(時間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)1已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當n2時，f(2)解析：項數(shù)為n2(n1)n2n1.答案：D2利用數(shù)學歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN*)的過程，由nk到nk1時，左邊增加了()A1項Bk項C2k1項 D2k項解析：1(1)，共增加了2k項答案：D3用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，第二步歸納假設(shè)應寫成()A假設(shè)n2k1(kN*)正確，再推n2k3正確B假設(shè)n2k1(kN*)正確，再推n2k1正確C假設(shè)nk(kN*)正確，再推nk1正確D假設(shè)nk(k1)正確，再推nk2正確解析：首先要注意n為奇數(shù)，其次還要使n能取到1.答案：B4下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析：本題考查用數(shù)學歸納法證明整除性問題(1)當k1時，顯然只有3(27k)能被9整除(2)假設(shè)當kn(nN*)時，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.這就是說，kn1時命題也成立答案：D5滿足122334n(n1)3n23n2的自然數(shù)n等于()A1B1或2C1,2,3 D1,2,3,4解析：當n1時，左端122，右端3123122，命題成立；當n2時，左端12238，右端3223228，命題成立；當n3時，左端12233420，右端33233220，命題成立；當n4時，左端1223344540，右端34234238，命題不成立答案：C6對于不等式n1(nN*)，某同學的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設(shè)當nk(kN*)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，當nk1時，不等式成立則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析：用數(shù)學歸納法證題的關(guān)鍵在于合理運用歸納假設(shè)答案：D二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7觀察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2,1>，由此猜測第n個不等式為_(nN*)解析：3221,7231,15241，可猜測：1>.答案：1>8如圖，這是一個正六邊形的序列：則第n個圖形的邊數(shù)為_解析：第(1)圖共6條邊，第(2)圖共11條邊，第(3)圖共16條邊，其邊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則第(n)圖的邊數(shù)為an6(n1)55n1.答案：5n19(2011青島模擬)若數(shù)列an的通項公式an，記cn2(1a1)(1a2)(1an)，試通過計算c1，c2，c3的值，推測cn_.解析：c12(1a1)2(1)，c22(1a1)(1a2)2(1)(1)，c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1)(1)(1)，故由歸納推理得cn.答案：三、解答題10數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想解：(1)a11，a2，a3，a4，由此猜想an(nN*)(2)證明：當n1時，a11，結(jié)論成立假設(shè)nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立，即ak，那么nk1(k1且kN*)時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak.ak1，這表明nk1時，結(jié)論成立an(nN*)11(2010江蘇高考)已知ABC的三邊長都是有理數(shù)(1)求證：cosA是有理數(shù)；(2)求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)證明：(1)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA是有理數(shù)(2)用數(shù)學歸納法證明cosnA和sinAsinnA都是有理數(shù)當n1時，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAsinA1cos2A也是有理數(shù)假設(shè)當nk(k1)時，coskA和sinAsinkA都是有理數(shù)當nk1時，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，及和歸納假設(shè)，知cos(k1)A與sinAsin(k1)A都是有理數(shù)即當nk1時，結(jié)論成立綜合、可知，對任意正整數(shù)n，cosnA 是有理數(shù)12已知數(shù)列an中，a12，an1(1)(an2)，n1,2,3，.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn中，b12，bn1，n1,2,3，證明：bna4n3，n1,2,3，.解：(1)因為an1(1)(an2)(1)(an)(1)(2)(1)(an)，所以an1(1)(an)所以數(shù)列an是首項為2，公比為1的等比數(shù)列，所以an(1)n，即an的通項公式an(1)n1，n1,2,3，.(2)用數(shù)學歸納法證明：()當n1時，因為2b1a12，所以b1a1，結(jié)論成立；()假設(shè)當nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立，即bka4k3，即0bka4k3.當nk1時，bk10，又32.所以bk1(32)2(bk)(1)4(a4k3)a4k1.也就是說，當nk1時，結(jié)論成立根據(jù)()和 ()知，bna4n3，n1,2,3，.- 5 -用心 愛心 專心