第5章矩陣特征值與特征向量的計算,n階方陣A的特征值是特征方程det(A-E)=0的根.,Gerschgorin圓盤定理設(shè)矩陣A=(aij)nn,記復(fù)平面上以aii為圓心,以ri=,為半徑的n個圓盤為Ri=aiiri,i=1,2,n,A的特征向量是齊次線性方程組(A-E)x=0的非零解.,則(1)A的任一特征值至少位于其中一個圓盤內(nèi);(2)在m個圓盤相互連通(而與其余n-m個圓盤互不連通)的區(qū)域內(nèi),恰有A的m個特征值(重特征值按重數(shù)記).,試討論A的特征值的分布.,解由A確定的3個圓盤分別為,所以315-2<22-632n,這時,(5.1)式可寫成,若a10,則對充分大的k有,因而有,或取,而特征向量x1v(k).,乘冪法的收斂速度取決于|2/1|的大小.,求矩陣A的按模最大的特征值,解取v(0)=(1,0)T,計算v(k)=Av(k-1),結(jié)果如下,例2,可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.,對非零向量v,用max(v)表示v的按絕對值最大的分量,稱向量u=v/max(v)為向量v的規(guī)范化向量.,例如,設(shè)向量v=(2,1,-5,-1)T,則max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可見規(guī)范化向量u總滿足u=1.,乘冪法的規(guī)范化計算公式為:,任取初始向量u(0)=v(0)0,計算,由于,所以,又由,其收斂速度由比值|2/1|來確定,其值越小收斂越快.,所以,因此,當(dāng)|k-k-1|r+1n,這時,(5.1)式可寫成,若a1,a2,ar不全為零,則對充分大的k有,由于a1x1+a2x2+arxr是對應(yīng)1的特征向量,若仍記為x1,則有:v(k)1kx1,故前面的結(jié)論仍然成立.,3.設(shè)1=-2,且|1=|2|>3n,這時,(5.1)式可寫成,則對充分大的k有,v(2i)12i(a1x1+a2x2),v(2i+1)12i+1(a1x1-a2x2),于是有,x1v(k+1)+1v(k),x2v(k+1)-1v(k),對于規(guī)范化的冪法，由于,u(k+2)=v(k+2)/k+2=Au(k+1)/k+2,=Av(k+1)/k+1k+2=A2u(k)/k+1k+2,于是有,x1k+1u(k+1)+1u(k),x2k+1u(k+1)-1u(k),的按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量。,例4用乘冪法求矩陣,解取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,2)T,計算可得,1.2加速技術(shù),由于,所以,乘冪法收斂速度取決于比值|2/1|,當(dāng)|2/1|1時,收斂是很慢的.,1.Aitken加速方法,由(5.2)式可知,x2=13u(13)-1u(12)=(0,0.631924,0.631924)T.,x1=13u(13)+1u(12)=(4.315961,8.631924,8.631924)T,實際上,A的特征值為1=4,2=-4,3=1.,可見,序列k線性收斂于1.,會達到加速收斂的目的.,構(gòu)造Aitken序列,如把Aitken加速方法用于例3,則有,2.原點位移法,作矩陣B=A-pE,則B的特征值為mi=i-p(i=1,2,n),而且對應(yīng)的特征向量相同.,則對B應(yīng)用乘冪法可達到加速收斂的目的。,解由于A的特征值為1=6,2=3,3=2,故取p=2.5,則B的特征值為m1=3.5,m2=0.5,m3=-0.5,則,如果選取p,使m1仍然是B的按模最大特征值，且滿足,取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,1)T,由規(guī)范化計算公式:,例5,用原點位移法求例3中矩陣A的按模最大的特征值和特征向量.,計算可得,這是因為|2/1|=1/2,而|m2/m1|=1/7,故對B應(yīng)用乘冪法遠比對A應(yīng)用乘冪法收斂的快.,反冪法是求矩陣按模最小的特征值和相應(yīng)特征向量的方法.,取,16+2.5=6.000102,x1u(6)=(1,0.714287,0.249995)T,1.3反冪法,設(shè)A是n階非奇異矩陣,其特征值為,|1|2|n-1|>|n|>0,對應(yīng)的特征向量為x1,x2,xn,則有A-1的特征值為,對應(yīng)的特征向量為xn,xn-1,x1.,要想求n和xn只需對A-1應(yīng)用乘冪法,任取初始向量u(0)=v(0)0,作,也可將上式改寫成,式(5.3)稱為反冪法.顯然有,每一步求v(k)需要求解線性方程組,可采用LU分解法求解.,反冪法還可結(jié)合原點位移法應(yīng)用.