電大資料一、單項選擇題1.若 ，則 （ ）1012=a2乘積矩陣 中元素 （10 ）1534=23c設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列運算關(guān)系正確的是AB,n）()11設(shè) 均為 階方陣， 且 ，則下列等式正確,k0的是（D）D. An()下列結(jié)論正確的是（A. 若 是正交矩陣則 也是正交矩陣）1矩陣 的伴隨矩陣為（C. ）1325532方陣 可逆的充分必要條件是（ ）AA0設(shè) 均為 階可逆矩陣，則 （DBC,n()CB1）D. ()11設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是（A,）A. ()BB22用消元法得 的解 為（C. xx132410x123）,2線性方程組 （有唯一解） xx12364向量組 的秩為（3）0120,設(shè)向量組為 ，則（1,0,1,04321）是極大無關(guān)組123, 與 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，A若這個方程組無解，則 D. 秩 秩()A若某個線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A） A. 可能無解 以下結(jié)論正確的是（D） D. 齊次線性方程組一定有解若向量組 線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（A）12, s可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出 A. 至少有一個向量 9設(shè) A，為 階矩陣， 既是又是的特征值， 既是nx又是的屬于 的特征向量，則結(jié)論（A）成立 是 AB 的特征值 10設(shè)，為 階矩陣，若等式（）成立，則稱和相似 BP1 為兩個事件，則（B）成立 B.,()A如果（C）成立，則事件 與 互為對立事件AC. 且 U10 張獎券中含有 3 張中獎的獎券，每人購買 1 張，則前 3 個購買者中恰有 1 人中獎的概率為（ D. ）3072.4. 對于事件 ，命題（C）是正確的B,C. 如果 對立，則 對立,某隨機試驗的成功率為 ,則在 3 次重復(fù)試驗中至少)1(p失敗 1 次的概率為（D. )1(23p6.設(shè)隨機變量 ，且Xn,，則參數(shù) 與 分別是（6, ED().,().48096n0.8）7.設(shè) 為連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)，則對任意的fx， （A） A. ab,()(xf()d8.在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（B）B. fx()sin,02其 它9.設(shè)連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 ，Xfx()Fx()則對任意的區(qū)間 ，則 (,)abbPD. ） fxab)d10.設(shè) 為隨機變量， ，當(dāng)（C）EDX(),()2時，有 C. Y(),01Y1.A 是 矩陣，B 是 矩陣，當(dāng) C 為（ B 3452）矩陣時，乘積 有意義。2A2.設(shè) A,B 是 n 階方陣，則下列命題正確的是（ A ）A3設(shè) 為 階矩陣，則下列等式成立的是,（A ）B（ D ）154.77543電大資料5若 是對稱矩陣，則等式（B. ）成AA立 6方程組 相容的充分必要條件是( 31221axB )，其中 ， 0321a0i7. n 元線性方程組 AX=b 有接的充分必要條件是（ A r(A)=r(A b) ）128. ,4A若 線 性 方 程 組 的 增 廣 矩 陣 則 當(dāng)=( D )時有無窮多解。129. 若（ A 秩（A）=n ）成立時，n 元線性方程組 AX=0 有唯一解10.向量組 的秩是（ B 3 ）10237， ， ，11. 向量組 , , ,1（ ） 21（ ） 320（ ）的極大線性無關(guān)組是（ A 4,23（ ） 4， ，） 12下列命題中不正確的是（ DA 的特征向量的線性組合仍為 A 的特征向量 ）13若事件 與 互斥，則下列等式中正確的是B（A ）14設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本，nx,21 )1,5(N則檢驗假設(shè) 采用統(tǒng)計量 U =（C 5:0Hnx/）15. 若條件（C. 且 ）成AB立，則隨機事件 ， 互為對立事件 16. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和是 4”的概率（ C ）1217. 袋中有 3 個紅球 2 個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩次都是紅球的概率是（ D ）9518對來自正態(tài)總體 （ 未知）XN(,)2的一個樣本 ，記 ，則下列123, 31ii各式中（ C. ）不是統(tǒng)計量 12)(ii19. 對單個正態(tài)總體 的假設(shè)檢驗問題中，2(,)NT 檢驗法解決的問題是（ B 未知方差，檢驗均值）設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 均xn12, (,)2,2未知）的樣本，則（ ）是統(tǒng)計量x1設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）123, N,2,2的樣本，則統(tǒng)計量（D）不是 的無偏估計D. x123 是關(guān)于 的一個一次多項式，則該多項式一次項的系數(shù)是 2 若 為 矩陣， 為 矩陣，切乘積 有意義，A34B25ACB則 為 5×4 矩陣C4.二階矩陣 101設(shè) ，則AB2432034, ()AB8156設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 , 3272 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則AB,AB1,3 312()若 為正交矩陣，則 0 a0a矩陣 的秩為 2 。34設(shè) 是兩個可逆矩陣，則A12,O212A當(dāng) 時，齊次線性方程組 有非零x120解向量組 線性 相關(guān) 120,向量組 的秩是 32310,設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)行列3xx式 ，則這個方程組有 無窮多 解，且系數(shù)123電大資料列向量 是線性 相關(guān) 的123,向量組 的極大線23010,性無關(guān)組是 21向量組 的秩與矩陣 的秩 , s12, s相同 設(shè)線性方程組 中有 5 個未知量，且秩 ，則AX0()A3其基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量有 個設(shè)線性方程組 有解， 是它的一個特解，且b0的基礎(chǔ)解系為 ，則 的通解為12,Xb210Xk9若 是的特征值，則 是方程 的0AI根10若矩陣滿足 ，則稱為正交矩陣A1從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 2/5.2.已知 ，則當(dāng)事件 互不相容時，PB().,().05AB,0.8 ， 0.3 AP3. 為兩個事件，且 ，則 ,()P4. 已知 ，p()(),則 15. 若事件 相互獨立，且 ，則B,ABq(,()PA()pq6. 已知 ，則當(dāng)事件 相互獨立P.,).035時， 0.65 ， 0.3 ()7.設(shè)隨機變量 ，則 的分布函數(shù)XU(1XFx()1x8.若 ，則 6 B(,.)203E()9.若 ，則 XNPX)3)(210. 稱為二維隨機變量EY的 協(xié)方差 (,)1統(tǒng)計量就是 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 2參數(shù)估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 常用的參數(shù)點估計有 矩估計法 和 最大似然估計 兩種方法3比較估計量好壞的兩個重要標(biāo)準(zhǔn)是 無偏性 ， 有效性 4設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 已知）xn12, N(,)2的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗，需選取統(tǒng)計量 H010:;:nxU/05. 假設(shè)檢驗中的顯著性水平 為事件 （u 為臨界|0值）發(fā)生的概率。1設(shè) ，則 的根是214AxA1， -1， 2，-2 2設(shè) 均為 3 階方陣， ，則B, 6,3B83()A3. 設(shè) 均為 3 階方陣， 則, 2,A=-18_.14. 設(shè) 均為 3 階方陣， 則B, 3B=_-8_.12A5設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（A ）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個解向量6設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù)和非零 n 維向量，使得 ，則稱 為 相應(yīng)于特征值XAX的特征向量 7設(shè) 互不相容，且 ，則B,PA()00P()8. 0.3.8,().5,_.B9設(shè)隨機變量 X B（n，p），則 E（X ）= np10若樣本 來自總體 ，且x,21 )1,0(N，則 nix)10(N11設(shè) 來自總體 的一n,21 2(,)個樣本，且 ，則 =ix1)Dn12若 ，則 0.35.0(,8.0)(BAP)(ABP13如果隨機變量 的期望 ，X2)E，那么 2092XE)214. 設(shè) X 為隨機變量，且 D(X)=3,則 D(3X-2)=_2715不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量16. 若 則 a=_0.3_01.25a:電大資料17. 設(shè) 是 的一個無偏估計，則_ .