課時(shí)作業(yè)48雙曲線一、選擇題1(2019年福建省寧德市高三階段性測試)雙曲線y21的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(，0) B(2，0)C(，0) D(1，0)答案：A2(2019年云南省曲靖市第一中學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)有一類雙曲線E和橢圓C：x22y21有相同的焦點(diǎn)，在其中有一雙曲線E1且過點(diǎn)P，則在E中任取一條雙曲線其離心率不大于E1的概率為()A. B.C. D.解析：由橢圓方程，易知雙曲線E1中，c1，b21a2，又1，解得a，雙曲線E1的離心率為e12，由題意，雙曲線E的離心率為e，則1<2，即<a1，又0<a<c1，故所求概率為P，所以正確答案為A.答案：A3(2019年廣東省汕頭市高三高考模擬)雙曲線y21的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A2 B.C1 D3答案：C4(2019年山東省煙臺市高三下學(xué)期高考診斷性測試)若雙曲線1(a>0，b>0)與直線yx有交點(diǎn)，則其離心率的取值范圍是()A(1，2) B(1，2C(2，) D2，)解析：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，一條漸近線方程為yx，只需這條漸近線比直線yx的斜率大，即>，e >2，選C.答案：C5(2019年遼寧省朝陽市高三模擬)設(shè)中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線的焦距為12 ，圓(x6)2y220 與該雙曲線的漸近線相切，點(diǎn)P在雙曲線上，若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離是9，則點(diǎn)P到F2的距離是()A17或1 B13或5C13 D17解析：圓(x6)2y220恰為雙曲線右焦點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線右焦點(diǎn)到漸近線距離為b，所以br2，因此a4，|PF2|PF1|2a，|PF2|17或1，又因?yàn)閨PF2|ca2，|PF2|17.選D.答案：D6(2019年陜西省黃陵中學(xué)高新部高二下學(xué)期開學(xué)考試)設(shè)點(diǎn)P為雙曲線1(a>0，b>0)上一點(diǎn)， F1，F(xiàn)2分別是左右焦點(diǎn)， I是PF1F2的內(nèi)心，若IPF1，IPF2，IF1F2的面積S1，S2，S3滿足2(S1S2)S3，則雙曲線的離心率為()A2 B.C4 D.解析：如圖1，設(shè)圓I與PF1F2的三邊F1F2、PF1、PF2分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接IE、IF、IG，圖1則IEF1F2，IFPF1，IGPF2，它們分別是IF1F2，IPF1，IPF2的高，S1|PF1|IF|PF1|r，S2|PF2|IG|PF2|r，S3|F1F2|IE|F1F2|r，其中r是IF1F2的內(nèi)切圓的半徑2(S1S2)S3，|PF1|r|PF2|r|F1F2|r，兩邊約去r得：|PF1|PF2|F1F2|，根據(jù)雙曲線定義，得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，2ac離心率為e2.故選A.答案：A7(2019年四川省外國語學(xué)校高二下學(xué)期入學(xué)考試)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，3 B(1，C，3 D3，)解析：|PF2|4a8a.當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|2a時(shí)取得最小值，此時(shí)|PF1|4a.易知|PF2|ca，即2aca，解得e3.又因?yàn)殡p曲線離心率e>1.故選A.答案：A8(2019年四川省外國語學(xué)校高二下學(xué)期入學(xué)考試)已知雙曲線x2y21的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，動(dòng)直線l：ykxm與圓x2y21相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x2x1的最小值為()A2 B2C4 D3解析：l與圓相切， 1， m21k2.由得(1k2)x22mkx(m21)0，1k20，4m2k24(1k2)(m21)4(m21k2)8>0，x1x2<0，k2<1，1<k<1，故k的取值范圍為(1，1)由于x1x2，x2x1，0k2<1, 當(dāng)k20時(shí)，x2x1取最小值2.答案：A9已知雙曲線y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A. B.C1 D.解析：不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則|PF1|PF2|2，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|，|PF2|，而|F1F2|4，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1PF2，所以SPF1F2|PF1|PF2|1.答案：C10(2019年陜西省咸陽市高三模擬考試)已知雙曲線C的方程為1，則下列說法正確的是()A焦點(diǎn)在x軸上B虛軸長為4C漸近線方程為2x3y0D離心率為解析：利用雙曲線的幾何性質(zhì)逐一判斷得解對于選項(xiàng)A，由于雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；對于選項(xiàng)B，虛軸長為236，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；對于選項(xiàng)C，由于雙曲線的漸近線方程為yx，所以選項(xiàng)C是正確的；對于選項(xiàng)D，由于雙曲線的離心率為，所以選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的故答案為C.答案：C11(2019年浙江省溫州市十五校聯(lián)合體高二下學(xué)期期中)設(shè)A、B分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線上不同于A、B的一點(diǎn)，直線AP、BP的斜率分別為m、n，則當(dāng)取最小值時(shí)，雙曲線的離心率為()A. B.C. D.解析：先根據(jù)點(diǎn)的關(guān)系確定mn，再根據(jù)基本不等式確定最小值，最后根據(jù)最小值取法確定雙曲線的離心率設(shè)P(x1，y1)，則 mn，因此 2 4， 當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取等號，此時(shí)ca，e 選D.答案：D12已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，線段PF1的垂直平分線過F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為()A6 B3C. D.解析：設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)在x軸上，可得點(diǎn)P在雙曲線的右支上令橢圓的長半軸長為a，雙曲線的半實(shí)軸長為a，半焦距為c，則2a2a4c，4246，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時(shí)等號成立選A.