金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng) 3.3幾何概型 人教新課標(biāo)A版 必修三學(xué)案一 幾何概型學(xué)習(xí)要求1了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義；2通過(guò)閱讀材料，了解人類(lèi)認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程學(xué)習(xí)注意本講內(nèi)容在高考中所占比較輕，縱貫近幾年的高考對(duì)概率要求降低，但本講內(nèi)容使新加內(nèi)容，考試涉及的可能性較大考試形式：（1）題目類(lèi)型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，；（2）本建考試的重點(diǎn)內(nèi)容幾何概型的求值問(wèn)題，我們要善于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型處理。精講要點(diǎn)1隨機(jī)數(shù)的概念隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的。2隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法（1）利用函數(shù)計(jì)算器可以得到01之間的隨機(jī)數(shù)；（2）在Scilab語(yǔ)言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生01或ab之間的隨機(jī)數(shù)。3幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型；4幾何概型的概率公式：P（A）=。5幾種常見(jiàn)的幾何概型（1）設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段l上的點(diǎn)數(shù)與線段L的長(zhǎng)度成正比,而與線段l在線段l上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在線段l上的概率為：P=l的長(zhǎng)度/L的長(zhǎng)度（2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為：P=g的面積/G的面積（3）設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為：P=v的體積/V的體積幾何概型的應(yīng)用例說(shuō)幾何概型，以其形象直觀的特點(diǎn)，倍受人們青睞下面舉例說(shuō)明幾何概型在幾方面的應(yīng)用，以使同學(xué)們感受數(shù)學(xué)美的思維之花一、與數(shù)有關(guān)的幾何概型例在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，求關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率解析：在平面直角坐標(biāo)系中，以軸和軸分別表示的值，因?yàn)槭桥c圖1中正方形內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即正方形內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成全部試驗(yàn)結(jié)果的區(qū)域設(shè)事件表示方程有實(shí)根，則事件，所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分，且陰影部分的面積為故由幾何概型公式得，即關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根的概率為二、與形有關(guān)的幾何概型例2在等腰中，在斜邊上任取一點(diǎn)，求的長(zhǎng)小于的長(zhǎng)的概率解析：點(diǎn)隨機(jī)地落在線段上，故線段為試驗(yàn)所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域在上截取，則當(dāng)點(diǎn)位于圖2中線段上時(shí)，故線段即為構(gòu)成事件的區(qū)域于是，即的長(zhǎng)小于的長(zhǎng)的概率為例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線落在角的終邊上，任作一條射線，求射線落在內(nèi)的概率解析：以為起點(diǎn)作射線是隨機(jī)的，因而射線落在任何位置都是等可能的落在內(nèi)的概率只與的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件記，即射線落在內(nèi)的概率為三、與時(shí)間有關(guān)的幾何概型例4從甲地到乙地有一班車(chē)在到到達(dá)，若某人從甲地坐該班車(chē)到乙地轉(zhuǎn)乘到出發(fā)的汽車(chē)到丙地去，問(wèn)他能趕上車(chē)的概率是多少？解析：到達(dá)乙地的時(shí)間是到之間的任一時(shí)刻，某人從乙地轉(zhuǎn)乘的時(shí)間是到之間的任一時(shí)刻，如果在平面直角坐標(biāo)系中用軸表示班車(chē)到達(dá)乙地的時(shí)間，軸表示從乙地出發(fā)的時(shí)間，因?yàn)榈竭_(dá)乙地時(shí)間和從乙地出發(fā)的時(shí)間是隨機(jī)的，則試驗(yàn)的全部結(jié)果可看作是邊長(zhǎng)為05的正方形設(shè)“他能趕上車(chē)”為事件，則事件的條件是，構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)閳D4的陰影部分由幾何概型公式，得，即他能趕上車(chē)的概率為0875例5國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽(tīng)錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30min長(zhǎng)的磁帶上，從開(kāi)始30s處起，有10s長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱(chēng)他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解析：包含兩個(gè)間諜談話錄音的部分在30s到40s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被擦掉，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在到30s之間時(shí)全部被擦掉，即在0到40s之間的時(shí)間段內(nèi)容按錯(cuò)鍵時(shí)，含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，而0到30min之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