()E三、計算題設(shè) ，求ABC1235143541, ； ； ； ； ； ABA()BC答案： 81040673162265BA1237805)(設(shè) ，求 201,10CACB解： 14603124)(CBA已知 ，求滿足方程 中的 1,431032AXB解： 2AXB25174517238)3(1寫出 4 階行列式 0143625中元素 的代數(shù)余子式，并求其值a412,答案： 0356)(14 453061)(2442a用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣：電大資料 ； ； 12123410601解：（1） 912019120301 12039061021360121| 23132 3231291 rr rrIA9121A（2） (過程略) (3) 3514207761 101A求矩陣 的秩020131解： 0011 0101120002343 424132r rr 3)(AR1用消元法解線性方程組 xx23412346385124解： 26109378418431005176223140586 41324132 5rrA電大資料 31046521365048712913650287149 4321343 579121 rrr方程組解為 3102310434214 51 rr 324x設(shè)有線性方程組 112xyz為何值時，方程組有唯一解?或有無窮多解?解： 2 32222 )1()1(201 11032 31231 r rrA當(dāng) 且 時， ，方程組有唯一解3AR當(dāng) 時， ，方程組有無窮多解1)(判斷向量 能否由向量組 線性表出，若能，寫出一種表出方式其中123,87102350631,解：向量 能否由向量組 線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)方程組 有解321, 32xx這里 57104102376578,321A)(R方程組無解不能由向量 線性表出321,計算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關(guān) 123434789110963,電大資料解： 01823631490827131,321該向量組線性相關(guān)求齊次線性方程組 xx12341240553的一個基礎(chǔ)解系解： 30714251034074053213 423141325 rrA 0014500124503214 23134321 rrr方程組的一般解為 令 ，得基礎(chǔ)解系014352xx1310435求下列線性方程組的全部解 xx123412345135976解： 002871419561428028735116357095 42314132 5rrA方程組一般解為 00271214r 21794321xx令 ， ，這里 ， 為任意常數(shù)，得方程組通解13kx241k2電大資料 021107921792124321 kkkx試證：任一維向量 都可由向量組4321,a， ， ，0120314線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式證明： 0101201231034任一維向量可唯一表示為)()()(1001 3423124321432 aaaaaa 4343232121 )()()(試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解證明：設(shè) 為含 個未知量的線性方程組BAXn該方程組有解，即 nAR)(從而 有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)而相應(yīng)齊次線性方程組 只有零解的充分必要條件是0XnAR)(有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組 只有零解BAX 0X9設(shè) 是可逆矩陣的特征值，且 ，試證： 是矩陣 的特征值11證明： 是可逆矩陣的特征值存在向量 ，使A 1111 )()()(AI1即 是矩陣 的特征值110用配方法將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)型43242124321 xxxxf 解： 3213242321 )()()(xxf )(x令 ， ， ，y42y3y4yx電大資料即 443231yx則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 2321yf1.設(shè) 為三個事件，試用 的運算分別表示下列事件：ABC, ABC, 中至少有一個發(fā)生； 中只有一個發(fā)生；, 中至多有一個發(fā)生； 中至少有兩個發(fā)生；, 中不多于兩個發(fā)生；ABC 中只有 發(fā)生,解:(1) (2) (3) CBACBA(4) (5) (6)2. 袋中有 3 個紅球，2 個白球，現(xiàn)從中隨機抽取 2 個球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 紅球解:設(shè) =“2 球恰好同色”， =“2 球中至少有 1 紅球”AB503)(53CP 0936)(2513CP3. 加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出來的零件是正品的概率解：設(shè) “第 i 道工序出正品”（i=1,2）iA9506.)3.1)(02.