設(shè)已求得矩陣A的特征值i的某個近似值,對B應(yīng)用反冪法可求出精度更高的i和xi.,設(shè)已求得例3中矩陣A的特征值的近似值16.003,和相應(yīng)的特征向量x1(1,0.714405,-0.249579)T,試用帶原點位移的反冪法求1和x1的更精確的值.,作原點位移,令B=A-E,則B的特征值為,例6,解取p=6.003,作矩陣B=A-6.003E,則,取初始向量u(0)=(1,0.714405,-0.249579)T,對B用反冪法計算可得:,可見收斂速度非?？?這是因為B的3個特征值為1=-4.003,2=-3.003,3=-0.003,|3/2|0.000999很小.,Jacobi方法是求實對稱矩陣全部特征值和特征向量的一種矩陣變換方法。,2Jacobi方法,實對稱矩陣A具有下列性質(zhì)：,（1）A的特征值均為實數(shù)；,（2）存在正交矩陣R，使RTAR=diag(1,2,n),而,R的第i個列向量恰為i的特征向量;,直接求正交矩陣R是困難的.Jacobi提出用一系列所謂平面旋轉(zhuǎn)矩陣逐次將A約化為對角矩陣.,平面解析幾何中的平面坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換,表示平面上坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角的變換.,（3）若記A1=RTAR,則A1仍為對稱矩陣.,2.1平面旋轉(zhuǎn)矩陣,在三維空間直角坐標(biāo)系中,ox1y1平面繞著oz1軸旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)變換為,Rpq()具有下列性質(zhì):,一般地,在n維向量空間Rn中,沿著xpyq平面旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為,稱Rpq()為平面旋轉(zhuǎn)矩陣.,設(shè)實對稱矩陣A=(aij)nn,記B=RpqT()ARpq()=(bij)nn則它們元素之間有如下關(guān)系:,（1）Rpq()為正交矩陣,即Rpq-1()=RpqT();,（2）如果A為對稱矩陣,則RpqT()ARpq()也為對稱矩陣,且與A有相同的特征值.,（3）RpqT()A僅改變A的第p行與第q行元素,ARpq()僅改變A的第p列與第q列元素.,所以有,從而,有(5.5)、(5.6)式可得,如果apq0,適當(dāng)選取角,使,只需角滿足,從而,如果取|apq|=,若記,于是,則上式可記為,由式(5.7),令t=tan,則t滿足方程,t2+2t-1=0,經(jīng)典Jacobi算法是對A(0)=A施行一系列平面旋轉(zhuǎn)變換:,為保證|/4,取絕對值較小的根,有,于是,2.2Jacobi方法,A(1)=R1TA(0)R1,A(2)=R2TA(1)R2,A(k)=RkTA(k-1)Rk,每一步變換選擇A(k-1)=(aij(k-1)nn的非對角線元素中絕對值最大者apq(k-1)(稱為主元素)作為殲滅對象,構(gòu)造平面旋,是給定的精度要求,則A的特征值可取為iaii(k),i=1,2,n.,轉(zhuǎn)矩陣Rk=Rpq(),經(jīng)變換得到A(k)=(aij(k)nn,且apq(k)=0,這時由(5.8)式有,從而,由此遞推得到,當(dāng)k充分大時,或者(A(k)<,或者,另外,由于A(k)=RkTA(k-1)Rk=RkTRk-1TR1TAR1R2Rk=RTAR,的全部特征值.,解記A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有,因此,R=R1R2Rk的列向量xj(j=1,2,n)為A的近似特征向量.,例7用Jacobi方法計算對稱矩陣,從而有,所以,再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得,以下依次有,從而A的特征值可取為12.125825,28.388761,34.485401,為了減少搜索非對角線絕對值最大元素時間,對經(jīng)典的Jacobi方法可作進一步改進.,1.循環(huán)Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的順序,對每個(p,q)的非零元素apq作Jacobi變換,使其零化,逐次重復(fù)掃描下去,直至(A)<為止.,2.過關(guān)Jacobi方法:取單調(diào)下降收斂于零的正數(shù)序列k,先以1為關(guān)卡值,依照1中順序,將絕對值超過1的非對角元素零化,待所有非對角元素絕對值均不超過1時,再換下一個關(guān)卡值2,直到關(guān)卡值小于給定的精度.,練習(xí)題,第131頁習(xí)題55-1,5-5,5-7,5-9(2),5-10,Jacobi方法具有方法簡單緊湊,精度高,收斂較快等優(yōu)點,是計算對稱矩陣全部特征值和相應(yīng)特征向量的有效方法,但計算量較大,一般適用于階數(shù)不高的矩陣.,課間休息,