第4講平面向量的應(yīng)用【2013年高考會這樣考】1考查利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題2考查利用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)中重點把握好向量平行、垂直的條件及其數(shù)量積的運算，重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法，體驗向量在解題過程中的工具性特點基礎(chǔ)梳理1向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì)abab0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角)2平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學(xué)中的功是一個標量，這是力F與位移s的數(shù)量積即WFs|F|s|cos (為F與s的夾角)一個手段實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標運算兩條主線(1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象，向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則ab表示()A向東南走3 km B向東北走3 kmC向東南走3 km D向東北走3 km解析要求ab，可利用向量和的三角形法則來求解，如圖所示，適當選取比例尺作a“向東走3 km”，b“向北走3 km”，則ab.|3(km)，又與的夾角是45，所以ab表示向東北走3 km.答案B2平面上有四個互異點A、B、C、D，已知(2)()0，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰三角形 D無法確定解析由(2)()0，得()()0，所以()()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形答案C3(2012銀川模擬)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值，最小值分別是()A4,0 B16,0C2,0 D16,4解析設(shè)a與b夾角為，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4答案A4 在ABC中，已知向量與滿足0且，則ABC為()A等邊三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形解析由0知ABC為等腰三角形，ABAC.由知，60，所以ABC為等邊三角形，故選A.答案A5(2012武漢聯(lián)考)平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足4，則點P的軌跡方程是_解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.答案x2y40考向一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例1】(2010遼寧)平面上O，A，B三點不共線，設(shè)a，b，則OAB的面積等于()A. B.C. D.審題視點 由數(shù)量積公式求出OA與OB夾角的余弦，進而得正弦，再由公式Sabsin ，求面積解析cosBOA，則sinBOA ，SOAB|a|b| .答案C平面向量的數(shù)量積是解決平面幾何中相關(guān)問題的有力工具：利用|a|可以求線段的長度，利用cos (為a與b的夾角)可以求角，利用ab0可以證明垂直，利用ab(b0)可以判定平行【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C以a，b為兩邊的三角形的面積D以b，c為兩邊的三角形的面積解析|bc|b|c|cos |，如圖，ac，|b|cos |就是以a，b為鄰邊的平行四邊形的高h，而|a|c|，|bc|a|(|b|cos |)，|bc|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積答案A考向二平面向量與三角函數(shù)的交匯【例2】已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求的值審題視點 首先求出向量、的坐標，第(1)問利用兩個向量的模相等建立角的三角方程進行求解；第(2)問利用向量與數(shù)量積的坐標運算化簡已知條件，得到角的三角函數(shù)值，把所求式子化簡，尋找兩個式子之間的關(guān)系解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos a3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式兩邊分別平方，得12sin cos ，2sin cos .解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵，準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決【訓(xùn)練2】 已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0，求的值解(1)因為ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0知，2，所以2或2.因此或.考向三平面向量與平面解析幾何交匯【例3】(2012蘭州模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且()()0.(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值審題視點 第(1)問直接設(shè)動點P的坐標，先把向量之間的關(guān)系化簡，然后代入向量坐標，化簡整理即得軌跡方程；第(2)問先利用圓的性質(zhì)化簡向量數(shù)量積，將其轉(zhuǎn)化為動點P與定點N的距離的最值，最后代入點的坐標將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解解(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)由()()0，得|PC|2|PQ|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1.所以點P在橢圓上，其方程為1.(2)因()()()()()2221，P是橢圓1上的任一點，設(shè)P(x0，y0)，則有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以當y03時，2取得最大值20，故的最大值為19；當y02時，2取得最小值(21)2134，(此時x00)，故的最小值為124.平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應(yīng)從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法坐標法【訓(xùn)練3】 已知點P(0，3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足0，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程解設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b0)，則(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)難點突破12高考中平面向量與其他知識的交匯問題平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)近幾年新課標高考對向量知識的命題，既充分體現(xiàn)自身知識結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與其他知識交匯的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用，融會貫通”的特色，充分彰顯平面向量的交匯價值一、平面向量與命題的交匯【示例】 (2011陜西)設(shè)a，b是向量，命題“若ab，則|a|b|”的逆命題是()A若ab，則|a|b|B若ab，則|a|b|C若|a|b|，則abD若|a|b|，則ab二、平面向量與函數(shù)【示例】 (2010北京)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，則函數(shù)f(x)(xab)(xba)是()A一次函數(shù)且是奇函數(shù)B一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C二次函數(shù)且是偶函數(shù)D二次函數(shù)但不是偶函數(shù)平面向量與線性規(guī)劃(教師備選)【示例】 (2011福建)已知O是坐標原點，點A(1,1)若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是()A1,0 B0,1 C0,2 D1,29