第八章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1直線xy1與圓x2y22ay0(a>0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ()A(0，1)B(1，1)C(1，1) D(0，1)解析：由圓x2y22ay0(a>0)的圓心(0，a)到直線xy1的距離大于a，且a>0可得a的取值范圍答案：A2(2011大綱全國(guó)卷)設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2| ()A4 B4C8 D8解析：依題意，可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a)、半徑為r，其中ra>0，因此圓方程是(xa)2(ya)2a2，由圓過(guò)點(diǎn)(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，則該方程的兩根分別是圓心C1，C2的橫坐標(biāo)，|C1C2|8.答案：C3設(shè)直線xky10被圓O：x2y22所截弦的中點(diǎn)的軌跡為M，則曲線M與直線xy10的位置關(guān)系是 ()A相離 B相切C相交 D不確定解析：直線xky10過(guò)定點(diǎn)N(1,0)，且點(diǎn)N(1,0)在圓x2y22的內(nèi)部，直線被圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡M是以O(shè)N為直徑的圓，圓心為P(，0)，半徑為，點(diǎn)P(，0)到直線xy10的距離為<，曲線M與直線xy10相交答案：C4(2011重慶高考)在圓x2y22x6y0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為 ()A5 B10C15 D20解析：由題意可知，圓的圓心坐標(biāo)是(1,3)，半徑是，且點(diǎn)E(0,1)位于該圓內(nèi)，故過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最短弦長(zhǎng)|BD|22(注：過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)等于該圓的直徑，即|AC|2，且ACBD，因此四邊形ABCD的面積等于|AC|BD|2210.答案：B5(2012紹興模擬)直線x7y50截圓x2y21所得的兩段弧長(zhǎng)之差的絕對(duì)值是()A. B.C D.解析：圓心到直線的距離d.又圓的半徑r1，直線x7y50截圓x2y21的弦長(zhǎng)為.劣弧所對(duì)的圓心角為.兩段弧長(zhǎng)之差的絕對(duì)值為.答案：C6若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是 ()A12，12 B1，3C1,12 D12，3解析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出曲線y3與直線yx，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移該直線，結(jié)合圖形分析可知，當(dāng)直線沿左上方平移到過(guò)點(diǎn)(0,3)的過(guò)程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y3都有公共點(diǎn)；當(dāng)直線沿右下方平移到與以點(diǎn)C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切的過(guò)程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y3都有公共點(diǎn)注意與yx平行且過(guò)點(diǎn)(0,3)的直線方程是yx3；當(dāng)直線yxb與以點(diǎn)C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時(shí)，有2，b12.結(jié)合圖形可知，滿足題意的b的取值范圍是12，3答案：D二、填空題7 (2012海門模擬)兩圓(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)解析：由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(1,1)，(2，2)，則過(guò)它們圓心的直線方程為，即yx，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過(guò)它們圓心的直線對(duì)稱，故由P(1,2)可得它關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)答案：(2，1)8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2y24上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_解析：因?yàn)閳A的半徑為2，且圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為1，即要圓心到直線的距離小于1，即<1，解得13<c<13.答案：(13,13)9 (2012鹽城模擬)已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，則圓心到直線xy10的距離為.因?yàn)閳A截直線所得的弦長(zhǎng)為2，根據(jù)半弦、半徑、弦心距之間的關(guān)系有()22(a1)2，即(a1)24，所以a3或a1(舍去)，則半徑r312，圓心坐標(biāo)為(3,0)所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24.答案：(x3)2y24三、解答題10已知點(diǎn)A(1，a)，圓x2y24.(1)若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求a的值解：(1)由于過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，則點(diǎn)A在圓上，故12a24，a.當(dāng)a時(shí)，A(1，)，切線方程為xy40；當(dāng)a時(shí)，A(1，)，切線方程為xy40，a時(shí)，切線方程為xy40，a時(shí)，切線方程為xy40.(2)設(shè)直線方程為 xyb，由于直線過(guò)點(diǎn)A，1ab，ab1.又圓心到直線的距離d，()2()24.b.a1.11已知圓C：x2y22x4y40，問(wèn)是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)若存在，寫(xiě)出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由解：依題意，設(shè)l的方程為yxbx2y22x4y40聯(lián)立消去y得：2x22(b1)xb24b40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)， ，即x1 x2y1y20，而y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b22x1x2b(x1x2)b20，由得b24b4b(b1)b20，即b23b40，b1或b4.滿足條件的直線l存在，其方程為xy10或xy40.12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2y212x320的圓心為Q，過(guò)點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)k，使得向量 與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)圓的方程可化為(x6)2y24，其圓心為Q(6,0)過(guò)點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線方程為ykx2.代入圓的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，所以4(k3)2436(1k2)42(8k26k)>0，解得<k<0，即k的取值范圍為(，0)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (x1x2，y1y2)由方程，得x1x2，又y1y2k(x1x2)4.而P(0,2)，Q(6,0)， (6，2)，所以 與 共線等價(jià)于(x1x2)3(y1y2)，將 代入上式，解得k.由(1)知k(，0)，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k.5