()|()(12121 PP4. 市場供應(yīng)的熱水瓶中，甲廠產(chǎn)品占 50%，乙廠產(chǎn)品占 30%，丙廠產(chǎn)品占 20%，甲、乙、丙廠產(chǎn)品的合格率分別為 90%,85%,80%，求買到一個熱水瓶是合格品的概率解：設(shè) ""1產(chǎn) 品 由 甲 廠 生 產(chǎn) "2產(chǎn) 品 由 乙 廠 生 產(chǎn)A"3產(chǎn) 品 由 丙 廠 生 產(chǎn)A產(chǎn) 品 合 格B )|()|()|()( 21 BPBPPA865.0.85.039.505. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止已知他每發(fā)命中的概率是 ，求所需設(shè)計次數(shù) 的概率pX分布解： X)1(PP)(223kk1)()(故 X 的概率分布是 pppk12)()1()(3216.設(shè)隨機變量 的概率分布為 02345650103. 試求 PXPX(),(),()4253電大資料解： 87.0123.015.)4()3()2()1()0()4( XPXPXP 22527.03137.設(shè)隨機變量 具有概率密度 fxx(),0其 它試求 PX(),()1242解： 412010xdxf 65)()241( 1421441fXP8. 設(shè) ，求 fxx,0其 它 EXD(),解： 322)()( 101dfXE4022 xxx18)(2)()ED9. 設(shè) ，計算 ； 6.0,12NXPX.PX()0解： 8164.092.13.2).()3.13.()8.2.( P04759167()67.010.設(shè) 是獨立同分布的隨機變量，已知 ，設(shè) ，求Xn12, EXD(),()112Xnii1ED()解： )()(1)(1)( 22 nni EXXE n )()(1)(1)() 2222 nni XDDDXD 2n1設(shè)對總體 得到一個容量為 10 的樣本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0試分別計算樣本均值 和樣本方差 xs2解： 6.310ix87.95)(22iixs2設(shè)總體 的概率密度函數(shù)為X電大資料fxx(;),10其 它試分別用矩估計法和最大似然估計法估計參數(shù) 解：提示教材第 214 頁例 3矩估計： ,12)1()(0 nixdxXE12最大似然估計：，0ln1ln,)1ln(l iinii xdLxL 1ln1iix3測兩點之間的直線距離 5 次，測得距離的值為（單位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0測量值可以認為是服從正態(tài)分布 的，求 與 的估計值并在 ； 未知的情況N(,)2225.2下，分別求 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間解： 105ix 87.1)(152iixs（1）當(dāng) 時，由 10.95， 查表得：2. 97.0)(96.故所求置信區(qū)間為： ,3.18,nsx4設(shè)某產(chǎn)品的性能指標(biāo)服從正態(tài)分布 ，從歷史資料已知 ，抽查 10 個樣品，求得均值N(,)24為 17，取顯著性水平 ，問原假設(shè) 是否成立05.H0:解： ，37.16.4|/217|/|0nxU由 ，查表得：9.)(9.因為 > 1.96 ，所以拒絕237|05某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為 20.0，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機抽取 8 個樣品，測得的長度為（單位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（ ）05.解：由已知條件可求得： 0125.x6712s3.9.|8/9.2|/|0nsxT6),()5.,1(tt | T | 7）,(已知 ，(1)0.843， ) (2)0.970.87電大資料53)()(1)0.987.4130.57;27(2)7)1(12.28PX9-解 ： 5<=7. 設(shè)隨機變量 X N（3， ）求：（1）P（X < 5）,（2）P（ ）,(已知 .2 1x(0.5)691， , ) ()0.84(.5)09()0.9.843;230(2)1)(1)()()()0.5.0.5.1.5.936247P -解 ： <=8設(shè)隨機變量 X N（3，4）求：（1）P（1< X < 7）；（2）使 P（X < a）=0.9 成立的常數(shù) a (已知 ， ， ) 8.)19.)8.(973.0)(解：（1）P（1< X < 7）= =3)21(P= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 )1(2（2）因為 P（X < a）= = = 0.9)2a)(所以 ，a = 3 + = 5.56 8.18.9設(shè) ，試求：(1) ；(2) N(,)4PX()1)75(XP（已知 ）97.03,972.0.0) 解：(1) PX()()1(21084357().