答案：A二、填空題13(2019年河北省阜城中學(xué)高二上學(xué)期期末)橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a_.解析：橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，所以：解得a3.故答案為：3.答案：314(2019年四川省外國語學(xué)校高二下學(xué)期入學(xué)考試)過雙曲線x2y24的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105的直線，交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，則|FP|FQ|的值為_解析：F(2，0)，ktan105tan(6045)(2)l：y(2)(x2)代入x2y24得： (64)x24(74)x60320.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2，x1x2.又|FP|x12|，|FQ|x22|，|FP|FQ|(1k2)|x1x22(x1x2)8|(84).答案：15(2019年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)已知P是雙曲線1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿足(>0)，0，若|3.則以O(shè)為圓心，ON為半徑的圓的面積為_解析：由，知PN是MPF2的角平分線，又0，故延長F2N交PM于K，則PN是PF2K的角平分線，所以PF2K是等腰三角形，|PK|PF2|3，因?yàn)閨3，故|11，所以|14，注意到N還是F2K的中點(diǎn)，所以O(shè)N是F1F2K的中位線，|7，所以以O(shè)為圓心，ON為半徑的圓的面積為49.答案：4916(2019年河南省豫南九校下學(xué)期高二第二次聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_解析：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，又PF1F2為直角三角形，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，4c22|PF1|PF2|4a2，又PF1F2的面積為9，|PF1|PF2|2918，4c22184a2，b2c2a29，b3.答案：3三、解答題17(2019年福建省莆田市第二十四中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考)已知A(5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|，|，8成等差數(shù)列(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)對于x軸上的點(diǎn)M，若滿足|2，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對應(yīng)的“比例點(diǎn)”，問：對任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”？解：(1)由已知得|8，P點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a4，b3，c5，P點(diǎn)的軌跡方程為1(x4)(2)設(shè)P(x0，y0)(x04)，M(m，0)1，y9.又(5x0，y0)，(5x0，y0)，則| x16又2|2(x0m)2(y0)2x2mx0m29，由|2得m22mx070，(*)4x2836>0，方程(*)恒有兩個(gè)不等實(shí)根對任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)2個(gè)“比例點(diǎn)”18(2019學(xué)年四川省雅安中學(xué)高二上學(xué)期期中)F1、F2分別為等軸雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，且F2到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P是雙曲線C上一點(diǎn)，若0，求PF1F2的面積解：(1)設(shè)等軸雙曲線C：1，F(xiàn)2到雙曲線C的一條漸近線的距離為b1a，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y21.(2)P是雙曲線C上一點(diǎn)，若0，即PF1PF2|PF1|PF2|2，且|PF1|2|PF2|2(2c)28.解得(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|42|PF1|PF2|8，解得|PF1|PF2|2SPF1F2|PF1|PF2|1.19(2019年江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校高三模擬)某市為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路MNP如圖2所示，已知A，B是東西方向主干道邊兩個(gè)景點(diǎn)，且它們距離城市中心O的距離均為8 km，C是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為4 km，線段MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16 km，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6 km，線段NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等以O(shè)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.圖2(1)求道路MNP的曲線方程；(2)現(xiàn)要在道路MNP上建一站點(diǎn)Q，使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置(即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo))?解：(1)因?yàn)榫€路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16 km，所以線路MN段所在曲線是以點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右上支，則其方程為x2y264(8x10，0y6)因?yàn)榫€路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，所以線路NP段所在曲線是以O(shè)為圓心、以O(shè)N長為半徑的圓，由線路MN段所在曲線方程可求得N(8，0)，則其方程為x2y264(y0)，綜上得線路示意圖所在曲線的方程為：MN段：x2y264(8x10，0y6)，NP段：x2y264(8x8，y0)(2)當(dāng)點(diǎn)Q在MN段上時(shí)，設(shè)Q(x0，y0)，又C(0，4)，則|CQ|，由(1)得xy64，即|CQ|，故當(dāng)y02時(shí)，|CQ|min6 km.當(dāng)點(diǎn)Q在NP段上時(shí)，設(shè)Q(x1，y1)，又C(0，4)，則|CQ|，由(1)得xy64，即|CQ|，故當(dāng)y10時(shí)，|CQ|min4 km.因?yàn)?<4，所以當(dāng)Q的坐標(biāo)為(2，2)時(shí)，可使Q到景點(diǎn)C的距離最近