1,矩陣特征值與特征向量,一填空題2,3,4,5,8,9，10二選擇題6，7三計算2,4,8四證明2，4,2,一、填空,2.,因為,是正交矩陣,所以,又因為,所以,故,3.,因為,所以,4.,因為,的特征值是,的特征值的倒數(shù).,3,5.,因為設(shè),由于對稱矩陣,的,屬于不同特征值的特征向量是正交的,所以,解齊次方程組,得一非零解,4,8.,因為,則,與,有相同的特征值,已知,的全部,特征值為,故,的全部特征值為,從而,的全部特征值為,存在可逆矩陣,使得,即,5,所以,6,9.,因為設(shè),為,的非零解,即,所以,是,的一個特征值.,10.,的三個特征值分別為,因為設(shè),為,的特征值,即,且,從而,即,又因為,的特征值為,所以,故,的特征值分別為,7,二選擇題,6.,8,7.,又因為,所以,的特征值為,9,三、計算,2.解:,(1)因為,所以,的全部特征值為,10,求屬于特征值,特征向量:,因為,取,得特征向量,故屬于特征值,的特征向量為,其中,為任意非零常數(shù).,11,求屬于特征值,(二重根)的特征向量:,因為,取,得,故屬于特征值,的特征向量為,其中,為任意不全為零的常數(shù).,取,得,12,(2)用施密特正交化方法將,正交化得:,再將,單位化得:,13,令,則有,14,4.解:,因為,所以,是,的一個特征值.,而,又因為,所以,故,有一個特征值,8.,解:因為,均不可逆,所以,故,的全部特征值為,設(shè),為,的屬于任一特征值,的特征向量,則,從而,15,所以,是,的特征值,故,的全部特征值為,從而,又因為,所以,是,的特征值,故,的全部特征值為,所以,16,四、證明題,2.,證明:因為,對任意非零向量,都有,所以,的全部特征值為零.,從而,的特征值也為零.若不然,設(shè),有特征值,則有非零向量,使得,從而有,所以,有非零的特征值,矛盾.,4.,證明:,因為,所以,故,又因為,所以,故,從而,是,的特征值.,