(2) PXXPX() )()57532132().2190910從正態(tài)總體 N（ ，4）中抽取容量為 625 的樣本，計算樣本均值得 = 2.5，求 的置信度為 99%的 x置信區(qū)間.(已知 )56.9.0u解：已知 ，n = 625，且 2nxu)1,0(N因為 = 2.5， ， ， x1.95.276.2106.576.221 nu所以置信度為 99%的 的置信區(qū)間為：. 72,94.,2121nuxx11某車間生產(chǎn)滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布今從一批產(chǎn)品里隨機取出 9 個，測得直徑平均值為 15.1mm，若已知這批滾珠直徑的方差為 ，試找出滾珠直徑均值的置信度為 0.95 的置信206.電大資料區(qū)間 (.).u097516解：由于已知 ，故選取樣本函數(shù)2)1,0(NnxU已知 ，經(jīng)計算得1.5x2.36.9滾珠直徑均值的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為 ，又由已知條件 ，故9,975.075.0uxux 96.175.0u此置信區(qū)間為 1.5,068.12. 據(jù)資料分析，某廠生產(chǎn)的一批磚，其抗斷強度 ，今從這批磚中隨機抽取 9 塊，(32.,1)XN:測得抗斷強度（單位： ）的平均值為 31.12，問這批轉(zhuǎn)的抗斷強度是否合格（2/gkcm）？0.975,u20.975:3.,1.(,1);3.2.531.2.5316,071/9HNu u解 ： 零 假 設(shè) 由 于 已 知 ， 故 選 取 樣 本 函 數(shù)x-=/n由 樣 本 觀 測 值 計 算 統(tǒng) 計 量 值-/故 拒 絕 零 假 設(shè) ， 即 認 為 這 批 磚 的 抗 斷 強 度 不 合 格 。13. 某一批零件重量 ，隨機抽取 4 個測量重量（單位：千克）為 14.7，(,.4)XN:15.1, 14.8, 15.2，可否認為這批零件的平均重量為 15 千克（ ）？0.975,16u20 0.975:15,0.(,);(14.812)4.9514.950. 6,2/HNu u解 ： 零 假 設(shè) 由 于 已 知 ， 故 選 取 樣 本 函 數(shù)x-=/n由 樣 本 觀 測 值 計 算 統(tǒng) 計 量 值 :x=x-/故 接 受 零 假 設(shè) ， 即 認 為 這 批 零 件 的 平 均 重 量 為 千 克 。14. 某鋼廠生產(chǎn)了一批管材， 每根標(biāo)準(zhǔn)直徑IOOmm ， 今對這批管材進行檢驗， 隨機取出9根測得直徑的平均值為9 9 . 9 mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s = O . 47 ， 已知管材直徑服從正態(tài)分布， 問這批管材的質(zhì)量是否合格? (檢驗顯著性水平 = 0 . 05 , tO. 05(8)=2. 306) 200.5.:1, (1),/0.479.109, .16, .625,3/(8)2,6./ xHttnssxxnsntsn :解 ： 零 假 設(shè) 由 于 未 知 ， 故 選 取 樣 本 函 數(shù)已 知 經(jīng) 計 算 得由 已 知 條 件 ，故接受零假設(shè)，即可以認為這批管材的質(zhì)量是合格的. 15X設(shè) 離 散 型 變 量 的 概 率 分 布 為電大資料X 0 1 2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1求：（1）期望 E(X); (2) (2)PX()0.4.0.1;(2)()04.320.9E解 （ ）四、證明題1設(shè) 是 階對稱矩陣，試證： 也是對稱矩陣BA,nBA證明： 是同階矩陣，由矩陣的運算性質(zhì)可知)(已知 是對稱矩陣，故有 ，即, ,由此可知 也是對稱矩陣，證畢BA2. 設(shè) A 是 n 階對稱陣，試證 也是對稱陣。1A11, )(,A -1證 明 ： 由 已 知 有 再 由 矩 陣 的 運 算 性 質(zhì) 知 ， (所 以 也 是 對 稱 陣 。3設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為可逆矩陣0)(I證明： 因為 ，即 )(2II2所以，A 為可逆矩陣 4設(shè)向量組 線性無關(guān)，令 ， ， ，證明向量組321,2132134線性無關(guān)。321,證明：設(shè) ，即0321kk0)4()2()( 1332k2131 因為 線性無關(guān)，所以 321,04321k解得 k1=0, k2=0, k3=0，從而 線性無關(guān) 321,5設(shè)隨機事件 , 相互獨立，試證： 也相互獨立ABBA,證明： )(1)()()()( APPPP 所以 也相互獨立證畢BA,6設(shè) , 為隨機事件，試證： AB()()證明：由事件的關(guān)系可知UABA(電大資料而 ，故由概率的性質(zhì)可知()ABPABP()()7. 設(shè) A,B 為隨機事件，試證 P(A-B)=P(A)-P(AB) 證 明 ： 因 為 =U+=A+-B， 而 (A)B=， 故 由 概 率 性 質(zhì) 知 ：()-(),即 ,證 畢 。