第4講定積分的概念與微積分基本定理【2013年高考會(huì)這樣考】1考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理2利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用微積分基本定理計(jì)算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等基礎(chǔ)梳理1定積分(1)定積分的定義及相關(guān)概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<xi1<xi<xnb，將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx.在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)2微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理，又叫牛頓萊布尼茲公式3定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形的面積定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結(jié)合具體圖形來定：一種思想定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無限”過程的問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就三條性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行一個(gè)公式由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算雙基自測2(2011湖南)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A. B1 C. D.解析Scos xdx20cos xdx0.答案D4如圖，在一個(gè)長為，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線ysin x(0x)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()A. B. C. D.考向一定積分的計(jì)算【例1】計(jì)算下列積分當(dāng)原函數(shù)較難求時(shí)，可考慮由其幾何意義解得考向二利用定積分求面積【例2】求下圖中陰影部分的面積審題視點(diǎn) 觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù)解解方程組得，或S陰影dx8|dx2618. 求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積【訓(xùn)練2】 求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解由得交點(diǎn)A(1,1)；由得交點(diǎn)B(3，1)故所求面積Sdxdx.考向三定積分的應(yīng)用【例3】一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t0(s)開始以速度vt24t3(m/s)運(yùn)動(dòng)求：(1)在t4 s的位置；(2)在t4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程審題視點(diǎn) 理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù)解(1)在時(shí)刻t4時(shí)該點(diǎn)的位置為(t24t3)dt(m)，即在t4 s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m.(2)因?yàn)関(t)t24t3(t1)(t3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上的v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0，所以t4 s時(shí)的路程為S(t24t3)dt|(t24t3)dt|(t24t3)dt|4 (m)，即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m. 由sv0tat2通過求導(dǎo)可推出vv0at，反之根據(jù)積分的幾何意義，由vv(t)(v(t)0)可求出ta，b時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過的路程【訓(xùn)練3】 已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是()A在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面Bt1時(shí)刻后，甲車在乙車后面C在t0時(shí)刻，兩車的位置相同Dt0時(shí)刻后，乙車在甲車前面解析可觀察出曲線v甲，直線tt1與t軸圍成的面積大于曲線v乙，直線tt1與t軸圍成的面積，故選A.答案A難點(diǎn)突破8積分的綜合應(yīng)用定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，在近兩年的高考中，考查的一般是定積分的計(jì)算和定積分在求曲邊圖形面積中的應(yīng)用等，如2011年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計(jì)算，新課標(biāo)全國卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積一、積分的幾何意義【示例】 已知r>0，則rdx_.二、積分與概率【示例】 (2010陜西)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為_9