的，所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開(kāi)始到談話內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段長(zhǎng)度有關(guān)記按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉了，發(fā)生就是在0到min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵四、體育運(yùn)動(dòng)中的古典概率例6在一個(gè)健身房里，用拉力器進(jìn)行鍛煉時(shí)，需要選取2個(gè)質(zhì)量盤(pán)裝在拉力器上有2個(gè)裝質(zhì)量盤(pán)的箱子，每個(gè)箱子中都裝有4個(gè)不同的質(zhì)量盤(pán)：25kg，5kg，10kg和20kg，每次都隨機(jī)的從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤(pán)裝在拉力器上后，再拉動(dòng)這個(gè)拉力器（1）隨機(jī)的從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤(pán)，共有多少種可能的結(jié)果？用表格列出所有可能的結(jié)果（2）計(jì)算選取的兩個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量分別是下列質(zhì)量的概率：20kg；30kg；不超過(guò)10kg；超過(guò)10kg（3）如果一個(gè)人不能拉動(dòng)超過(guò)22kg的質(zhì)量，那么他不能拉開(kāi)拉力器的概率是多少？解：（1）第一個(gè)箱子的質(zhì)量盤(pán)和第二個(gè)箱子的質(zhì)量盤(pán)都可以從4種不同的質(zhì)量盤(pán)中任意選取我們可以用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對(duì)”來(lái)表示隨機(jī)選取的結(jié)果例如，我們用（10，20）來(lái)表示：在一次隨機(jī)的選取中，從第一個(gè)箱子中取的質(zhì)量盤(pán)是10kg，從第二個(gè)箱子中取的質(zhì)量盤(pán)是20kg表1列出了所有可能結(jié)果從表1中可以看出，隨機(jī)的從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤(pán)的所有可能結(jié)果共有16種由于選取質(zhì)量盤(pán)是隨機(jī)的，因此這16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，這個(gè)試驗(yàn)屬于古典概型（2）用A表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量是20kg”，從表2中可以看出，總質(zhì)量為20kg的所有可能結(jié)果只有1種，因此，事件A的概率用B表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量是30kg”，從表2中可以看出，總質(zhì)量為30kg的所有可能結(jié)果共有2種，因此，事件B的概率用C表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量不超過(guò)10kg”總質(zhì)量不超過(guò)10kg，即總質(zhì)量為5kg，75kg，10kg之一，從表2中容易看出，所有可能結(jié)果共有4種，因此，事件C的概率用D表示事件“選取的兩個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量超過(guò)10kg”總質(zhì)量超過(guò)10kg，即總質(zhì)量為125kg，15kg，20kg，225kg，25kg，30kg，40kg之一，從表2中可以看出，所有可能結(jié)果共有12種，因此，事件D的概率（3）用E表示事件“不能拉開(kāi)拉力器”，即總質(zhì)量超過(guò)22kg總質(zhì)量超過(guò)22kg是指總質(zhì)量為225kg，25kg，30kg，40kg之一從表2中可以看出，這樣的可能結(jié)果共有7種，因此，不能拉開(kāi)拉力器的概率思維總結(jié)1幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來(lái)新增考察內(nèi)容之一；2有關(guān)幾何概率的題目難度不大，但需要準(zhǔn)確理解題意，利用圖形分析問(wèn)題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關(guān)問(wèn)題；3學(xué)好幾何概率對(duì)于解決后續(xù)均勻分布的問(wèn)題有很大幫助。4關(guān)于幾何概型：（1）我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應(yīng)地改變?yōu)椤伴L(zhǎng)度”、“體積”；（2）幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用幾何概型來(lái)解決當(dāng)堂練習(xí)：1從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在4.8，4.85（g）范圍內(nèi)的概率是（ ）A0.62 B0.38 C0.02 D0.682在長(zhǎng)為10 cm的線段AB上任取一點(diǎn)P，并以線段AP為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為（ ）ABCD3同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，記轉(zhuǎn)盤(pán)甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤(pán)乙得到的數(shù)為y，構(gòu)成數(shù)對(duì)（x，y），則所有數(shù)對(duì)（x，y）中滿足xy4的概率為（ ）A B C D甲乙123412344如圖，是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍(lán)兩種顏色為其涂色，每個(gè)圖形只能涂一種顏色，則三個(gè)形狀顏色不全相同的概率為（ ）A B C D5兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)離去則 求兩人會(huì)面的概率為（ ）A B C D答案：1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C;第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè) 金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng)