計算方法課件：,由何滿喜、尚緒鳳制作,計算方法,中國計量學院理學院數(shù)學系,第八章,矩陣特征值特征向量的計算,8.1引言,8.4反冪法,8.3冪法的加速與降價,8.2冪法,在本章，你將學到,8.1引言,8.2冪法,8.3冪法的加速與降價,8.4反冪法,8.5計算對稱矩陣特征值和特征向量的對分法,8.6雅可比方法,8.5計算對稱矩陣特征值和特征向量的對分法,8.6雅可比方法,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,8.1引言,定義1設(shè)A是n階實對稱矩陣，,對于任一非零向量,，數(shù),稱為向量x的瑞利商，其中,是向量x的內(nèi)積。,(8.1),(8.2),定理1設(shè)A是n階實對稱矩陣，其特征值為,是對應(yīng)的正交特征向量,即,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,則,其中,是向量x的瑞利商.,證設(shè),是對應(yīng)于特征值,的正交特征向量，,是任一向量,則,即,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,和,所以由,可得,和,由此可得,由于當向量x分別取,和,時,就有,于是有,第八章,定理3稱為蓋爾圓盤定理,(8.3)稱為蓋爾圓盤.,矩陣特征值與特征向量的計算,定理3設(shè),則A的每一個特征值必屬于下面某個圓盤之中：,(8.3),定理2設(shè),是矩陣,的特征值，則有,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,解先計算蓋爾圓盤:,即矩陣A的特征值,都滿足,。,例1設(shè)有矩陣,試估計矩陣A的特征值,的特征值的范圍.,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,1冪法,8.2冪法,冪法的基本思想是：,若要求某個n階矩陣A的特征值和特征向量，,先任取一個初始向量,，構(gòu)造如下向量序列：,式(8.5)就稱為冪法的迭代公式，向量序列,稱為冪法的迭代向量或迭代序列。,當k增大時，分析這一序列的極限，即可求出按模最大的特征值和對應(yīng)的特征向量。,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,例2設(shè)有矩陣,試用冪法來計算按模最大的特征值。,解矩陣A的兩個特征值為,用公式(8.5)產(chǎn)生向量,計算結(jié)果列于表8.1.計算出向量序列,的同時還計算相鄰兩個向量相應(yīng)分量之比,和,(見書表8.1)，由表8.1得：,用冪法,取初始向量,序列,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,從上面計算出的相應(yīng)分量之比看出，兩個相鄰向量,1.179339,并且這個值恰好就是矩陣A的按模最大,的特征值。,相應(yīng)分量之比值，隨k的增大而趨向于一個固定值,問題：為什么這個比例值就是矩陣按模最大的特征值？,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,(8.9),(8.10),設(shè)矩陣A的n個特征值按模的大小排列如下,其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量組設(shè)為,假定這些向量已按其長度為1或其最大模元素為1進行了歸一化。,(8.6),取,利用迭代公式(8.5)來構(gòu)造迭代序列，則有,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,其中,若,由于,故k充分大時,是可以忽略的無窮小量，即當,(8.12),(1)如果矩陣A的按模最大的特征值滿足,即按模最大的特征值,是單實根,則(8.10)式可寫成,(8.11),時有,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,(8.13),這說明,與特征向量,相差一個常數(shù)因子。,即使,由于計算過程的舍入誤差,必將引入在,方向上的微小分量，這一分量隨著迭代過程,相同。,的進展而逐漸成為主導(dǎo),其收斂情況最終也將與,因此當,時由(8.13)得,(8.14),這說明當矩陣A的n個特征值滿足(8.11)時，,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,矩陣A的按模最大的特征值,是向量,與,的比例，即有,(8.15),從以上分析看出,冪法的收斂速率雖然與初始向量,的選擇有關(guān),但主要還是依賴于比值,比值愈,收斂愈快,當比值接近于1時,收斂比較慢.,的大小.,（2）如果矩陣A的按模最大的特征值滿足,(8.16),第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,即按模最大的特征值,是2重實根或共軛復(fù)數(shù)根,此時（8.10）式可寫成,(8.17),其中,由于,，故k充分大時,無窮小量，即當,時有,是可以忽略的,第八章,(8.18),(8.19),(8.20),矩陣特征值與特征向量的計算,于是可得,(8.21),記,(8.22),則(8.21)可寫成,(8.23),所以A的特征值滿足(8.16)時，用公式(8.5)來構(gòu)造,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,若(8.23)式成立,則此時矩陣A的按模最大的特征值,由公式,(8.24),得到。,又利用(8.18)(8.20)可得,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,(8.25),因此,所以A的特征值,對應(yīng)的特征,若,則,對應(yīng)的特征向量是,時矩陣A的特征值,向量是,同理可得,時A的特征值,對應(yīng)的特征向,若,則,所以A的特征值,對應(yīng)的特征向量是,(8.26),因此,量是,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,例3用冪法求矩陣,按模最大的特征值與對應(yīng)的特征向量。,解：用公式(8.5)可寫出迭代公式,取初始向量,得到表8.2的結(jié)果。,，用以上迭代公式計算,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,表中,，即相鄰兩個向量,分量的比例，從表中計算結(jié)果可看出,，所以有,對應(yīng)的特征向量可取為,第八章,2改進的冪法,矩陣特征值與特征向量的計算,在實際計算時為了避免計算過程中出現(xiàn)絕對值過大或過小的數(shù)參加運算，通常在每步迭代時，,“歸一化”，即用,的分量,來除,歸一化的向量,，即實際計算時所用公式為,對冪法做這樣的“歸一化”處理,就稱為改進的冪法.,（8.27）,將向量序列,的絕對值最大,的各個分量，從而得出,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,如果按模最大的特征值,滿足(8.11),那么當k,充分大時有,（8.28）,即向量序列,的按模最大的分量將收斂于按模,的符號可根據(jù)向量序列,的前后兩個向量的分量符號來確定，當前后兩個,此時歸一化后的向量,就是,對應(yīng)的特征向量.,最大的特征值,向量的分量符號相同時,的符號取正,否則取負.,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,例4用歸一化的冪法求矩陣,按模最大的特征值與對應(yīng)的特征向量。,解取初始向量,計算得到表8.3的結(jié)果.從表中計算結(jié)果可看出,且向量序列前后兩個向量的符號相同,所以有,對應(yīng)的特征向量取為,用以上迭代公式(8.27),第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,第八章,1冪法的加速,冪法的收斂速度依賴于按模最大特征值和按模次大特征值之比,當這個比值很小時則只需迭代較少的幾次就可求出按模最大特征值的一個很好的近似值.,矩陣特征值與特征向量的計算,8.3冪法的加速與降價,應(yīng)該考慮對矩陣進行適當?shù)淖儞Q,使得變換后的這個矩陣有一個按模較大的特征值,并且變換后的新矩陣的按模最大特征值和按模次大特征值之比要比,原矩陣的按模最大特征值和按模次大特征值之比更大.這樣對變換后的新矩陣利用以上方法求其,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,(8.29),先取一個常數(shù),對A做平移變換：,即用,來代替A進行迭代,因為A與,之間除了,與,有關(guān)系,且相應(yīng)的特征向量,不改變,因此有,按模最大的特征值,則其收斂速度將得到加快.,對角元素以外,其他元素都相同,它們之間的特征值,為了加速迭代過程的收斂速度,適當選取,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,所以用此方法選取,有一定的困難.,再在計算機上作些模擬計算,考察使所取,對迭代過程是否有明顯加速,然后再進行計算.,比,更小，如對于對稱正定矩陣可以,這時就有,這就是冪法加速的原點平移法.,因特征值的分布情況預(yù)先不知道,對矩陣的特征值分布大致有個了解后,粗略估計一個,常用方法是可以用蓋爾圓盤定理,使,選取,第八章,2冪法的降階,矩陣特征值與特征向量的計算,基本思想：,對原矩陣A進行變換，使變換后得到的矩陣,其按模最大的特征值是原矩陣A的按模次大的,特征值，這時對,又可以用冪法進行計算，,大的特征值,求得其按模最大的特征值，從而求得A的按模次,如果矩陣A的特征值滿足,(8.30),那么在已經(jīng)求出,和,以后，如何進一步計算,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,根據(jù)對稱矩陣的性質(zhì)有,所以,以,代替,進行迭代即可求得,和,這就是冪法的降階法。,(8.32),假定已求得矩陣A的按模最大特征值,和相應(yīng)的,現(xiàn)構(gòu)造,（8.31）,特征向量，并令,及,呢？,第八章,矩陣特征值與特征向量的計算,注意：用這種方法求出的,和,，精度已較,和,差，若在繼續(xù)使用此方法，后面求得的,和,精度將更差。,因此，實際上只能用少數(shù)幾次，用來求矩陣前幾個特征值和特征向量。,