知其斜率一定存在，設(shè)l：yk(xp)，其中k0(若k0時(shí)不合題意)，由得ky22py2p2k0，y1y22p2.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：ykxb，其中k0(若k0時(shí)不合題意)由得ky22py2pb0，y1y2p，從而b.假設(shè)直線l過定點(diǎn)(x0，y0)，則y0kx0b，從而y0kx0，得ky00，即即過定點(diǎn).當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：xx0，代入y22px得y22px0，y，y1y2()2px0p，解得x0，即l：x，也過.綜上所述，當(dāng)y1y2p時(shí)，直線l過定點(diǎn).(3)依題意直線l的斜率存在且不為零由(1)得，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP(y1y2)，代入l：yk(xp)得xpp，即P.設(shè)Q(x，y)，則消k得y2x，由拋物線的定義知，存在直線x，點(diǎn)，點(diǎn)Q到它們的距離相等