內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題題號一二三總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）評卷人得分一、單選題1設集合，則（ ）ABCD2為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）A該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間3已知，則（ ）ABCD4下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）ABCD5點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）ABCD6青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）A1.5B1.2C0.8D0.67在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（ ）ABCD8在中，已知，則（ ）A1BCD39記為等比數(shù)列的前n項和.若，則（ ）A7B8C9D1010將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）A0.3B0.5C0.6D0.811若，則（ ）ABCD12設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）ABCD第II卷（非選擇題）評卷人得分二、填空題13若向量滿足，則_.14已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為_.15已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_.16已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為_評卷人得分三、解答題17甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.19已知直三棱柱中，側面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.20設函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.21拋物線C的頂點為坐標原點O焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且已知點，且與l相切（1）求C，的方程；（2）設是C上的三個點，直線，均與相切判斷直線與的位置關系，并說明理由22在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點23已知函數(shù)（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍試卷第5頁，共6頁參考答案1B【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2C【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結論中不正確的是C.故選：C.【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.3B【分析】由已知得，根據(jù)復數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.5A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.6C【分析】根據(jù)關系，當時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當時，則.故選：C.視頻7D【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結合直觀圖進行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側視圖為故選：D視頻8D【分析】利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形9A【分析】根據(jù)題目條件可得，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】為等比數(shù)列的前n項和，成等比數(shù)列，.故選：A.10C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.11A【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】，解得，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.12C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵.13【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】.故答案為：.14【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.【詳解】.故答案為：.15【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令x00(或x0)，即可求出.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出和，若對A，的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.16【分析】根據(jù)已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以， ，即四邊形面積等于.故答案為：.視頻17（1）75%；60%；（2）能.【分析】根據(jù)給出公式計算即可【詳解】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.18證明見解析.【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，當時，當時，滿足，的通項公式為，是等差數(shù)列.【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.19(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結論.【詳解】(1)如圖所示，連結AF，由題意可得：，由于ABBB1，BCAB，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，.(2)由(1)的結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結，正方形中，為中點，則，又，故平面，而平面，從而.【點睛】求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積對于空間中垂直關系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進行等價轉(zhuǎn)化.20（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.21（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利用對稱性設出坐標，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結論；（2）先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標表示，再由與圓相切，得出與的關系，最后求出點到直線的距離，即可得出結論.【詳解】（1）依題意設拋物線，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設則過與圓相切的直線為，又，此時直線關于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.【點睛】關鍵點點睛：（1）過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；（2）要充分利用的對稱性，抽象出與關系，把的關系轉(zhuǎn)化為用表示.視頻22（1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點.【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；（2）設，設，根據(jù)向量關系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【詳解】（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；（2）設，設，則，即，故P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內(nèi)含，故曲線C與沒有公共點.【點睛】關鍵點睛：本題考查參數(shù)方程的求解，解題的關鍵是設出的參數(shù)坐標，利用向量關系求解.23（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，解得或（舍去），則數(shù)形結合可得需至少將向左平移個單位，.【點睛】關鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結合求解.答案第15頁，共16頁