Tuesday,December17,2019,1,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,Tuesday,December17,2019,2,本章的主要內(nèi)容,控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號流圖-梅遜公式各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換,Tuesday,December17,2019,3,概述,數(shù)學(xué)模型：我們把描述系統(tǒng)或元件的動態(tài)過程中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型。,概述,Tuesday,December17,2019,4,分析法對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律實驗法人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)。,建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法,Tuesday,December17,2019,5,數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式,Tuesday,December17,2019,6,控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。,例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達(dá)式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步。,常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。,Tuesday,December17,2019,7,線性系統(tǒng)：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。,線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應(yīng)可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應(yīng)的結(jié)果進行疊加。,線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。,宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。,概述,Tuesday,December17,2019,8,古典控制理論中，采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。,概述,Tuesday,December17,2019,9,2.1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型微分方程,Tuesday,December17,2019,10,微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。,控制系統(tǒng)的微分方程,Tuesday,December17,2019,11,控制系統(tǒng)的微分方程,例2-1：寫出RC串聯(lián)電路的微分方程。,由：，代入得：這是一個線性定常一階微分方程。,Tuesday,December17,2019,12,由：，代入得：這是一個線性定常二階微分方程。,例2-2：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。,Tuesday,December17,2019,13,例2-3求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。,解：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。,根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。,控制系統(tǒng)的微分方程,Tuesday,December17,2019,14,需要討論的幾個問題：,1、相似系統(tǒng)和相似量：,可見，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。,相似系統(tǒng)和相似量,作用利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。,我們注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一樣的。,Tuesday,December17,2019,15,2、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定常控制系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性：（1）線性疊加原理：系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。（2）均勻性原理：輸入輸出域內(nèi)保持比例因子不變,非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化,Tuesday,December17,2019,16,若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項。可以得到等效的線性環(huán)節(jié)。,設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點，如下圖中的。A點附近有點為，當(dāng)很小時，AB段可近似看做線性的。,非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化,Tuesday,December17,2019,17,3.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：,確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。,對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。,對上述方程進行適當(dāng)?shù)暮喕热缏匀ヒ恍ο到y(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。,從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。,線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟,Tuesday,December17,2019,18,例2-4：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。,線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例2-4,Tuesday,December17,2019,19,線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例2-4,消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。,Tuesday,December17,2019,20,2.2控制系統(tǒng)復(fù)域數(shù)學(xué)模型,Tuesday,December17,2019,21,傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。,了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響-分析,可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求-綜合,傳遞函數(shù)的基本概念,Tuesday,December17,2019,22,將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）,當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域表達(dá)式y(tǒng)(t)。,傳遞函數(shù)的基本概念,稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.2.1、傳遞函數(shù)的基本概念,Tuesday,December17,2019,23,關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明,傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。,傳遞函數(shù)的基本概念,Tuesday,December17,2019,24,傳遞函數(shù)的基本概念,例2-5求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。解已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：,方程兩邊求拉氏變換為：,令，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：,令，得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：,最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：,Tuesday,December17,2019,25,傳遞函數(shù)的基本概念,例2-6求下圖的傳遞函數(shù)：,Tuesday,December17,2019,26,傳遞函數(shù)的基本概念例2,例2-6求下圖的傳遞函數(shù)（運算電路法）,Tuesday,December17,2019,27,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式：,表示成零點、極點形式：,Tuesday,December17,2019,28,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,寫成時間常數(shù)形式：,Tuesday,December17,2019,29,若有零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。,Tuesday,December17,2019,30,典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點分布。,比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：可調(diào)電位器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。,2.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),Tuesday,December17,2019,31,積分環(huán)節(jié),Tuesday,December17,2019,32,積分環(huán)節(jié)實例,Tuesday,December17,2019,33,（三）慣性環(huán)節(jié),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得：，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。,慣性環(huán)節(jié),Tuesday,December17,2019,34,兩個實例：,慣性環(huán)節(jié)實例,Tuesday,December17,2019,35,振蕩環(huán)節(jié),（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：,傳遞函數(shù)：,上述傳遞函數(shù)有兩種情況：,Tuesday,December17,2019,36,振蕩環(huán)節(jié)分析,則,Tuesday,December17,2019,37,微分環(huán)節(jié),（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：,相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：,分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點若(）在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,Tuesday,December17,2019,38,式中：,實例,微分環(huán)節(jié)實例,Tuesday,December17,2019,39,延遲環(huán)節(jié),（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：,Tuesday,December17,2019,40,（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,其他環(huán)節(jié),Tuesday,December17,2019,41,定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：,式中s為復(fù)數(shù)。記作,F(s)象函數(shù)，f(t)原函數(shù)。記為拉氏反變換。,復(fù)習(xí)拉氏變換,復(fù)習(xí)拉氏變換,Tuesday,December17,2019,42,線性性質(zhì)：,微分定理：,積分定理：（設(shè)初值為零）,時滯定理：,初值定理：,復(fù)習(xí)拉氏變換,性質(zhì)：,Tuesday,December17,2019,43,終值定理：,常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。,復(fù)習(xí)拉氏變換,Tuesday,December17,2019,44,二.拉氏反變換1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。,Tuesday,December17,2019,45,若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：,Tuesday,December17,2019,46,例3.,Tuesday,December17,2019,47,2.拉式反變換部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點,這時,F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和,Tuesday,December17,2019,48,Tuesday,December17,2019,49,